Аснаўныя пачаткі арытмэтыкі (1920)/Дадатак
| ← Адносіны і прапорцыі | Дадатак Падручнік арытмэтыкі Аўтар: Навум Цыгельман 1920 год Арыгінальная назва: Основныя начала ариѳметики Пераклад: Юрка Лістапад |
Прапануем да спампаваньня!
ДАДАТАК.
1. Розныя сыстэмы зьлічэньня.
Ведама, што ў дзесяцёрнае сыстэме вылічаньня за аснову прыняты лік дзесяць, але за аснову можа быць прыняты і ўсякі другі лік, большы або меньшы за дзесяць. Значыцца, замест таго, каб ужываць дзесяць лічбін для напісаньня лікаў і дапушчаць, што адзінкі якога-небудзь парадку ў дзесяць разоў большыя за адзінку суседняга ніжэйшага парадку, можна ўзяць толькі дзьве, тры, чатыры і г. д. лічбіны і дапушчаць, што значэньне кожнае зьлева напісанае лічбіны павялічваецца ў 2, 3, 4 і г. д. разоў.
Сыстэма адтрымоўвае найменьне па ліку, прынятаму за аснову: яна наз. дваічнаю, траічнаю, чацьвярычнаю і г.д., калі асноваю яе служаць лікі 2, 3, 4 і г. д.
Для напісаньня ўсіх лікаў пры дваічнае сыстэме трэба толькі 2 лічбіны — 1 і 0, для траічнае сыстэмы — 1, 2, 0, для чаньвярычнае сыстэмы — 1, 2, 3, 0 і г. д.; калі-ж аснова сыстэмы большая за 10, прыкладам 12, то лік істнуючых 10 знакаў, трэба павялічыць двома новымі (напр.: а і в) для напісаньня 10 і 11.
Ня цяжка паказаць, што пры якой хочаш сыстэме можна напісаць усемагчымыя лікі. Возьмем, напр., траічную сыстэму, маючую толькі тры звакі: 1, 2, 0. Дзеля таго, што пры аснове 3 трэба значэньне кожнае зьлева напісанае лічбіны павялічыць утрое, дык на першым месцы павінны быць адзінкі першага парадку, на другім тройкі або адзінкі 2-га парадку, на трэйцім дзевяткі, або адзінкі 3-га парадку, на чацьвёртым дваццацьсямёркі, або адзінкі 4-га парадку і г. д. Такім чынам па гэтае сыстэме 10 азначае 3, 20 — 6, 100 — 9, 200 — 18, 1000 — 27 і г. д.
Першыя 20 лікаў пішуцца па траічнае сыстэме гэтак:
1, 2, 10 [3], 11 [4], 12 [5], 20 [6], 21 [7], 22 [8], 100 [9], 101 [10], 102 [11], 110 [12], 111 [13], 112 [14], 120 [15], 121 [16], 122 [17], 200 [18], 201 [19], 202 [20].
Перавод ліку з дзесяцёрнае сыстэмы зьлічэньня ў другую сыстэму.
Каб напісаць па другой сыстэме які-небудзь лік, апісаны па дзесяцёрнае сыстэме, павінна пад дадзеным лікам зрабіць рад паступовых дязяленьня на аснову жаданае сыстэмы да таго часу, пакуль у дзелі дастанецца лік меншы за дзельнік; тагды першая астача будзе лічбінаю адзінак першага парадку шуканага ліку, другая астача — лічбінаю адзінак другога парадку і г. д., а апошняя дзель — лічбінаю адзінак апошняга парадку.
Няхай, напрыклад патрабуецца лік 2783 напісаць па пяцёрнае сыстэме:
| 2783 | 5 | |||
| 3 | 556 | 5 | ||
| 1 | 111 | 5 | ||
| 1 | 22 | 5 | ||
| 2 | 4 | |||
Даведаемся, колькі ў ім ёсьць адзінак другога парадку, г. зн. пяцёрак. Разьдзяліўшы 2783 на 5, адрымаем у дзелі 566 і ў астачы 3. Дзель паказвае, што адзінак другога парадку ў шуканым ліку 556; астача 3 паказвае лічбіну першага парадку. Разьдзяліўшы 556 на 5, знаходзім, што ў дзелі, лік адзінак трэйцяга парадку і ў астачы 1 — лічбіну другога парадку. Разьдяліўшы 111 на 5 знаходзім у дзелі 22 і ў астачы 1 — лічбіну трэйцяга парадку. Разьдзяліўшы 22 на 5 знаходзім у дзелі 4 і ў астачы 2 — лічбіну чацьвёртага парадку. Апошняя дзель 4, будучы меншая за 5, абазначыць пятую і апошнюю лічбіну шуканага ліку. Значыцца, лік 2783 па пяцёрнае сыстэме пішацца гэтак: 42113.
Няхай яшчэ патрабуецца напісаць 72347 па 12-рычнае сыстэме:
| 72347 | 12 | |||
| 11 | 6028 | 12 | ||
| 4 | 502 | 12 | ||
| 10 | 41 | 12 | ||
| 5 | 3 | |||
Абазначваючы 10 цераз а, а 11 цераз в, знаходзім, што дадзены лік трэба напісаць гэтак: 35 а 4 в.
Пераклад ліку, напісанага па другой сыстэме зьлічэньня ў дзесяцёрную.
Каб напісаць па дзесяцёрнае сыстэме які-небудзь лік, напісаны па другой сыстэме, павінна памножыць адзінкі найвышэйшага парадку дадзенага ліку на аснову і да адтрыманага множыва дадаць адзінкі суседняга ніжэйшага парадку, знойдзенае зьлічво ізноў памножыць на аснову і да адтрыманага множыва дадаць адзінкі суседняга ніжэйшага парадку і г. д. Лік, адтрыманы ад дадаваньня лічбіны звычайных адзінак да знойдзенага ліку тых-жа адзінак, выразіць сабою дадзены лік па дзесяцёрнае сыстэме зьлічэньня.
Няхай, напрыклад патрабуецца перавесьці ў дзесяцёрную сыстэму лік 230432, напісаны па пяцярычнае сыстэме.
| 2 | 30432 | Дзеля таго, што ў гэтае сыстэме кожная адзінка выжэйшага парадку мае 5 адзінак бліжэйшага ніжэйшага парадку, дык памножыўшы на аснову лічбіну 2, которая стаіць у дадзеным ліку на шостым мейсцы, і дадаўшы да знойдзенага множыва лічбіну 3, которая стаіць на пятым мейсцы, адтрымаем 13 адзінак пятага парадку па пяцёрнае сыстэме; памножыўшы потым 13 на аснову адтрымаем 65 адзінак чацьвёртага парадку; памножыўшы затым 65 на аснову і дадаўшы да знойдзенага множыва 4, адтрымаем 329 адзінак трэйцяга парадку. Такім-жа чынам адтрымовываем 1648 адзінак другога парадку і, нарэшце, 8242 звычайныя адзінкі, г. зн. шуканы лік па дзесяцёрнае сыстэме. |
| ×5 | ||
| 10 +3 |
||
| 13 ×5 |
||
| 65 ×5 |
||
| 325 +4 |
||
| 329 ×5 |
||
| 1645 +3 |
||
| 1648 ×5 |
||
| 8240 +2 |
||
| 8242 |
II. Рымская нумэрацыя.
Лічбіны, каторыя ўжываюцца намі, наз. арабскімі; але ў некатарых выпадках ужываюцца таксама і рымскія лічбіны. Рымляне ўжывалі для абазначваньня лікаў толькі наступныя сем знакаў:
| 1, | 5, | 10, | 50, | 100, | 500, | 1000. |
| I, | V, | X, | L, | C, | D, | M. |
Пры абазначваньні лікаў падмогаю гэтых знакаў карыстаюцца наступнымі правіламі:
1) Калі лічбіна 1 пастаўлена пасьля V і X, дык значэньне апошніх павялічваецца на адзінку; калі-ж пастаўлена перад лічбінамі V i X, дык іх значэньне памяншаецца на адзінку. Так, VI абазначае 6, a IV — 4; XI — 11, a IX — 9.
2)Гэтак-жа сама, калі лічбіна Х пастаўлена пасьля лічбіны L і C, дык значэньне апошніх павялічваецца на дзесяць; калі-ж пастаўлена перад лічбінамі L і С, дык значэнне іх памяншаецца на дзесяць. Так, LX абазначае 60, а XL — 40; CX — 110, XC — 90.
3)Роўным чынам, калі лічбіна С пастаўлена пасьля лічбіны D i М, дык значэньне апошніх павялічваецца на 100; калі-ж пастаўлена перад лічбінамі D i M, дык значэньне іх памяншаецца на 100. Так, DC — 600, a CD — 400, MC — 1100, CM — 900.
4)Знакі I, X і C могуць паўтарацца ня больш трох разоў зразу.
Пасьля гэтага нам будуць зразумелымі наступныя абазначэньні лікаў:
I=1, II=2, III=3, IV=4, V=5, VI=6, VII=7, VIII=8, IX=9, X=10, XI=11, XII=12, XIII=13, XIV=14, XV=15, XVI=16, XVII=17, XVIII=18, XIX=19, XX=20, XXI=21, XXIX=29, XXX=30; XL=40, XLII=42, LXXXIV=84, XC=90, XCVI=96, CCC=300, DC=600, DCCC=800, MDCCCXCIX=1899.
Лікі, складзеныя з некалькіх тысячаў, абазначваюцца як і лікі, складзеныя з некалькіх адзінак, толькі з правага боку, знізу ставяць літару «m» (mille); напрыклад IIIm=3000, Lm=50000, CDVImCMXC=406990.
III. Прыклад і задачы для зразуменьня мэтрычнае сыстэмы мераў.
1.Колькі мэтраў у 37 мірыямэтрах? 11,5 кілёметра? у 12,4 гэктамэтра? 25 гэктамэтрах?
2.Колькі дэцымэтраў у 15 мэтрах? у 3,7 дэкамэтра? у 4,85 гэктамэтра? у 57 кілёмэтрах? у 15 мірыямэтрах?
3.Колькі сантымэтраў і колькі міліметраў у 5 мэтрах? ў 6,5 кілёметра? у 4.9 метра? у 15,04 дэкамэтра? 3,75 гэктамэтра?
4.Зьвярнуць у мэтры: а) 50 дэцым., 6) 700 сант., в) 8000 мілімэтра, г) 456 сантым., д) 5736 мілім.
5.Зьвярнуць у дэцымэтры і затым у сантымэтры: а) 357 мілімэтр., б) 5,36 мілімэтр., в) 345,03 мілімэтр.
6.Выразіць многа-іменным лікам: а) 20453 сантымэтры, б) 0,74 мэтра, в) 0,0534 мэтра.
7.3657,0670 мілімэтр. зьвяруць у меры выжэйшага найменьня.
8.Выразіць многа-іменным лікам: а) 5678,203 мэтра, 5) 4032,120 сантым., в) 3405672 мілімэтры.
9.5 дэкам. 3 мэтры 6 дэцымэтраў 7 мілім. прадставіць у выглядзе аднайменнага ліку, выражанага: а) у кілёмэтрах, б) у дэкамэтрах, в) у мэтрах, г) у дэцымэтрах. д) у сатыметрах, с) у міліметрах.
10.Колькі квадр. сантымэтр. у 305 квадр. мэтрах? У 58 квадр. дэцымэтр?
11.Зьвярнуць у квадр. дэцымэтры 20 квадр. декамэтраў 7 квадр. мэтраў.
12.506 квадр. сантымэтр. зьвярнуць: а) у квадр. дэкамэтр., 6) у квадр. мэтры.
13.Зьвярнуць квадр. мэтры: а) 5 гэктараў 6 араў, б) 15,14 ара, в) 4,467 apa.
14.Колькі араў і колькі гэктараў паўтараецца ў 58635,45 квадр. мэтра.
15.35,65 куб. мэтра зьвярнуць у куб. дэцымэтры і ў куб. сантымэтры.
16.56076896 куб. сантымэтраў зьвярнуць у куб. мэтры і куб. дэкамэтры.
17.346250327 куб. мілімэтр. зьвярнуць у куб. дэцымэтры і ў куб. мэтры.
18.Перакласьці ў дэцылітры: а) 3,7 гэкталітры, б) 5 дэкалітраў, в) 6,07 літра.
19.56740,8 сантылітра выразіць многа-іменным лікам.
20.Зьвярнуць у куб. дэцымэтры, а затым у куб. сантымэт.: а) 4 дэкалітры, б) 3 літры, в) 0,6 гэкталітра[1].
21.7,56 кілёграм. выразіць: а) у дэкаграм., б) у грамах, в) у дэцыграмах, г) у сантыграм., д) у міліграм.
22.Зьвярнуць 57 дэцыграм.: а) у грамы, б) у дэкаграм., в) у кілёграм.
23.5076,128 грама выразіць многа-іменным лікам.
Адказ.5 кілёграм. 7 дэкаграм. 6 грам. 1 дэцыграм 2 сантыгр. 8 міліграм.
24.4 кілёгрм. 15 дэкаграм. 6 грам. зьвярнуць: а) у грамы, б) у дэкаграмы, в) у кілёграмы.
25.Знайсьці зьлічво: 6 мэтр. 36 сантымэт. 5 мілімэтр., 3 мэтры 8 дэцымэтраў 4 сантымэтр. 8 мілімэтр., 15 мэтр. 6 сантымэтраў.
Адказ.1 дэкам. 5 мэтр. 2 дэцымэтр. 7 сантымэтр. 3 мілімэтр.=15,273 мэтра.
26.Выразіць у мэтрах і скласьці: 5608 кілёмэтр., 3705 гэктамэтр., 5600 дэкамэтр., 4735 дэцымэтр., 54304 сатымэтр., 250708 мілімэтр,
Адказ.6035767,248 мэтр.
27.Скласьці: 5 кілёграм. 43 дэкаграм., 4 грам. 8 дэцыграм., 12 кілёграм, 7 дэкаграм. 8 грам. 3 сантыграм., 15 кілёграм. 36 дэкаграм. 4 сантыграма.
Адказ.32,87287 кілёграм.=32872,87 грама.
28.3 8 кілёмэтр. 3 дэкамэтр. 5 дэцымэтр. 6 сантымэтраў адлічыць 4 кілём. 7 дэкамэтр. 5 мэтр. 89 сантымэтр. і розьніцу выразіць у мэтрах.
Адказ.3954,61 мэтра.
29.3 18 літраў адлічыць 5 літраў 7 дэцылітр. 6 сантыліт.
Адказ.12 літр. 2 дэцылітр. 4 сантылітр.=12,24 літра.
30.Колькі трэба дадаць да зьлічва 5 дэкаграм. 7 дэцыгр. і 3,058 гэктаграм., каб адтрымаць 1 кілёграм?
Адказ:0,6435 кілёграма.
31.Знайсьці множыва 5 кілёмэтраў, 6 дэкамэтр. 4 мэтр. 7 дэцымэтр. на 120.
Адказ:607 кілёмэтр. 76 дэкамэтр. 4 мэтр.=607,764 км.
32.6 кілёграм. 3 гэктар. 4 грам. 7 дэцыграм. павялічыць у 15 разоў.
Адказ:94,5705 кілёграм.
33.1 літр. сьпірту каштуе 5 франкаў 20 сантым. Колькі трэба заплаціць за 5 літраў 6 дэцылітр. сьпірту?
Адказ:29 франкаў 12 сантым.
34.Знайсьці чацьвёртую частку 15 мэтраў 8 дэцымэтр. 5 сантымэтр. 6 мілім.
Адказ:3,964 мэтра.
35.Калі на 13 франкаў можна купіць 2 мэтры сукна, дык колькі сукна можна купіць па 45 франкаў 50 сантым.?
Адказ:7 мэтраў.
36.58 кілёмэтр. 6 гэктамэтр. 4 мэтр. разьдзяліць на 25.
Адказ:2 кілёмэтр. 34 дэкамэтр. 4 мэтр. 16 сантымэтр.
37.За 6 мэтр. 4 дэцымэтр. матэрыі заплачана 14 франкау 40 сантым. Колькі каштуе 1 мэтр. матэрыі?
Адказ:2 фран. 25 сантымаў.
38.У колькі разоў 27 кілёграм. 5 гэктагр. 8 дэкагр. 8 грам 6 дэцыгр. большыя за 3 кілёгр. 6 дэкагр. 5 грам. 4 дэцыгр.?
Адказ:У 9 разоў.
39.У колькі разоў 58 гэкталітр. 4 дэкалітр. 1 літр. 9 дэцылітр. 2 сантылітр. большыя за 7 гэкталітр. 3 дэкалітр. 2 дэцылітр. 4 сантылітр?
Адказ:У 8 разоў.
40.Адзін гандляр купіў у другога 35 мэтр. аксаміту па 28 франкаў 30 сантымаў за мэтр, у выплату грашыма даў 866 франкаў 75 сантымаў., а замест рэшты узяў — 45 кілёграмаў кавы. У колькі цаніўся кілёграм кавы?
Адказ:У 2 фран. 75 сантымаў.
41.З кавалкі серабра у 34,56 кілёгр. майстар зрабіў лыжкі для гарбаты, вагаю кожная 57,6 дэкагр. і прадаў іх па 20 франк. 24 сантым. за кожны тузін. (12 шт.). Колькі ён адтрымаў грошаў?
Адказ:101,2 франка.
42.12 мэтраў матэрыі каштуюць 45 фран. Колькі матэрыі можна купіць за 101 фран. 25 сантым?
Адказ:27 мэтраў.
43.За кавалак аксаміту ў 25,1 мэтра заплачана 552 фран. 20 сантымаў, а за другі кавалак такога-ж аксаміту заплачана 770 фран. Колькі мэтраў у 2-гім кавалку?
Адказ:35 мэтраў.
44.Каб прайсьці дарогу паміж двома местамі за 3 гадз. 12 часін, падарожны павінен ісьці па 3 кілёмэтр. 7 гэктамэтр. 5 дэкамэтр. у адну гадзіну. Па колькі трэба яму ісьці ў 1 гадзіну, каб прайсьці гэтую дарогу у 2,5 гадзіны?
Адказ:4,8 кілёметра.
45.На абіўку падлогі патрабуецца 24 мэтры лінолеуму шырынёю ў 1,8 мэтра. Колькі трэба будзе лінолеуму шырынёю ў 1 мэтр. 5 дэцымэтраў?
Адказ:28,8 мэтра.
46.Колькі патрабуецца цэглін для кладкі сьцяны, якая 15 мэтраў даўжыні, 3 мэтр. вышыні і 8 дэцымэтр. таўшчыні, калі кожная цэгліна мае 6 дэцымэтраў даўжыні, 4 дэцымэтр. шырыні і 2 дэцымэтр. таўшчыні?
Адказ:750 цаглін.
47.Пасьля прадажы з склепа 3675 гэкталітр. віна выявілася, што астатняя колькасьць віна ў 6 разоў меншая прададзенага. Колькі віна было ў склепе да прадажы?
Адказ:4287 гэкталітр. 5 дэкалітраў.
48.Зьмешана 3,5 кілёгр. тытуню па 18 фр. 40 сан. за кілёгр. 3 6 кілёгр. 40 дэкагр. тытуню па 15 фр. 20 сант. за кілёгр. Па колькі трэба прадаваць адзін гэктагр. мешаніны, каб прадаўшы ўсю мешаніну, адтрымаць 36 фр. 32 сант. прыбытку?
Адказ:Па 2 франкі.
49.Колькі трэба даліць вады да 922,5 літр. сьпірту па 28 фр. за дэкалітр, каб, прадаючы мешаніну па 25 фр. за дэкалітр., зарабіць па 25 сант. на кожны франк?
Адказ:36,9 дэкалітра.
50.Клясны пакой мае ў даўжыню 9 мэтр., у шырыню 5 мэтр. і ў вышыню 6 мэтраў, у ім зьмяшчаецца 36 вучняў. Колькі куб. мэтр. паветра дастаецца на кожнага вучня?
Адказ:7,5 куб. метр.
51.Выразіць звычайна ўжыванымі ў нашым краі мерамі вагі: 3) 12,5 кілёгр., 6) 25 францускіх цэнтнэраў, в) 28 франц. тон, г) 13,3 англ. цэнтнэра, д) 150 англ. тон.. е) 7 нямец. цэнтн.
52.Перакласьці 15,25 расейск. хунта: а) у кілёгр., б) у англ. хунты, в) у нямецк. хун.
53.Выразіць па мэтрычнае сыстэме вагу, роўную 1 пуду 4 хун. 48 зал.
Адказ.18 кілёгр. 2 гэктагр. 4 дэк. 5 грам=18,245 кілёграма.
54.Зьвярнуць у мэтрычныя меры: а) 1 вярсту 100 саж. 4 стапы 5 цаляў; б) 350 саж. 2 арш. 6 вярш.
55.Выразіць мэтрычнымі мерамі паверхню, роўную 2 кв. саж. 4,3 кв. арш.
Адказ.11,263 кв. мэтра.
56.19,62 гэктаара зьвярнуць у дзесяціны.
Адказ.18 дзесяцінаў.
57.Перакласьці ў звычайныя меры зьмест, роўны 10,44 куб. мэтр.
Адказ.5 куб. саж. 2 куб. арш.
58.Вядро=12,30 літра. Колькі літраў зьмяшчае ў сабе басэйн, зьмяшчаючы 480 вёдраў вады?
Адказ.590,4 дэкалітра.
59.Грам.=вагі аднаго куб. сантымэтра чыстае вады. Выразіць у звычайных мерах вагу 2,3 літра вады, ведаючы, што, літр мае 1000 куб. сантымэтраў.
Адказ.5 хун. 14 лот. 24 залатнікі.
- ↑ Літр — гэта зьмест, маючы 1000 куб. сантымэтраў.