Аснаўныя пачаткі арытмэтыкі (1920)/Цэлыя лікі
| ← Уводзіны | Цэлыя лікі Падручнік арытмэтыкі Аўтар: Навум Цыгельман 1920 год Арыгінальная назва: Основныя начала ариѳметики Пераклад: Юрка Лістапад |
Складаныя іменныя лікі (многаіменныя лікі) → |
Прапануем да спампаваньня!
Цэлыя лікі.
СКЛАДАНЬНЕ.
22.Складаньнем наз. дзееньне, пры падмозе каторага два або некалькі лікаў злучаюцца ў адзін лік.
(Лікі дзееньня складаньня: складанкі і зьлічво або сума).
23.Складанкамі наз. лікі, каторыя дадзены для складаньня.
24.Зьлічвом або сумаю наз. лік, каторы адтрымліваецца ад складаньня.
Знак дзееньня складаньня называецца плюсам:
[ (просты крыжык) + ].
Плюс ставіцца паміж складанкамі, калі яны пішуцца ў адзін радок; калі-ж складанкі напісаны адзін пад адным, то плюс становіцца з боку (зьлева). У першым выпадку, посьле апошняй складанкі трэба паставіць знак роўнасьці (=) і ўровень з ім напісаць зьлічво (суму), ў другім выпадку, пад апошняй складанкай працягваюць паземную рысу і зьлічво (суму) пішуць пад ёю, напрыклад:
| 12 | 345 | ||
| 12+27+36=75 | +27 | +478 | |
| 345+478+69=892 | 36 | 69 | |
| 75 | 892 |
Правіла складаньня.
Каб скласьці цэлыя лікі, трэба спачатку, для зручнасьці, напісаць іх адзін пад адным так, каб адзінкі стаялі пад адзінкамі, дзесяткі пад дзесяткамі, соткі пад соткамі і г. д.; пад апошняй складанкай працягнуць рысу. Пасьля гэтага, павінна скласьці спачатку простыя адзінкі, потым дзесяткі, потым соткі і г. д.
Калі ад складаньня якога-небудзь парадку дастаецца ў зьлічве (суме) адназначны лік, то яго пішуць пад рысаю у тым-жа слупку; калі-ж дастаецца ў зьлічве лік большы за 9, дык адзінкі яго пішуцца пад рысаю, а дзесяткі прылучаюць да зьлічва (сумы) чарговага вышэйшага парадку.
| Прыклады: | 2)76954 | ||
| 1)20134 | 487 | ||
| +3201 | +8605 | ||
| 14560 | 37049 | ||
| 37895 | 123095 |
Калі-ж у дадзеным складаньні зьлічво (сума) лічбінаў кожнага слупка ня больш за 9, то ўсё роўна, ў якім парадку рабіць дзееньне: ад ніжэйшых парадкаў да вышэйшых, або наадварот; у праціўным-жа выпадку, пачаць складаньне з вышэйшага парадку нязручна, бо ад складаньняў адзінак ніжэйшага парадку можа дастацца адна або некалькі адзінак чарговага вышэйшага парадку, тагды прыдзецца перамяніць раней напісаную лічбіну.
25.Калі трэба скласьці шмат складанак, дык, для зручнасьці, можна скласьці спачатку некалькі з іх, потым з астатніх некалькі і г. д., а затым ужо скласьці ўсе адтрыманыя зьлічвы (сумы).
Няхай патрэбна скласьці 345, 56, 78, 320, 72, 48, 435, 830, 26, 79, 16. Падзелім гэтыя складанкі на тры групы, напр., так:
| 345 | 72 | 830 | ||
| +56 | +48 | 26 | ||
| 78 | 435 | +79 | ||
| 320 | 555 | 16 | ||
| 799 | 951 |
Склаўшы тры зьлічвы (сумы) у адно, адтрымаем 2305.
26.Зьлічво не мяняецца ад перамены мейсца складанак (9+7=7+9).
27.Для пераверкі складаньня можна зрабіць гэта дзееньне ў другім парадку. Калі абодва разы дзееньне складаньня зроблена праўдзіва, то павінна дастацца адно і тое-ж самае зьлічво.
28.Складаньне ўжываецца пры разьвязваньні гэткіх задач: 1) Калі патрэбна знайсьці зьлічво дадзеных лікаў, 2) Калі дадзены лік патрэбна павялічыць на некалькі адзінак і г. д.
Увага. Пры складаньні зьлічво заўсёды мае адно найменьне з дадзенымі лікамі.
АДЫМАНЬНЕ.
29.Адыманьнем наз. дзееньне, пры падмозе каторага па зьлічву дзьвюх складанак і адной з іх знаходзіцца другая невядомая складанка.
(Лікі дзееньня адыманьня — зьмяншаны, адыманы і астача, або розьніца).
30.Зьмяншаным наз. дадзенае зьлічво, ад каторага адымаюць.
31.Адыманым наз. дадзеная складанка, каторая адымаецца.
32.Астачаю, або розьніцаю, наз. шуканая складанка, каторая дастаецца ад адыманьня.
Знак дзееньня адыманьня наз.}} мінусам (-).
Мінус пішацца паміж зьмяншаным і адыманым, калі яны напісаны ў адзін радок; калі-ж яны напісаны адзін пад адным, то мінус ставіцца збоку (зьлева). У першым выпадку посьле адыманага трэба паставіць знак роўнасьці і ўпоравень з ім напісаць астачу; ў другім выпадку — пад адыманым працягваюць паземную рысу і астачу пішуць пад ёю, напрыклад:
| 200-45=155 | 200 | 442 | ||
| 442-248=194 | -45 | -248 | ||
| 155 | 194 |
33.Астача паказвае, чым або на колькі адзінак зьмяншаны большы за адыманы або адыманы меншы за зьмяншаны.
Правіла адыманьня.
Каб зрабіць адыманьне цэлых лікаў, трэба адыманы падпісаць пад зьмяншаным так, каб адзінкі стаялі пад адзінкамі, дзесяткі пад дзесяткамі і г. д., пад адыманам працягнуць рысу. Пасьля гэтага павінна вылічыць адзінкі з адзінак, дзесяткі з дзесяткаў, соткі з сотак і г. д.
Калі лічбіна зьмяншанага большая за лічбіну адыманага, астачу падпісываюць пад рысаю ў тым-жа слупку, калі-ж лічбіна якога-небудзь парадку ў зьмяншаным меншая за лічбіну таго-ж парадку ў адыманым, то пазычаюць адну адзінку ў чарговае лічбіны зьмяншанага, прыбаўляюць да лічбіны зьмяншанага дзесяць і потым адымаюць; калі-ж гэта чарговая лічбіна ёсьць нуль, то пазычаюць адзінку ў бліжэйшае значнае лічбіны, нуль лічаць за дзевяць, а да зьмяншанай лічбіны прыбаўляюць дзесяць.
Лішнія лічбіны зьмяншанага пераносяць у астачу без перамены.
| Прыклады:1) | 7986 | 2) | 500328 |
| –5462 | –423465 | ||
| 2524 | 76863 |
Калі ў дадзеным адыманьні ўсе лічбіны зьмяншанага большыя за адпаведныя лічбіны адыманага, то ўсё роўна, аткуль рабіць дзееньне: ад ніжэйшых парадкаў да вышэйшых, або наадварот; у праціўным-жа выпадку зручней рабіць адыманьне ад ніжэйшых парадкаў да вышэйшых, бо пры такім парадку заўсёды можна, калі патрэбна будзе, ўзяць адну адзінку вышэйшага парадку для раздрабленьня яе ў адзінкі ніжэйшага парадку.
34.Каб праверыць адыманьне, трэба або адыманы скласьці з астачаю, або ад зьмяншанага адлічыць астачу; калі дзееньне зроблена праўдзіва, то ў першым выпадку павінна дастацца зьмяншаны, а у другім — адыманы.
35.Адыманьне ўжываецца пры разьвязваньні гэтакіх задач: 1) Калі патрэбна знайсьці астачу паміж двома лікамі, ці патрэбна даведацца, чым адзін лік большы або меншы другога ліку; 2) калі трэба паменшыць лік на колькінебудзь адзінак; 3) калі па дадзенаму цэламу (зьмяншанаму) і адней частцы (адыманаму або астачы) патрэбна знайсьці другую яго частку (астачу) або адыманы і г. д.
Увага: Пры адыманьні астача заўсёды мае адно найменьне з дадзенымі лікамі.
Залежнасьць паміж дадзенымі і шуканымі пры складаньні і адыманьні.
З разуменьня складаньня выходзіць, што:
36.Зьлічво роўна ўсім складанкам, узятым разам.
37.Адна з складанак роўна зьлічву бяз рэшты складанак.
З разуменьня адыманьня выходзіць, што:
38.Астача роўна зьмяншанаму без адыманага.
39.Зьмяншаны роуны адыманаму разам з астачаю.
40.Адыманы роўны зьмяншанаму без астачы.
Ведаючы аснаўныя асаблівасьці дадзеных і шуканых у складаньні, можна так праверыць складаньне пры падмозе адыманьня.
Закасаваць адну складанку, скласьці астатнія і гэтае новае зьлічво адняць ад ранейшага; калі ў астачы будзе закасованая складанка, складаньне зроблена праўдзіва.
Зьмены зьлічва і астачы.
Зьмены зьлічва.
Дзеля таго, што ў зьлічве маецца столькі адзінак, сколькі іх знаходзіцца ў ва ўсіх складанках, то:
41.Калі адна з складанак павялічыцца на які-небудзь лік, то зьлічво павялічыцца на той-жа лік.
42.Калі адна з складанак паменшыцца на які-небудзь лік, то зьлічво паменшыцца на той-жа лік.
43.Калі-ж адна з складанак павялічыцца, а другая паменшыцца ў адзін і той-жа час на адзін і той жа лік, то зьлічво астанецца бяз зьмены.
Зьмены астачы.
Дзеля таго, што зьмяншаны ёсьць зьлічво, а адыманы і астача — складанкі, то:
44.Калі зьмяншаны павялічыцца на які-небудзь лік, то астача павялічыцца на той-жа лік.
45.Калі зьмяншаны паменшыцца на які-небудзь лік, то астача паменшыцца на той-жа лік.
46.Калі адыманы павялічыцца на які-небудзь лік, то астача паменшыцца на той-жа лік.
47.Калі адыманы паменшыцца на які-небудзь лік, то астача павялічыцца на той-жа лік.
48.Калі зьмяншаны і адыманы адначасна павялічыцца або паменшыцца на адзін і той-жа лік, то астача ня зьменіцца.
МНОЖАНЬНЕ.
49.Множаньнем наз. дзееньне, пры падмозе каторага адзін лік бярэцца складанкай столькі разоў, колькі адзінак маецца ў другім ліку.
(Лікі дзееньня множаньня — множаны, множнік і множыва).
50.Множаным наз. той лік, каторы памнажаецца, або каторы бярэцца складанкай.
51.Множнікам наз. той лік, на каторы памнажаецца, або каторы паказвае, колькі разоў множаны бярэцца складанкай.
52.Множывам назыв. той лік, каторы дастаецца ад множаньня.
53.Множыва не зьмяняецца, калі множаны ўзяць множнікам, а множніка множаным (7×8=8×7).
Дзеля таго:
54.Множаны і множнік назыв. так сама адным найменьнем — сумножнікамі, або чыньнікамі.
Знакамі множаньня служаць ускосны крыжык [×] або кропка [·].
Пры множаньні адназначнага ліку на адназначны множаны і множнік пішуцца ў адзін радок, а паміж імі знак множаньня [7×9=63 або 7·9=63].
Пры множаньні-ж многазначнага ліку на адназначны або на многазначны, сумножнікі пішуцца або ўпоравень або адзін пад адным, напрыклад:
| 375×7 | 375 | 375×25 | 375 | |||
| 2625 | ×7 | 1875 | ×25 | |||
| 2625 | 750 | 1875 | ||||
| 9375 | 750 | |||||
| 9375 |
Каб скора і бяз труднасьці рабіць дзееньне множаньня, патрэбна добра ведаць на памяць множывы ўсіх адназначных лікаў парамі. Усе гэтыя множывы зьмяшчаюцца на ніжэйшай табліцы, каторая называецца табліцаю множаньня.
ТАБЛІЦА МНОЖАНЬНЯ.
| 1·1=1 | 2·1=2 | 3·1=3 | 4·1=4 | 5·1=5 | ||||
| 1·2=2 | 2·2=4 | 3·2=6 | 4·2=8 | 5·2=10 | ||||
| 1·3=3 | 2·3=6 | 3·3=9 | 4·3=12 | 5·3=15 | ||||
| 1·4=4 | 2·4=8 | 3·4=12 | 4·4=16 | 5·4=20 | ||||
| 1·5=5 | 2·5=10 | 3·5=15 | 4·5=20 | 5·5=25 | ||||
| 1·6=6 | 2·6=12 | 3·6=18 | 4·6=24 | 5·6=30 | ||||
| 1·7=7 | 2·7=14 | 3·7=21 | 4·7=28 | 5·7=35 | ||||
| 1·8=8 | 2·8=16 | 3·8=24 | 4·8=32 | 5·8=40 | ||||
| 1·9=9 | 2·9=18 | 3·9=27 | 4·9=36 | 5·9=45 | ||||
| 6·1=6 | 7·1=7 | 8·1=8 | 9·1=9 | |||||
| 6·2=12 | 7·2=14 | 8·2=16 | 9·2=18 | |||||
| 6·3=18 | 7·3=21 | 8·3=24 | 9·3=27 | |||||
| 6·4=24 | 7·4=28 | 8·4=32 | 9·4=36 | |||||
| 6·5=30 | 7·5=35 | 8·5=40 | 9·5=45 | |||||
| 6·6=36 | 7·6=42 | 8·6=48 | 9·6=54 | |||||
| 6·7=42 | 7·7=49 | 8·7=56 | 9·7=63 | |||||
| 6·8=48 | 7·8=56 | 8·8=64 | 9·8=72 | |||||
| 6·9=54 | 7·9=63 | 8·9=72 | 9·9=81 |
Правіла множаньня многазначнага ліку на адназначны.
Каб памножыць многазначны лік на адназначны, трэба падпісаць множнік пад адзінкамі множанага, працягнуць рысу і зьлева паставіць знак множаньня. Множаньня пачынаюць з звычайных адзінак і затым паступова множаць дзесяткі, соткі, тысячы і г. д.
Калі множаньня якой-небудзь лічбіны дастаецца адназначны лік, то яго пішуць у множыве, як ён ёсьць, калі-ж множыва выражана двухзначным лікам, то адзінкі яго пішуць у множыве, а дзесяткі дадаюць да ліку, каторы дастаецца ад множаньня чарговай лічбіны множанага на множнік.
55.Каб памножыць які-небудзь лік на 10, 100, 1000 і, наагул, на лік, каторы абазначаны адзінкай з нулямі, трэба да множанага прыпісаць столькі нулëу, колькі іх ёсьць пры адзінцы.
Няхай, напрыкад, патрэбна 756 памножыць на 100; гэта значыць, што дадзены лік трэба ўзяць складанкай 100 разоў, або павялічыць яго ў 100 разоў, значыцца, адзінкі яго павінны зьмяніцца ў соткі, дзесяткі, у тысячы і г. д., а гэта зробіцца само сабой, калі да дадзенага ліку прыпісаць два нулі (756·100=75600).
56.Каб памножыць лік на адну значную лічбіну з нулямі, трэба множаны памножыць на значную лічбіну і да множыва прыпісаць столькі нулёу, сколькі іх знаходзіцца ў множніку.
Няхай, напр., патрэбна 365 памножыць на 700.}}
Дзеля таго, што 700=7·100, дык 365·700=365·7·100; але 365·7=2555, дык 365·700=2555·100=255500.
57.Калі множаны або множаны і множнік канчаюцца нулямі, дык лікі трэба перамножыць так, як калі-б гэтых нулёў зусім ня было; потым да адтрыманага множыва прыпісываюцца ўсе нулі, каторымі канчаюцца множаны і множнік.
Прыклады:
| 7500 X15 |
3700 X1800 | |
| 375 | 296 | |
| 75 | 37 | |
| 112500 | 6660000 |
Калі множнік можна, пры падмозе павялічаньня або памяншэньня на які-небудзь адназначны лік, перавярнуць у лік, каторы абазначаецца адзінкаю з нулямі, то памнажаюць на апошні лік і дастанае множыва ў першым выпадку памяншаюць, а ў другім выпадку павялічываюць множывам множанага на гэты адназначны лік (4375·2998+4375·3000-4375·2:4375·3005=4375·3000+4375·5).
Правіла множаньня многазначнага ліку на многазначны.
Каб памножыць многазначны лік на многазначны, трэба падпісаць множніка пад множаным так, каб адзінкі былі пад адзінкамі, дзесяткі пад дзесяткамі і г. д.; пад множнікам працягнуць рысу.
Потым памножыць множаны на кожную лічбіну множніка, першую лічбіну кожнага паасобнага множыва пішуць пад тою лічбінаю множніка, на каторую памнажаюць, і множывы складываюць[1].
Пры множаньні многазначнага ліку ад левай рукі да правай сустракаецца тая нязручнасьць, каторая заўважана вышэй пры складаньні. Але, для адтрыманьня множыва многазначных лікаў, можна пачаць множаньне з лічбінаў вышэйшага парадку множніка, сьцерагучы толькі, каб адзінкі аднакіх парадкаў былі ў адным вэртыкальным слупку. Напрыклад:
| 3764 X576 |
| 18820 26348 22584 |
| 2168064 |
58.Множывам некалькіх множнікаў наз. лік, каторы дастанецца, калі множыва двух з іх памножыць на трэйці, дастанае множыва на чацьвёрты і г. д.
Множыва роўных множнікаў наз. ступеньню. Ступені адтрымліваюць свае найменьні ад ліку роўных множнікаў. Так: 5·5 або 52 наз. другою ступеньню ліку 5-ці, або квадратам 5-ці; 5·5·5 або 53 наз. трэцьцяю ступеньню 5-ці, або кубам 5-ці; 5·5·5·5 або 54 наз. чацьвёртаю ступеньню 5-ці і г. д.
Дзеля таго, што множыва не зьмяняецца ад перамены парадка сумножнікаў, то:
59.Каб пераверыць множаньне, трэба множаны замяніць множнікам, а множнік множаным. Калі абодвы разы дзееньне множаньня было зроблена праўдзіва, дык дастаные множывы будуць роўны паміж сабой.
60.Множаньне ўжываецца пры разьвязваньні гэтакіх задач: 1) калі патрэбна знайсьці лік, каторы быў-бы большы за дадзены ў некалькі разоў; 2) калі адзін дадзены лік трэба павялічыць у столькі разоў, колькі адзінак у другім дадзеным ліку і г. д.
ДЗЯЛЕНЬНЕ.
61.Дзяленьнем наз. дзееньне, пры падмозе каторага па дадзенаму множыву і аднаму з сумножнікаў знаходзіцца другі сумножнік.
(Лікі дзееньня дзяленьня — дзельны, дзельнік і дзель).
62.Дзельным наз. дадзенае множыва, каторае дзеліцца.
63.Дзельнікам наз. дадзены сумножнік, на каторы дзельны дзеліцца.
64.Дзельлю наз. шуканы сумножнік, каторы дастаецца ад дзяленьня.
Знак дзяленьня ёсьць два пункты [:], каторыя ставяцца паміж дзельным і дзельнікам. Упоравень з дзельнікам ставяць знак роўнасьці, а за ім пішуць дзель; напр. 35 : 7 = 5. Дзяленьне пішацца яшчэ і гэтак: або 35|
65.Дзель паказывае: 1) колькі разоў дзельнік паўтараецца ў дзельным, 2) у колькі разоў дзельны большы за дзельнік, або дзельнік меншы за дзельны, 3) якую частку дзельнага зложвае дзельнік і г. д.
66.Каб падзяліць які-небудзь лік на 10, 100, 1000…… i, наагул, на лік, каторы абазначаны адзінкаю з нулямі, трэба ў дзельным справа аддзяліць коскаю столькі лічбінаў, сколькі ў дзельніку пры адзінцы нулёу; тады лічбіны, каторыя стаяць з левага боку ад коскі, азначаюць дзель, а з правага — астачу.
Няхай, напр., патрэбна разьдзяліць 8576 на сто; гэта значыць, што дадзены лік трэба паменшыць у сто разоў; значыцца, соткі яго стануць адзінкамі, тысячы дзесяткамі і г. д., а робіцца аддзяленьнем у дадзеным ліку справа 2 лічбінаў (8576 : 100 = 85 i ў астачы 76).
67.Калі дзельны і дзельнік канчаюцца нулямі, то закасоўваюць у іх справа па роўнаму ліку нулёў і робяць дзееньне, як калі-б гэтых нулёу ня было. Калі-ж дзееньне выйшло з астачаю, дык да астачы прыпісваюць столькі нулёў, сколькі іх было закасована ў дзельным.
| Напрыклад: 375400 : 4700= | 3754 | 47 |
| 329 | 79 | |
| 464 423 | ||
| 4100 | ||
Тут у дзельным і ў дзельніку закасована па 2 нулі, бо 47 сотак паўтараецца ў 3754 сотках столькі разоў, колькі разоў 47 адзінак паўтараюцца ў 3754 адзінках. Астача-ж 41 ня ёсьць звычайныя адзінкі, а соткі, дзеля таго прыбаўляюць да яе два нулі.
68.Калі-ж дзельнік канчаецца нулямі, то гэтыя нулі закасоўваюць, а ў дзельніку аддзельваюць з правага боку столькі лічбінаў, колькі нулёу закасована ў дзельніку. Да адтрыманай посьле дзяленьня астачы прыпісваюць з правага боку аддзеленыя лічбіны дзельнага бяз зьмены.
| Напрыклад: 376584 : 4500= | 3765,84 | 45 |
| 360 | 83 | |
| 165 135 | ||
| 3084 | ||
Правіла дзяленьня.
Каб разьдзяліць многазначны лік на адназначны, або на многазначны, аддзельваюць у дзельным ад левае рукі да правае столькі лічбінаў, колькі іх ёсьць у дзельніку. Калі дзельнік ня зьмяшчаецца, аддзельваюць у дзельным адную лічбінаю больш. Даведваюцца, колькі разоў у аддзеленым ліку зьмяшчаецца дзельнік і дастаную лічбіну пішуць у дзелі. Памнажаюць затым дзельнік на знойдзеную лічбіну дзелі і множыва адымаюць з аддзеленае часткі дзельнага.
Да астачы зносяць чарговую ўправа лічбіну дзельнага і посьле зносу лік дзеляць на дзельнік; лічбіну ад гэтага дзяленьня пішуць у дзелі направа ад раней напісанай лічбіны. Памнажаюць потым дзельнік на другую лічбіну дзелі і множыва адлічаюць з таго ліку, каторы быў падзелены для адтрыманьня другое лічбіны дзелі.
Так робяць датуль, пакуль у дзельным ня будзе зусім лічбінаў для зносаў. Калі ў астачы, на зносу да ей лічбіны дзельнага, дастанецца лік, меншы за дзельнік, пішуць у дзелі 0, а да астачы зносяць чарговую лічбіну дзельнага[2].
| Прыклады:1) | 67374 | 9 | 2) | 51517620 | 567 | ||||||
| 43 | 7486 | 5103 | 90860 | ||||||||
| 77 | 4876 | ||||||||||
| 54 | 4536 | ||||||||||
| 0 | 3402 3402 |
||||||||||
| 0 | |||||||||||
З вытлумачэньня дзяленьня выходзіць, што дзельны роўны дзельніку, памножанаму на дзель, а дзеля гэтага:
69.Каб пераверыць дзяленьне, трэба дзельнік памножыць на дзель і да множыва дабавіць астачу, калі яна ёсьць; калі ўсе дзееньні зроблены праўдзіва, дык дастаецца абавязкова дзельны.
70.Дзяленьне ўжываецца пры разьвязваньні гэткіх задач: 1) калі патрэбна даведацца, колькі разоў адзін лік паўтараецца ў другім; 2) калі трэба даведацца, у колькі разоў адзін лік большы або меншы за другі лік; 3) калі трэба лік падзяліць на некалькі роўных частак, каб даведацца, колькі адзінак будзе у кожнай частцы; 4) калі дадзены лік трэба паменшыць у столькі разоў, колькі адзінак у другім дадзеным ліку; 5) калі па дадзенаму множыву (дзельнаму) і аднаму з сумножнікаў (дзельніку або дзелі) знаходзіцца другі сумножнік (дзельнік або дзель) і г. д.
Залежнасьць паміж дадзеных і шуканых у множаньні і дзяленьні.
71.Множыва роўна множанаму, памножанаму на множніка.
72.Множаны роўны множыву, падзеленаму на множніка.
73.Множнік роўны множыву, падзеленаму на множны.
Дзеля таго, што адзін з сумножнікаў роўны множыву, падзеленаму на другі сумножнік, то, каб пераверыць множаньне, трэба множыва разьдзяліць на адзін з сумножнікаў; калі адтрыманая дзель роўна другому сумножніку, то можна сьмела сказаць, што множыва справедліва.
74.Дзель роўна дзельнаму, падзеленаму на дзельніка.
75.Дзельны роўны дзельніку, памножанаму на дзель.
76.Дзельнік роўны дзельнаму, падзеленаму на дзель.
Калі дзяленьне сталася з астачаю, то залежнасьць паміж дадзеных і шуканых у дзяленьні вытлумачваецца гэтак:
Дзель роўна дзельнаму без астачы, падзеленаму на дзельнік.
Дзельны роўны астачы, складзенай з множывам дзельніка на дзель.
Астача пры дзяленьні роўна дзельнаму бяз множыва дзельніка на дзель.
Зьмены множыва і дзелі.
Зьмены множыва.
Дзеля таго, што множыва ёсьць зьлічво, адтрыманая ад складаньня аднаго з множнікаў столькі разоў, колькі ў другім ёсьць адзінак, дык:
77.Калі множнік або множаны павялічыцца у колькі-небудзь разоў, множыва павялічыцца ў столькі-ж разоў, бо ў гэтым выпадку складваецца лік у некалькі разоў большы за стары лік.
78.Калі множаны або множнік паменшыцца ў колькі-небудзь разоў, дык множыва паменшыцца ў столькі-ж разоў, бо ў гэтым выпадку складваецца лік, у некалькі разоў меншы за стары лік.
79.Калі-ж адзін з сумножнікаў павялічыцца ў некалькі разоў, а другі ў той-жа час паменшыцца ў столькі-ж разоў, дык множыва ня зьменіцца.
Калі адзін з сумножнікаў павялічыцца або паменшыцца на які- небудзь лік, дык множыва павялічыцца або паменшыцца на той-жа лік, памножаны на другі сумножнік.
Зьмены дзелі.
Дзеля таго, што дзельны разглядваецца, як множыва, а дзельнік і дзель, як сумножнікі, дык:
80.Калі дзельны павялічыцца ў некалькі разоў, дык дзель павялічыцца ў столькіж разоў, бо калі пакінем бяз зьмены адзін з сумножнікаў (дзельнік), то множыва (дзельны) можа быць павялічана ў некалькі разоў толькі пры варунку павялічаньня другога сумножніка (дзелі) ў столькі-ж разоў.
81.Калі дзельны паменшыцца ў некалькі разоў, дык дзель паменшыцца ў столькі-ж разоў, бо, пакідаючы бяз зьмены адзін з сумножнікаў (дзельнік), множыва (дзельны) можа быць паменшана ў некалькі разоў, толькі пры варунку паменшаньня другога сумножніка (дзелі) ў столькі-ж разоў.
82.Калі дзельнік павялічыцца ў некалькі разоў, дык Дзель паменшыцца ў столькі-ж разоў, бо, пакідаючы бяз зьмены множыва (дзельны), адзін з множнікаў (дзельнік) можа быць павялічаны ў некалькі разоў, толькі пры варунку паменшаньня другога сумножніка (дзелі) ў столькі-ж разоў.
83.Калі дзельнік паменшыцца ў некалькі разоў, дык дзель павялічыцца ў столькі-ж разоў, бо, пакідаючы, бяз зьмены множыва (дзельны), адзін з множнікаў (дзельнік) можа быць паменшаны толькі пры варунку павялічаньня другога сумножніка (дзелі) ў столькі-ж разоў.
84.Калі дзельны і дзельнік адначасна павялічацца, або паменшацца ў адзін і той самы лік разоў, дык дзель ня зьменіцца.
Знакі, дужкі, формуля.
Апроч ведамых ужо нам знакаў, служачых для абазначаньня дзеяньняў (+, -, ×, ·; :, |—) і знака роўнасьці (=), ў арытмэтыцы ўжываюцца яшчэ знакі: > больш [9>7], < менш [7<9] і дужкі. Дужкі маюць чарговы выгляд: ( ) круглыя, [] квадратныя і {}фігурныя.
Дужкі паказваюць, што патрэбна спачатку вылічываць выраз паміж дужкамі, а потым над адтрыманым рэзультатам зрабіць чарговае паказанае дзеяньне.
Калі пры разьвязваньні задач патрэбныя дзеяньні ня робяцца сапраўды, а паказваюцца толькі знакамі, дык дастаецца арытмэтычны выраз або формуля.
Каб з формулы адтрымаць рэзулатат, трэба раскрыць ўсе дужкі, каторыя ў ёй ёсьць, і зрабіць паказаныя знакамі дзеяньні, пры чым раскрыцьцё трэба пачынаць з сярэдніх дужак.
Увага. Пры разьвязваньні задач вельмі карысна, раней скончаньня дзееньняў, паказаць формулай (дзе гэта можна), якія дзеяньні, пад якімі лікамі і ў якім парадку трэба зрабіць для адтрыманьня адказу на задачу.
- ↑ Калі у множніку сустракаецца лічбіна 1, дык, для скарочаньня часу, прымаюць множаны за адпаведнае множыва.
Прыклады:1) 575×321 2) 575×312 3) 575×132 1150 1150 1725 1725 1725 1150 184575 179400 75900 - ↑ Для скарочаньня часу, пры дзяленьні на адназначны лік, пад дзельным не падпісываюць множыва дзельніка на кожную лічбіну, а, робячы множаньне і адыманьне на памяць, пад дзельным пішуць толькі астачы. (глядзі прыклад 1).