Аснаўныя пачаткі арытмэтыкі (1920)/Адносіны і прапорцыі

← Дробязныя лікі

Адносіны і прапорцыі
Падручнік арытмэтыкі
Аўтар: Навум Цыгельман
1920 год
Арыгінальная назва: Основныя начала ариѳметики
Пераклад: Юрка Лістапад

Дадатак →

Прапануем да спампаваньня!

АДНОСІНЫ І ПРАПОРЦЫІ.

Адносіны.

219.Адносінамі наз. рэзультат, дастаны ад параўнаньня двох аднаіменных лікаў.

Лікі можна раўняць дваяка: або спосабам адыманьня (каб даведацца, на колькі адзінак адзін лік большы за другі), або способам дзяленьня (каб даведацца, у колькі разоў адзін лік большы за другі), а таму адносіны разьдзельваюцца на арытмэтычныя, або розьніцавыя, і на гэомэтрычныя, або разавыя.

Арытмэтычныя адносіны.

220.Арытмэтычнымі або розьніцавымі адносінамі наз. арытмэтычнае выражэньне, якое патрабуе шуканьня розьніцы двох лікаў ${\big (}$ 13–5; 7–2³/₄:1,2–⁵/₆… ${\big )}$ .

221.Лікі, паміж каторымі разглядаюцца адносіны, наз. складамі (суставамі) яе; зьмяншаны наз. першым або пярэднім, адыманы другім або наступным складам (суставам), а розьніца паміж гэтымі лікамі — розьніцаю адносінаў.

Дзеля таго, што пярэдні склад арытмэтычных адносін ёсьць зьмяншаны, а наступны — адыманы, дык залежнасьць паміж складамі і розьніцаю адносінаў павінна быць такая-ж, якая ёсьць паміж зьмяншаным, адыманым і розьніцаю. А дзеля таго:

222.Пярэдні склад арытмэтычных адносін роўны наступнаму, складзенаму з розьніцаю адносін (х–7=5, адкуль: x=7+5=12).

223.Наступны склад арытмэтычных адносін роўны пярэдняму бяз розьніцы адносін (13–х=7, адкуль: х=13–7=6).

Розьніца адносінаў роўна пярэдняму складу без наступнага.

224.З павялічаньнем пярэдняга склада або з паменшаньнем наступнага якім-небудзь лікам розьніца адносін павялічваецца.

225.З паменшаньнем пярэдняга або з павялічаньнем наступнага склада якім-небудзь лікам розьніца адносін памяншаецца.

226.3 адначасным павялічаньнем або паменшаньнем пярэдняга і наступнага складоў аднолькавым лікам розьніца адносін ня зьменьваецца.

Гэомэтрычныя адносіны.

227.Геомэтрычнымі або разавымі адносінамі наз. арытмэтычнае выражэньне, якое патрабуе даведацца, у колькі разоў адзін лік большы, або меншы за другі ${\big (}$ 20 : 5; ³/₄ : ⁵/₆; 1 : 2,5… ${\big )}$ .

228.Лікі, паміж каторымі разглядваюцца адносіны, наз. складамі іх; дзельны наз. пярэднім, дзельнік — наступным складам, а дзель — назоўнікам (або зьместам адносін).

Дзеля таго, што пярэдні склад гэомэтрычных адносін ёсьць дзельны, а наступны — дзельнік, дык залежнасьць паміж складамі і назоўнікам (зьместам) адносін павінна быць такая-ж, якая ёсьць паміж дзельным, дзельнікам і дзельлю. А дзеля таго:

229.Пярэдні склад гэомэтрычных адносін роўны наступнаму, памножанаму на назоўнік (зьмест) адносін (х : 7 = 9, адкуль х = 7 · 9 = 63).

230.Наступны склад гэомэтрычных адносін роўны пярэдняму, падзеленаму на назоўнік (зьмест) адносін (63 : x = 9; x = 63 : 9 = 7).

Назоўнік (зьмест) адносін роўны пярэдняму складу, падзеленаму на наступны.

231.З павялічаньнем пярэдняга або з паменшаньнем наступнага склада гэомэтрычных адносін у колькі-небудзь разоў, назоўнік (зьмест) адносін павялічваецца ў столькі-ж разоў.

232.3 паменшаньнем пярэдняга або з павялічаньнем наступнага склада гэомэтрычных адносін у колькі-небудзь разоў, назоўнік (зьмест) адносін памяншаецца ў столькі-ж разоў.

233.3 адначасным павялічаньнем або паменшаньнем пярэдняга й наступнага складоў у аднолькавы лік разоў, назоўнік (зьмест) адносін ня зьменьваецца.

На асаблівасьці назоўніка (зьместа) адносін ня зьменьваць свае вялічыні ад адначаснага паменшаньня пярэдняга й наступнага складоў у аднолькавы лік разоў аснована скарочаньне гэомэтрычных адносін.

234.Каб скараціць гэомэтрычныя адносіны, трэба абодва іх склады разьдзяліць на адзін і той-жа лік

6		6
(30	:	18=5 : 3).

На асаблівасьці назоўніка адносін ня зьменьваць свае вялічыні ад адначаснага павялічаньня пярэдняга й наступнага складоў у аднолькавы лік разоў аснована замена адносін дробязных або мяшаных лікаў адносінамі цэлых лікаў.

235.Каб замяніць адносіны мяшаных лікаў адносінамі цэлых лікаў, трэба спачатку мяшаныя лікі зьвярнуць у дробязі, потым дробязі прывесьці да аднаго назоўніка і гэты назоўнік адкінуць: ${\big [}$ 3³/₄ : 2⁵/₆ = ${\tfrac {15}{4}}\colon {\tfrac {17}{6}}={\tfrac {45}{12}}\colon {\tfrac {34}{12}}$ = 45 : 34 ${\big ]}$

Адносіны дзьвюх дробязяў з роўнымі лічнікамі роўны адваротным адносінам іх назоўнікаў ${\big [}$ ¹⁵/₁₈ : ¹⁵/₂₅ = 25 : 18 ${\big ]}$ .

236.Двое гэомэтрычных адносін наз. адваротнымі адны да другіх, калі пярэдні склад адных з іх ёсьць наступным для другіх і наадварот (12 : 4 і 4 : 12, або 3 : 9 i 9 : 3).

Множыва назоўнікаў (зьместаў) двох адваротных паміж сабой гэомэтрычных адносінаў роўна адзінцы ${\big (}$ ⁹/₈×⁸/₉ = 1 ${\big )}$ .

Прапорцыі

237.Прапорцыяй наз. роўнасьць двох адносін.

238.Прапорцыі дзеляцца на арытмэтычныя, або розьніцавыя, і громэтрычныя, або разавыя.

Арытмэтычная прапорцыя.

239.Арытмэтычнаю або розьніцаваю прапорцыяй наз. роўнасьць двох арытмэтычных адносін (8 – 5 = 10 – 7).

240.Лікі, складаючыя арытмэтычную прапорцыю, наз. складамі яе, пярэдні склад першых адносін наступны другіх наз. канцавымі, а наступны склад першых і пярэдні другіх — сярэднімі.

241.Асноўная асаблівасьць арытмэтычнае прапорцыі ёсьць у тым, што зьлічво канцавых складоў роўны зьлічву яе сярэдніх складоў.

Каб давесьці гэта, возьмем прапорцыю a – b = c – d, дзе над літарамі а, b, c, d можна разумець якія хочаш лікі, складаючыя арытмэтычную прапорцыю.

Абазначыўшы розьніцу адносін літараю адтрымаем:

	a = b + r [гл. § 222].
	d = c – r [гл. § 223].
Значыцца, а + d = b + c + r – r, або а + d = b + с.

242.Невядомы канцавы склад арытмэтычнае прапорцыі роўны зьлічву сярэдніх без вядомага канцавога (х – 5 = 6 – 4, адкуль х = 5 + 6 – 4 = 7).

243.Невядомы сярэдні склад арытмэтычнае прапорцыі роўны зьлічву канцавых без вядомага сярэдняга (9 – x = 12 – 7, адкуль х = 9 + 7 – 12 = 4).

244.Арытмэтычная прапорцыя наз. неперарыўнаю, калі канцывыя або сярэднія склады яе роўныя паміж сабою (20 – 13 = 13 – 6; 9 – 5 = 13 – 9).

245.Невядомы з роўных паміж сабою складоў неперарыўнае арытмэтычнае прапорцыі роўны палавіне зьлічва астатніх двох яе складоў ${\big (}$ 24 – х = х – 6, адкуль 2x = 24 + 6, a x = ${\tfrac {24+6}{2}}$ =15).

Кажны з роўных паміж сабою складоў неперарыўнае арытмэтычнае прапорцыі наз. сярэднім арытмэтычным, або арытмэтычнаю сярэдзінаю двох другіх складоў.

Сярэднім арытмэтычным або арытматычнаю сярэдзінаю некалькіх лікаў наз. дзель, адтрыманая ад дзяленьня зьлічва дадзеных лікаў на лік іх ${\big (}$ арытм. сярэдзіна 5, 6, 7, 8, 9 = ${\tfrac {5+6+7+8+9}{5}}$ =7 ${\big )}$ .

Гэомэтрычная прапорцыя.

246.Геомэтрычнаю прапорцыяю наз. роўнасьць дзьвёх гэомэтрычных адносін ${\big (}$ 6 : 3 = 8 : 4; ⁶/₃ = ⁸/₄ ${\big )}$ .

247.Лікі, складаючыя гэомэтрычную прапорцыю, наз. складамі яе; пярэдні склад першых адносін і наступны другіх наз. канцавымі, а наступны склад першых і пярэдні другіх — сярэднімі.

248.Асноўная асаблівасьць гэомэтрычнае прапорцыі ёсьць у тым, што множыва канцавых роўна множыву сярэдніх яе складоў.

Каб давесьці гэта, возьмем прапорцыю а : b = с : d і напішам яе ў выглядзе дзьвёх роўных дробязяў: ${\tfrac {a}{b}}={\tfrac {c}{d}}$ .

Памножыўшы абедзьве дробязі на множыва іх назоўнікаў, г. зн. на b · d, адтрымаем:

${\tfrac {a\cdot {b}\cdot {d}}{b}}={\tfrac {c\cdot {b}\cdot {d}}{d}}$ .

Скараціўшы першую дробязь на b, а другую на d, адтрымаем: a · d=c · b. 3 роўнасьці двох множываў, складзеных кожнае з двох множнікаў, можна ўкласьці прапорцыю, у каторай множнікі аднаго множыва будуць яе канцавымі складамі, а множнікі другога множыва — сярэднімі (3 · 8 = 4 · 6, можам укласьці з іх такую прапорцыю: 8 : 4 = 6 : 3).

Лікі, з каторых можна скласьці геомэтрычную прапорцыю, наз. прапарцыянальнымі.

249.Невядомы канцавы склад гэомэтрычнае прапорцыі роўны множыву сярэдніх, падзеленаму на вядомы канцавы ${\big (}$ x : 3 = 12 : 2, адкуль x = ${\tfrac {3\cdot 12}{2}}$ = 18 ${\big )}$ .

250.Невядомы сярэдні склад гэомэтрычнае прапорцыі роўны множыву канцавых, падзеленаму на вядомы сярэдні ${\big (}$ 20 : x = 12 : 3, адкуль x = ${\tfrac {20\cdot 3}{12}}$ = 5 ${\big )}$ .

251.У кожнай прапорцыі можна пераставіць: 1) канцавыя склады, 2) сярэднія склады і 3) канцавыя і сярэднія. Пераставіўшы потым у кожнай з дастаных 4 прапорцыяў сярэднія на мейсца канцавых і, наадварот, адтрымаем яшчэ 4 прапорцыі. Такім чынам, дзякуючы розным перастаноўкам, гэомэтрычная прапорцыя можа мець восем выглядаў.

Напрыклад:

1) 8 : 2 = 12 : 3; 2) 3 : 2 = 12 : 8; 3) 8 : 12 = 2 : 8; 4) 3 : 12 = 2 :8; 5) 2 : 8 = 3 : 12; 6) 2 : 3 = 8 : 12; 7) 12 : 8 = 3 : 2; 8) 12 : 3 = 8 : 2.

У кожнай гэометрычнай прапорцыі можна памножыць або разьдзяліць на адзін і той-жа лік: яе пярэднія і заднія склады, або склады першых адносін, або склады другіх адносін.

На гэтай асаблівасьці аснована скарочаньне складоў, а таксама зьнішчэньне дробязяў у гэомэтрычнай прапорцыі.

252.Каб скараціць склады гэометрычнае прапорцыі, трэба кожны канцавы з кожным сярэднім паменшыць у аднолькавы лік разоў.

253.Каб зьнішчыць дробязі ў гэомэтрычнай прапорцыі, складзенай зьмяшаных або дробязных лікаў, трэба мяшаныя лікі зьвярнуць у дробязі, потым дробязі прывесьці да аднаго назоўніка і гэты назоўнік адкінуць ${\big (}$ 8 : ⁷/₉ = 10 : ${\tfrac {35}{36}}$ ; 8 : 28 = 10 : 35 ${\big )}$ .

254.Гэомэтрычная прапорцыя наз. неперарыўнаю, калі абодва сярэднія або абодва канцавыя яе склады роўныя паміж сабою (16 : 8 = 8 : 4; 8 : 4 = 16 : 8).

Невядомы канцавы склад неперарыўнае гэомэтрычнае прапорцыі роўны квадратнаму корню з множыва сярэдніх складаў, а невядомы сярэдні роўны квадратнаму корню з множыва канцавых складоў. Напрыклад: х : 4 = 9 : х, адкуль х² = 4 · 9, а x= ${\sqrt {4\cdot 9}}={\sqrt {36}}=6$ або: 27 : х = х : 3, адкуль х² = 27 · 3, a x = ${\sqrt {27\cdot 3}}={\sqrt {81}}=9$ .

Кожны з роўных паміж сабою складоў неперарыўнае гэомэтрычнае прапорцыі наз. сярэднім гэомэтрычным лікам двох другіх складоў.

Сярэднім гэомэтрычным дадзеных лікаў наз. корань н-ае ступені з множыва гэтых лікаў.

255.Гэомэтрычная прапорцыя наз. вываднаю, калі яна дасталася з аднае дадзенае прапорцыі спосабам некатарых дзеяньняў: або цераз складаньне або цераз адыманьне наступных яе складоў з пярэднімі і г.д.

Напрыклад:

Дадзена прапорцыя 9 : 3 = 12 : 4; з гэтае прапорцыі можна стварыць наступныя вывадныя прапорцыі, каторыя будуць здавольваць галоўнай асаблівасьці гэомэтрычнае прапорцыі:

1) (9±3) : 3 = (12±4) : 4,

г. зн. зьлічво або розьніца складоў першых адносін адносіцца да свайго наступнага склада, як зьлічво або розьніца складоў другіх адносін адносіцца да свайго наступнага складу.

2) (9±3) : 9 = (12±4) : 12,

г. зн. зьлічво або розьніца складоў першых адносін адносіцца да свайго пярэдняга склада, як зьлічво або розьніца складоў другіх адносін да свайго пярэдняга склада.

Пераставіўшы ў папярэдніх прапорцыях (1 і 2) сярэднія склады, адтрымаем:

3) (9±3) : (12±4) = 3 : 4 = 9 : 12,

г. зн. зьлічво або розьніца складоў першых адносін адносіцца да зьлічва або розьніцы складоў другіх адносін, як наступны склад да наступнага або як пярэдні да пярэдняга.

4) (9±3) : (12±4) = (9 $\mp$ 3) : (12 $\mp$ 4),

г. зн. зьлічво або розьніца складоў першых адносін адносіцца да зьлічва або розьніцы складоў другіх адносін, як розьніца або зьлічво складоў першых адносін адносіцца да розьніцы або зьлічва складоў другіх адносін

5) (9+12) : (3+4) = 9 : 3 = 12 : 4,

г. зн. у ва ўсякай прапорцыі зьлічво пярэдніх складоў адносіцца да зьлічва наступных, як адзін з пярэдніх да свайго наступнага.

256.Гэомэтрычная прапорцыя назыв. складанаю (зложанаю), калі яна дасталася або посьле паскладнага множаньня, або посьле паскладнага дзяленьня дзьвёх або некалькіх дадзеных гэомэтрычных прапорцыяў.

Назоўнік (зьмест) адносін адтрыманнае складанае прапорцыі, посьле множаньня або дзяленьня, роўны множыву або дзелі старых назоўнікаў.

Прыклады:	а)6 : 3 = 10 : 5	[2]
	9 : 3 = 12 : 4	[3]
	6 · 9 : 3 · 3 = 10 · 12 : 5 · 4, aбo,

	54 : 9 = 120 : 20 (зьмест 6 = 2 · 3).

	б)18 : 3 = 54 : 9	[6]
	6 : 2 = 9 : 3	[3]
	¹⁸/₆ : ³/₂ = ⁵⁴/₉ : ⁹/₃ (зьмест 2 = 6 : 3).

Увага. Складваць і адымаць можна толькі такія прапорцыі, у каторых аднолькавыя назоўнікі адносін. Назоўнік, адтрыманы посьле складаньня або адыманьня такіх прапорцыяў, роўны кожнаму з старых назоўнікаў.

a)12 : 4 = 9 : 3	${\Big \{}$ назоўнік — 3 ${\Big \}}$
15 : 2 = 6 : 2
[15 + 12] : [15 + 4] = [6 + 9] : [2 + 3], aбо

27 : 9 = 15 : 5 [назоўнік — 3].

б)18 : 9 = 12 : 6	${\Big \{}$ назоўнік — 2 ${\Big \}}$
10 : 5 =8 : 4
[18 – 10] : [9 – 5] = [12 – 8] : [6 – 4], aбо

8 : 4 = 4 : 2 [назоўнік — 2].

Простая і адваротная прапарцыянальнасьць.

257.Дзьве вялічыні наз. проста прапарцыянальнымі, калі яны знаходзяцца ў такой залежнасьці адна ад адной, што з павялічаньнем значэньня аднае адпаведнае значэньне другой таксама павялічваецца, а з паменшаньнем значэньня аднэй — адпаведнае значэньне другой таксама памяншаецца ў столькі-ж разоў, напр.: колькасьць матар‘яла і яго кошт, даўжыня і час, патрэбны да таго, каб прайсьці яе і г. д.

258.Дзьве вялічыні наз. адваротна прапарцыянальнымі, калі адпаведныя іх значэньні знаходзяцца ў такой залежнасьці адна ад аднэй, што з павялічаньнем значэньня аднае з іх у некалькі разоў — значэньне другой з іх памяншаецца ў столькі-ж разоў, а з паменшаньнем аднае вялічыні ў некалькі разоў — другая вялічыня павялічваецца ў столькі-ж разоў, напр.: лік работнікаў і час работы; даўжыня абводу кола і лік яго абаротаў і г. д.

Тройныя правілы.

Тройнымі правіламі наз. спосабы разьвязываць такія задачы, у каторых па некатарых даденых ліках адшукваецца лік ім прапарцыянальны. Гэтымі спосабамі разьвязваюцца задачы: на звычайнае тройнае правіла, на складанае тройнае правіла, на правіла працэнтаў, на правіла ўчоту вэксаляў, на правіла таварыства (падчас), на правіла зьмяшаньня і на ланцужнае правіла.

Задачы на тройныя правілы разьвязваюцца двома спосабамі: спосабам прапорцыі і спосабам прывядзеньня да адзінкі.

Пры разьвязываньні задач на тройныя правілы шуканы лік абазначваецца якою-небудзь літараю латынскае або францускае абэцэды (азбукі).

Звычайнае тройнае правіла.

259.Звычайным тройным правілам наз. спосаб разьвязваць такія задачы, у каторых дадзены тры лікі, а адшукваецца чацьвёрты, ім прапарцыянальны.

Тры дадзеныя вялічыні наз. умоўнымі, чацьвёртая — (шуканая) наз. шуканым рэзультатам.

260.Лікі, якія знаходзяцца па ўмове задачы ў цеснай сувязі паміж сабою, назыв. адпаведнымі, або аднароднымі.

Перад разьвязаньнем задачы на звычайнае тройнае правіла, трэба спачатку яе раскласьці так, каб аднародныя вялічыні былі адна пад адной і каб гэтыя аднародныя вялічыні зьвярнуць у аднаіменныя; потым патрэбна выявіць сабе, якая залежнасьць ёсьць паміж дадзенымі вялічынямі і адпаведнай шуканай — простая ці адваротная прапарцыянальнасьць.

Задача 1. Колькі каштуе 5 хунтаў цукру, калі 3 хунты яго каштуюць 45 кап?

Раскладваем задачу:	3 хунты	— 45 кап.
	5 хунт.	— X кап.

У гэтай задачы даецца лік хунтаў цукру і іх кошт. Гэтыя дзьве вялічыні знаходзяцца ў проста прапарцыянальнай залежнасьці адна ад аднае, бо з павялічаньнем ліку хунтаў у столькі-ж разоў павялічыцца і кошт іх; з паменшаньнем ліку хунтаў, у столькі-ж разоў паменшыцца і кошт іх. Вялічыні, якія знаходзяцца ў падобнай залежнасьці, наз. проста прапарцыянальнымі.

Дамо прыклад ходу разьвязаньня задачы двума спосабамі:

1) Спосабам прапорцыі:

	X : 45=5 :3;
адсюль:	X= ${\tfrac {45\cdot 5}{3}}$ =75[кап.]

2) Спосабам прывядзеньня да адзінкі:

3	хунты	каштуюць	45[кап.];
1	»	»	${\tfrac {45}{3}}$ »
5	»	»	${\tfrac {45\cdot 5}{3}}=75$ [кап.]

Задача 2. У колькі дзён 6 работнікаў скончаць некатарую работу, калі 15 работнікаў могуць скончыць яе ў 8 дзён?

Раскладаем задачу:	15 работ.	— 8 дзён;
	6»	— X дзён.

У гэтай задачы гаворыцца аб ліку работнікаў і аб ліку дзён. Гэтыя дзьве вялічыні знаходзяцца ў адваротна прапарцыянальнай залежнасьці адна ад аднае, бо з павялічаньнем ліку работнікаў, у столькі-ж разоў зьменшыцца лік дзён; з паменшаньнем ліку работнікаў, у столькі-ж разоў павялічыцца лік дзён. Вялічыні, якія знаходзяцца ў падобнай залежнасьці, наз. адваротна прапарцыянальнымі.

Дамо прыклад ходу разьвязаньня задачы двома спосабамі.

1) Спосабам прапорцыі:

	X : 8 = 15 : 6;
адсюль:	X = ${\tfrac {8\cdot 15}{6}}$ = 20[дзён].

2) Спосабам прывядзеньня да адзінкі:

15	работ.	—	8дзён;
1	»	—	8 · 15»
6	»	—	${\tfrac {8\cdot 15}{6}}$ = 20(дзён).

Складанае тройнае правіла.

261.Складаным тройным правілам наз. спосаб разьвязываць такія задачы, у каторых дадзены 5, 7, 9,… і г. д. лікаў, а знаходзіцца 6-ы, 8-ы, 9-ы і г. д. лікі, ім прапарцыянальныя.

Перад разьвязаньнем задачы на складанае тройнае правіла, трэба спачатку яе раскласьці, потым аднародныя вялічыні зьвярнуць у аднаіменныя, потым, калі можна, стаячыя адны пад аднымі лікі скараціць, разьдзяліўшы іх на супольны дзельнік. Апрача таго, раней разьвязаньня задачы, ці то па спосабу прапорцыі, ці то па спосабу прывядзеньня да адзінкі, патрэбна адрозьніць вялічыні проста прапарцыянальныя ад адваротна прапарцыянальных.

Няхай потрэбна даведацца, колькі муляроў трэба, каб збудаваць сьцяну ў 150 стопаў даўжынёю пры рабоце ў працягу 15 дзён, па 12 гадзін штодня, калі 36 муляроў, працуючы кожны дзень па 10 гадзін, збудавалі ў 8 дзён сьцяну ў 80 стопаў даўжынёю.

Каб разьвязаць гэтую задачу спосабам прапорцыі, патрэбна прывесьці яе да некалькіх задачаў на звычайнае тройнае правіла шляхам выключэньня кожны раз двох якіх-небудзь аднародных дадзеных, не мяняючы рэшты дадзеных.

Самае разьвязаньне задачы трэба раскласьці гэтак:

	36муляр.8дзён10гадз.80стопаў;
	X„15„12„150„
8 дзён — 36 муляр.		Y : 36 = 8 : 15; Z : Y = 10 : 12; X : Z = 150 : 80.
15„—Y„
Yмуляр.—10гадз.
Z„—12„
Zмуляр.—80стопаў.
X„—150„

Перамножыўшы гэтыя прапорцыі, адтрымаем:

Y · Z · X : 36 · Y · Z=8 · 10 · 150 : 15 · 12 · 80.

Скараціўшы першыя адносіны на YZ, адтрымаем:

	X : 36=8 · 10 · 150 : 15 · 12 · 80.
Адсюль:	X= ${\tfrac {36\cdot 8\cdot 10\cdot 150}{15\cdot 12\cdot 80}}$ =30 (муляроў).

Для большае відавочнасьці, ход разьвязаньня задачы пры падмозе прапорцыі раскладваюць гэтак:

36 муляр.8 дзён.10 гадз.80 стопаў
X»15 »12»150»
8дзён	10гадз.	80 стопаў	36муляр.	X₁ : 36=8 : 15; X₂ : X₁=10 : 12; X: X₂=150 : 80.
15»	—»	—»	X₁»
—»	12»	—»	X₂»
—»	—»	150»	X»

Значыцца: X₁·X₂·X : 36·X₁·X₂=8·150 : 15·12·80.
Або— X : 36=8·10·150 : 15·12·80.

Адсюль:X= ${\tfrac {36\cdot 8\cdot 10\cdot 150}{15\cdot 12\cdot 80}}$ =30 муляроў.

Каб разьвязаць гэтую задачу спосабам прывядзеньня да адзінкі, трэба раскласьці, для зручнасьці, яе дадзеныя і шуканы лік так, каб X стаяў у апошнім слупку.

8	дзён	10	гадз.	80	стопаў	36	муляроў;
15	дзён	12	гадз.	150	стопаў	Х	муляроў.

Дамо прыклад ходу разьвязаньня задачы радкамі:

8 дзён	10 гадз.	80 стопаў	36	муляроў
1»	10»	80»	36·8	»
1»	1»	80»	36·8·10	»
1»	1»	1»	${\tfrac {36\cdot 8\cdot 10}{80}}$	»

Цяпер будзем паступова заменіваць адзінкі лікамі, зьмешчанымі ў умове задачы:

1дзень	1гадз.	1ст.	${\tfrac {36\cdot 8\cdot 10}{80}}$ муляроў.
15»	1»	1»	${\tfrac {36\cdot 8\cdot 10}{80\cdot 15}}$ »
15»	12»	1»	${\tfrac {36\cdot 8\cdot 10}{80\cdot 15\cdot 12}}$ »
15»	12»	150»	${\tfrac {36\cdot 8\cdot 10\cdot 150}{80\cdot 15\cdot 12}}$ =30 муляроў.

Шмат прасьцей адразу напісаць формулу для Х у толькі што разьвязанай задачы, разважаючы гэтак:

Пры 8 днях працы патрэбна для скончаньня работы 36 муляроў; пры адным працоўным дню трэба будзе 36·8 (у 8 разоў больш.), а пры 15 працоўных днях ${\tfrac {36\cdot 8}{15}}$ (у 15 разоў менш.); гэтулькі трэба муляроў пры 10 гадз. працы ў дзень; пры 1 гадзіне патрэбна будзе ${\tfrac {36\cdot 8\cdot 10}{15}}$ (у 10 разоў больш.), а пры 12 гадзінах — ${\tfrac {36\cdot 8\cdot 10}{15\cdot 12}}$ (у 12 разоў менш.); гэты лік муляроў, трэба для складкі сьцяны ў 80 ст.; значыцца, для складкі сьцяны ў 1 стапу даўжыні патрэбна будзе ${\tfrac {36\cdot 8\cdot 10}{15\cdot 12\cdot 80}}$ (у 80 разоў менш.), а для сьцяны ў 150 стопаў ${\tfrac {36\cdot 8\cdot 10\cdot 150}{15\cdot 12\cdot 80}}=30$ муляр.

Задачы на складанае тройнае правіла разьвязваюцца таксама практычным спосабам: Напісаўшы ў два радкі зьмест задачы, адзначваем, якая залежнасьць істнуе паміж дадзенымі і шуканым.

	адвар.	адвар.	прост.
36 муляр.	8 дзён	10 гадз.	80 стоп.
X»	15»	12»	150»

Каб укласьці выраз для X, працягваем паземную рысу і пішам у лічніку раней за ўсё аднародны з X лік, які знаходзіцца ў верхнім радку, а потым усе вялічыні, абазначаныя «прост. залежн.», ставім з верхняга радку множнікамі ў назоўнік, а з ніжняга радку ў лічнік; усе-ж вялічыні, адзначаныя «адвар. залеж.», пішам з верхняга радку множнікамі ў лічнік, а з ніжняга — ў назоўнік.

X= ${\tfrac {36\cdot 8\cdot 10\cdot 150}{15\cdot 12\cdot 80}}=30$

Правіла звычайных працэнтаў.

262.Працэнтам наз. сотая доля ўсякага (іменнага або бязыменнага) ліку ў аднасінах да гэтага ліку.

263.У камэрцыі працэнт азначае прыбытак (або страту) дастаную з ста рублёў, або з ста капеек у адзін год. (камэрцыйны год=12 мес.=360 дням).

Слова „працэнт“ ўзята ад латынскіх словаў pro i centum, азначаючых за сто, або ад ста.

Слова «працэнт» абазначваецца на пісьме знакам % (5 працэнтаў=5%).

264.Прыбытак (або страта), дастаная на ўвесь капітал у які-небудзь час наз. працэнтнымі грашыма або проста працэнтамі.

Слова «працэнты» абазначваецца на пісьме знакамі ⁰/₀ %.

Працэнты могуць лічыцца ня толькі на капітал, каторы быў адданы ў рост, але і на працэнтныя грошы, якія стварыліся ад прошлых гадоў. Працэнты, дастаныя толькі з пачатковага капіталу, называюцца звычайнымі, працэнты-ж, каторыя лічацца ня толькі з пачатковага капіталу, але і з наросшых раней на яго працэнтаў, наз. складанымі.

265.Той, хто пазычае грошы другому, наз. заімадаўцам, або крэдытарам, а той, хто пазычае грошы ў другога — даўжніком, або дэбітарам.

266.Капітал, аддадзены на працэнты, наз. пачатковым капіталам, а пачатковы капітал разам з прылічанымі да яго працэнтнымі грашыма наз. наросшым (збуйнеўшым) капіталам.

267.Капітал, аддадзены на працэнты ў банк, наз. укладным.

Працэнтныя ўклады, прыманыя банкамі і г. п. крэдытнымі ўстановамі, бываюць: 1) вечныя, з каторых укладчык і яго спадчыкі могуць карыстацца аднымі працэнтамі, самы-ж капітал астаецца ў банку назаўсёды; 2) тэрміновыя (срочныя) — на вядомы лік месяцаў або гадоў, па праходу каторых можа быць дастаны ізноў, а да таго ўкладчык адтрымлівае толькі працэнты; 3) да патрабаваньня — ўклады, каторыя могуць быць узяты ў ва ўсякі час.

268.Правілам працэнтаў наз. спосаб разьвязываць такія задачы, ў каторых дадзены тры (або пяць) лікі, а знаходзіцца чацьвёрты (або шосты), ім прапарцыянальны.

269.Пры разьвязаньні задач на правіла звычайных працэнтаў могуць быць наступныя чатыры выпадкі:

1) Калі знаходзяцца працэнтныя грошы, якія павінны дастацца ў вядомы тэрмін з дадзенага капіталу.

2) Калі знаходзіцца працэнт (за год) па дадзенаму капіталу і тэрміну.

3) Калі знаходзіцца капітал, з каторага можна адтрымаць вядомую суму працэнтных грошаў у вядомы тэрмін па дадзенаму працэнту.

4) Калі знаходзіцца час, на які павінна аддаць некатары вядомы капітал, каб ён прынёс вядомую суму працэнтаў па дадзенаму працэнту.

Задача 1. Як вялікія працэнтныя грошы з 1657 руб. аддадзеных у рост па 4%?.

Раскладваем задачу так:

За100руб., 4 руб. працэнтных грошаў, а з

1657»X »»

Разьвяжам задачу спосабам прывядзеньня да адзінкі:

100	руб.	— 4руб.
1	»	— ⁴/₁₀₀.
1657	»	— ${\tfrac {4\cdot 1657}{100}}$ =66 руб. 28 кап.

Задача 2. Па колькі працэнтаў аддадзены ў рост капітал у 1800 руб., калі ён кожны год прыносіць прыбытку 36 руб.?

Раскладываем задачу так:

1800	руб.	—	36	руб.
100	»	—	X	»

Разьвяжам задачу спосабам прапорцыі:

X : 36=100 : 1800.

X=

{\tfrac {36\cdot 100}{1800}}

= 2 (працэнтам).

Задача 3. Як вялікі капітал, каторы, пушчаны ў рост па 4⁰/₀, прыносіць кожны год прыбытку 240 руб.?

Раскладваем задачу так:

100руб. — 4руб.

X»— 240»

Разьвяжам задачу спосабам прывядзеньня да адзінкі:

4 — 100

1 — ¹⁰⁰/₄

240=

{\tfrac {100\cdot 240}{4}}

=6000 [руб.].

Задача 4. У колькі гадоў некатары капітал прынясе 184 руб. 50 кап. працэнтных грошаў, калі ён у 7 гадоў прыносіць 86 руб. 10 кап?

Раскладваем задачу так:

7гад. —86р.10к.

X»— 184»50»

Разьвязваем задачу спосабам прапорцыі:

X : 7=18450 : 8610

X=

{\tfrac {7\cdot 18450}{8610}}

=15 [гадоў].

Задача 5. Капітал у 5000 руб., аддадзены ў рост, праз 9 месяцаў зьвярнуўся ў 5300 руб. Колькі працэнтаў прыбытку прыносіць капітал?

Спачатку знаходзім прыбытак на ўвесь капітал:

5300 р. – 5000 р. = 300 руб.

Затым разьвязваем задачу звычайным тройным правілам, раскладваючы яе на дзьве задачы:

Спачатку знаходзім працэнтныя грошы з капіталу ў 5000 руб. за адзін год, а потым з 100 руб. за адзін год, раскладваючы разьвязаньне гэтак:

1)9м. — 300руб.	2)5	000руб. — 400руб.
1» — ${\tfrac {300}{9}}$ руб.		100»—X»
12» — ${\tfrac {300\cdot 12}{9}}$ =400 р.		X = ${\tfrac {400\cdot 100}{5000}}$ = 8%

Задача 6. Некатары капітал, аддадзены ў рост па 8%, праз 9 мес. зьвярнуўся ў 5300 руб. Знайсьці гэты капітал?

Спачатку знаходзім працэнтныя грошы з 100 руб. за 9 мес., лічучы па 8%.

За12м. —8%	X : 8 = 9 : 12
„9»— X»
АдкульX = ${\tfrac {8\cdot 9}{12}}$ = 6руб.

Затым, прылічваючы 6 руб. прац. да 100 руб., разважаем:

100руб.зьвяр. у 106р.	X : 100 = 5300 : 106.
X»»у 5300р.
АдкульX = ${\tfrac {10\cdot 5300}{106}}$ = 5000руб.

Задача 7. Капітал у 5600 руб. аддадзены ў рост па 8% зьвярнуўся ў 5300 р.

Колькі часу капітал быў у абароце?

Спачатку знаходзім прыбытак на ўвесь капітал:

5300 р. – 5000 р. = 300 руб.

Затым, па вышэйшаму, раскладваем задачу на дзьве: перш знаходзім прыбытак за 12 мес. з 5000 руб., а потым — праз колькі месяцаў дастанецца прыбытак у 300 руб, пры гэтым разьвязаньне раскладваем так:

1)3100руб. — 8р.

»5000»— Xр.

Адкуль Х =

{\tfrac {8\cdot 5000}{100}}

= 400 руб.

2)400руб.—12м.	X : 12 = 300 : 400.
300»—X»
АдкульХ= ${\tfrac {12\cdot 300}{400}}$ =9мес.

Задача 8. У які капітал зьвернуцца праз 9 месяцаў 5000 руб., аддадзеныя ў рост па 8%?

Спачатку знаходзім працэнтныя грошы на 100 руб. за 9 мес.

12м. — 8 р.	X : 8=9 : 12
9»— X»
АдкульX = ${\tfrac {8\cdot 9}{12}}$ = 6руб.

Затым, прылічваючы 6 руб. прац. грошаў да 100 руб. разважаем:

100руб.звар.ў106руб.

5000»»ўX»

Адкуль X =

{\tfrac {106\cdot 5000}{100}}

= 5300 руб.

Увага. Задачы на звычайныя працэнты разьвязваюцца таксама спосабам складанага тройнага правіла, але пры гэтым патрэбна мець на ўвазе, што наросшы капітал не прапарцыянальны ні працэнту ні часу, а таму складаным тройным правілам нельга разьвязваць такіх задачаў, у каторых дадзены наросшы капітал і знаходзіцца пачатковы капітал.

Усе задачы на правіла працэнтаў, як мы бачылі вышэй, могуць быць разьвязаны спосабам прапорцыі і способам прывядзеньня да адзінкі, але ў камэрцыйных установах, дзе патрэбна хуткасьць вылічэньня, задачы першых трох радоў разьвязваюцца формуламі, аснованымі на законах дакладнага вылічэньня.

270.Каб вылічыць працэнтныя грошы, трэба капітал памножыць на працэнт і на час (лік гадоў, месяцаў або дзён) і разьдзяліць на 100.

271.Каб вылічыць працэнт, трэба працэнтныя грошы памножыць на сто і разьдзяліць на капітал.

271.Каб вылічыць капітал, трэба працэнтныя грошы памножыць на сто і разьдзяліць на працэнт.

Разглядваючы залежнасьць, каторая ёсьць паміж пачатковым капіталам, працэнтам, працэнтнымі грашыма і часам, мы прыходзім да наступных вынікаў:

Працэнтныя грошы знаходзяцца ў простай прапарцыянальнай залежнасьці ад капіталу (пры роўных, пэўна, другіх умовах), ад працэнту і ад часу, у каторым капітал знаходзіўся ў абароце.

Капітал знаходзіцца ў простай залежнасьці ад працэнтных грошаў і ў адваротнай залежнасьці ад працэнту i ад часу.

Працэнт знаходзіцца ў простай залежнасьці ад працэнтных грошаў і ў адваротнай залежнасьці ад капіталу і ад часу.

Час, у каторы капітал быў у абароце, знаходзіцца ў простай залежнасьці ад працэнтных грошаў і ў адваротнай залежнасьці ад капіталу і ад працэнту.

Наросшы капітал, проста прапарцыянальны як свайму пачатковаму капіталу, так і працэнтным грошам, у іх заключаным.

Правіла дысконту (учоту) вэксалёў.

Пры адтрыманьні ў доўг грошаў даўжнік дае заімадаўцу асобнага роду расьпіску, пісьменны абавязак, завомы вэксалям. У вэксалю ні ўспамінаецца ні аб суме, якая пазычана запраўды, ні аб працэнту, а абазначваецца толькі тэрмін выплаты і ўся сума грошаў, якую даўжнік павінен выплаціць у гэты тэрмін заімадаўцу.

Форма вэксаля.

Слуцак, 20 студзеня 1920 году.

Вэксаль на 2000 руб. сер.

Дваццатага чэрвеня тысяча дзевяцьсот дваццатага году па гэтаму майму вэксалю павінен я заплаціць у Слуцку (званьне, імя, па бацьку і прозьвішча крэдытара) дзьве тысячы рублёў.

(Імя, па бацьку і прозьвішча даўжніка).

273.Сума, напісаная на вэксалю, называецца вэксальнаю сумаю, або валютаю.

Крэдытар ня мае права патрабаваць ад даўжніка выплаты па вэксалю раней тэрміна, абазначанага на вэксалю. Але калі даўжнік сам захоча выплаціць па вэксалю раней тэрміну, або калі крэдытар да тэрміну захоча, замест вэксаля, мець гатовыя грошы (рэалізаваць вэксаль), дык паміж імі робіцца згода, якая выражаецца ў форме працэнту, каторы крэдытар дазваляе даўжніку ўтрымаць з кожных 100 руб. валюты вэксаля за рэшту часу да тэрміна.

274.Сума, якая адлічаецца ад валюты пры выплаце па вэксалю да тэрміна, наз. учотам (вылікам), або дысконтам вэксаля.

Дысконтаваць, г. зн. прымаць да ўчоту, можа ўсякі як свой ўласны, так і чужыя вэксалі.

За адзінку вымеру ўчота прыняты ўчот, які ўтрымліваецца з 100 руб. за адзін год да тэрміну. За адзінку вымеру капітала, які дастаецца пасьля ўчота (рэалізаванага капітала) прыняты капітал, каторы дастаюць з валюты ў 100 руб.

За адзінку недатрыманага часу прыняты адзін год (12 мес. = 360 дням).

275.Правілам дысконту вэксаляў наз. спосаб разьвязваць такія задачы ў каторых дадзены тры (або пяць) лікі вышэйпамянёных лікаў, а знаходзіцца чацьвёрты (або шосты), ім прапарцыянальныя.

276.Пры разьвязаньні задач на правіла дысконту вэксаляў, як пры разьвязаньні задач на працэнты, могуць быць чатыры выпадкі:

1)Калі знаходзіцца учот (або замест яго сума, якая выплачваецца па вэксалю).

2)Калі знаходзіцца працэнт, па якому зроблен учот.

3)Калі знаходзіцца валюта вэксаля.

4)Калі знахадзіцца час, які астаецца да тэрміну па вэксалю.

Задача 1. Знайсьці учот вэксаля ў 6800 руб., каторы быў праданы за 3 м. да тэрміну з учотам па 8%.

Даведаемся спачатку, колькі 8% гадавых складуць працэнтаў за 3 месяцы:

ў12мес.	—8%;
»1»	— ${\tfrac {8}{12}}$ %;
»3»	— ${\tfrac {8\cdot 3}{12}}$ = 2%.

Значыцца, маем:

З	100	руб.	учытваецца	2	руб.
»	6800	»	»	X	»

Адкуль маем:

З	100	руб.	учытваецца	2руб.;
»	1	»	»	${\tfrac {2}{100}}$ »
»	6800	»	»	${\tfrac {2\cdot 6800}{100}}$ = 136 руб.

Задача2. Па колькі працэнтаў быў зроблены учот вэксаля ў 6800 руб., калі ён быў прададзены за 6664 руб.?

Даведаемся спачатку, што учот (вылік) складае

6800 р. – 6664 р. = 136 р.

Потым разважаем:

з	6800	руб.	вылічваецца	136	руб.;
»	100	»	»	X	»
X : 136 = 100 : 6800; X = ${\tfrac {136\cdot 100}{6800}}$ = 2 [прац.]

Значыцца маем:

у	3	мес.	—	2%;
»	12	»	—	X;
X : 2 = 12 : 3; X = ${\tfrac {3\cdot 12}{3}}$ = 8 [прац.]

Задача3. Даведацца, якая валюта вэксаля, прададзенага з адступкаю ў 136 руб. за тры месяцы да тэрміну, калі ўчот быў зроблены па 8%.

Даведаемся спачатку, колькі 8% гадавых складуць працэнтаў за 3 мес. [гл. зад. № 1].

Потым разважаем:

З	100	руб.	—	2	руб.;
»	X	»	—	136	»

Адкуль маем:

2	руб.	—	100	руб.
1	»		${\tfrac {100}{2}}$	»
136	»		${\tfrac {100\cdot 136}{2}}$	= 6800 руб.

Задача 4. За колькі месяцаў да тэрміну прададзены вэксаль у 6800 руб. з адступкаю ў 136 руб., калі ўчот быў зроблены па 8%?

Разважаем гэтак:

З	6800	руб.	учытв.	136	руб.
»	100	»	»	X	»

Адсюль маем:

X : 136 = 100 : 6800;

X =

{\tfrac {136\cdot 100}{6800}}

= 2 [прац.]

Далей разважаем:

12	мес.	—	8%;
X	»	—	2%;
X = ${\tfrac {12\cdot 2}{8}}$ = 3 [мес.]

277.Апісаны тут учот наз. камэрцыйным, але ёсьць яшчэ асобнага роду учот (вылік), наз. матэматычным. Матэматычны ўчот розьніцца ад камэрцыйнага тым, што працэнт, які належыць за недадтрыманы час, учытваецца ня з рубля валюты, як гэта робіцца пры камэрцыйным учоце (выліку), а з сумы рубля з працэнтамі, якія належаць на яго за рэшту часу.

Матэматычны ўчот (вылік) меншы за камэрцыйны, а таму на практыцы робіцца ўчот (вылік) камэрцыйны, як больш выгодны для дысконтара. І сапраўды, камэрцыйны ўчот (вылік) з 1000 руб. за год па 5%= ${\tfrac {5\cdot 1000}{100}}$ =50 руб., а матэматычны вылік ${\tfrac {5\cdot 1000}{105}}$ =47 р. 61¹³/₂₁ к.=47 р. 61 кап.

Задачы на правіла тэрміновых выплатаў.

Да задач на правіла тэрміновых выплатаў адносяцца такія, ў якіх патрэбна:

1) Замяніць адзін тэрмін выплаты некалькімі;

2) Замяніць некалькі тэрмінаў выплаты адным;

3) Замяніць некалькі дадзеных тэрмінаў выплаты доўгу некалькімі другімі.

Задача1. Нехта, купіўшы тавар, умовіўся аддаць належныя за яго грошы ў 4 тэрміны: 2000 руб. цераз месяц, 2500 руб. цераз 10 месяцаў, 1000 руб. цераз 11 месяцаў і 500 руб. цераз год; але потым ён знайшоў магчымым у самы дзень прыняцьця тавару, 7 сакавіка 1919 году, аддаць палавіну ўсяе сумы, дакляруючы аддаць і рэшту сумы за адзін раз. Калі ён павінен аддаць яе?

Па умове задачы, даўжнік можа карыстацца даходамі з капіталаў у 2000 р. на працягу 1 мес.; ў 2500 руб. — на працягу 10 мес., або з капітала ў 25000 руб. (2500 · 10) — у працягу 1 мес. (бо 2500 руб. за 10 мес. прынясуць той-жа даход, што 25000 руб. за 1 мес.); з капіталу ў 1000 р. на працягу 11 мес., або з капіталу ў 11000 руб. (1000 · 11] — за 1 мес.; з капіталу ў 500 руб. на працягу 12 мес., або з капіталу ў 6000 руб. (500 · 12) — на працягу 1 мес.

Значыцца, даўжнік мае права карыстацца даходамі з капіталу ў 44000 руб. (2000+25000+11000+6000) на працягу 1 мес.

Выплачваючы зараз-жа 3000 руб., даўжнік, каб ня мець страты, павінен карыстацца даходамі ад рэшты 3000 руб. не адзін месяц, а ўстолькі разоў больш часу, у колькі разоў 44000 руб. больш за 3000 руб.

Абазначваючы шуканае цераз X, маем:

	X : 1 = 44000 : 3000;
Адкуль	X = ${\tfrac {1\cdot 44000}{3000}}$ = 14²/₃ [мес.]

Значыць, даўжнік можа апошнюю частку доўгу выплаціць цераз 1 год 2 мес. 20 дзён, ці 27 траўня 1920 г.

Задача2. Тры даўгавыя абавязкі: ў 3000 руб., 2500 p. i 5000 р., каторым тэрміны выплаты: 7 мес. для 1-га, 12 мес. для 2-га і 15 мес. для 3-га, хочуць замяніць адным абавязкам з адным тэрмінам выплаты. На які тэрмін павінен быць напісаны абавязак?

Разважаючы па вышэйшаму, знаходзім, што даўжнік можа карыстацца даходамі з капіталаў:

У 3000 р. на працягу 7 мес., або з капіталу ў 21000 р. за 1 м.

У 2500 р. на працягу 12 мес., або з капіталу ў 30000 р. за 1 м.

У 5000 р. на працягу 15 мес., або з капіталу ў 75000 р. за 1 м.

Значыцца, даўжнік мае права карыстацца даходамі з капіталу ў 126000 руб. (21000+30000+75000) на працягу 1 мес. Калі-ж даўжнік карыстае капіталам у 10500 руб. (3000+2500+5000), дык ён павінен карыстацца ім устолькі разоў больш за адзін месяц, у колькі разоў 126000 руб. больш за 10500 р.

Назваўшы шуканае X, маем:

X : 1 = 126000 : 10500.

АдкульХ =

{\tfrac {126000}{10500}}

= 12 [мес.].

ці абавязак павінен быць напісаны на 1 год.

Ланцужнае правіла.

278.Ланцужным правілам наз. спосаб разьвязваць такія задачы, ў каторых патрэбна перавесьці меры аднаго гасударства ў адпаведныя ім меры другога гасударства.

Для зручнасьці разьвязваньня, задачу раскладваюць так, што першы радок мае ў сабе шуканы лік, абазначаны цераз X, і з правага боку яго, посьле знака роўнасьці, лік каторы павінен быць яму роўны па ўмове задачы; кожны з рэшты радкоў пачынаецца такімі мерамі, каторымі канчаецца папярэдні, апошні радок павінен канчацца найменьнем меры, аб каторай гаворыцца ў пытаньні.

Разьвязваць задачы на ланцужнае правіла можна з падмогаю прапорцыі і спосабам прывядзеньня да адзінкі; найбольш зручнейшы спосаб — апошні.

Няхай, напрыкл., патрэбна даведацца, колькім рублём роўны 7500 франкаў, ведаючы, што па курсу 15 франкаў=11 шылінгам, 12 шылінгаў=7 гульдэнам, 55 гульдэнаў=12 чырвонцам, 10 чырвонцаў=27 рублём.

Раскладваем задачу:	X рублёў	=	7500	франкаў
	15 франкаў	=	11	шылінгам.
	11 шыл.	=	7	гульдз.
	55 гульдз.	=	12	чырвон.
	10 чырвон.	=	27	рублём.

Адкуль маем:10	чырвон. = 27			рублём
1	»= ${\tfrac {27}{10}}$			»
12	»= ${\tfrac {27\cdot 12}{10}}$			»
1	чырвон.= ${\tfrac {27\cdot 12}{10\cdot 55}}$			руб.
7	»= ${\tfrac {27\cdot 12\cdot 7}{10\cdot 55}}$			»
1	шыльл.= ${\tfrac {27\cdot 12\cdot 7}{10\cdot 55\cdot 12}}$			»
11	»= ${\tfrac {27\cdot 12\cdot 7\cdot 11}{10\cdot 55\cdot 12}}$			»
1	франк.= ${\tfrac {27\cdot 12\cdot 7\cdot 11}{10\cdot 55\cdot 12}}$			»
7500	»= ${\tfrac {27\cdot 12\cdot 7\cdot 11\cdot 7500}{10\cdot 55\cdot 12\cdot 15}}$ = 1890 руб.

На практыцы задачы на ланцужнае правіла разьвязваюцца мэханічна так: спачатку раскладваюць задачу радкамі ў паказаным выжэй парадку, потым шуканыя меры дастаюць, разьдзельваючы множыва правых частак усіх радкоў на множыва іх левых часьцей.

Прыложым гэта правіла да чарговае задачы. Колькім марскім мілям роўны 10000 вёрст, калі 200 вёрстаў=213,4 кілёмэтрам, 40 кілёмэтраў=5,4 географічным мілям, 1,5 географічнае мілі=6 марскім мілям?

Раскладваем задачу:

X	марскіх міль	=	10000	вёрстаў.
200	вёрст	=	213,4	кілам.
40	кілам.	=	5,4	географ. міл.
1,5	географ. міл.	=	6	марскім міл.

Адкуль маем:

X =

{\tfrac {10000\cdot 213,4\cdot 5,4\cdot 6}{200\cdot 40\cdot 1,5}}

= 5761,8 марс. міл.

Правіла прапарцыянальнага дзяленьня
(таварыства).

279.Правілам, прапарцыянальнага дзяленьня (таварыства) наз. спосаб разьвязываць такія задачы, у каторых дадзены лік прыходзіцца разьдзяліць на часткі, прапарцыянальна некалькім дадзеным лікам.

280.Той лік, каторы трэба разьдзяліць на часткі прапарцыянальна дадзеным лікам, наз. прапарцыянальным зьлічвом.

281.Тыя лікі, прапарцыянальна каторым дадзена разьдзяліць прапарцыянальнае зьлічво, наз. паямі.

282.Тыя лікі, каторыя дастаюцца пасьля разьдзяленьня прапарцыянальнага зьлічва, наз. прапарцыянальнымі долямі.

283.Пры разьвязваньні задач на правіла прапарцыянальнага дзяленьня могуць быць два выпадкі: 1) Калі адшуківаюцца прапарцыянальныя долі; 2) Калі адшукваюцца паі.

Задача1. Разьдзяліць 1304 на 4 часткі, якія адносяцца паміж сабою, як ¹/₂ : ²/₃ : ³/₄ : ⁴/₅.

Заменім сьпярша адносіны паміж дробязямі адносінамі цэлых лікаў. Для гэтага прывядзём усе дробязі да супольнага назоўніка і супольны назоўнік адкінем.

³⁰/₆₀ : ⁴⁰/₆₀ : ⁴⁵/₆₀ : ⁴⁸/₆₀=30 : 40 : 45 : 48.

Цяпер задачу можна выразіць так: лік 1304 разьдзяліць на 4 часьці прапарцыянальна лікам 30 : 40 : 15 : 48.

Назавем шуканыя часткі х, у, z, t. Калі x разьдзяліць на 30 роўных доляў, дык такіх доляў у y павінна быць 40, у z — 45 i ў t — 48; значыцца, ў зьлічве x+y+z+t, г. зн. ў 1304, павінна быць 30+40+45+48=163 часьці; разьдзяліўшы 1304 на 163, адтрымаем 8.

Астаецца 8 памножыць па чарзе на 30, 40, 45 i 48.

x=8·30=240; у=8·40=320; z=8·45=360; t=8·48=384.

Разьвяжым гэтую задачу спосабам прапорцыі:

Дзеля таго, што шуканыя часткі павінны адносіцца паміж сабою, як 30 : 40 : 45 : 48, дык, разважаючы па выжэйшаму, маем рад прапорцыяў:

	x : 1304 = 30 : 163;
	y : 1304 = 40 : 163;
	z : 1304 = 45 : 163;
	t : 1304 = 48 : 163;
x = 240; y = 320; z = 360; t = 384.

Задача 2. Тры гандляры ўлажылі для супольнага гандлю: першы — 500 руб. на 4 месяцы, другі — 1200 руб. на 5 месяцаў і трэйці — 5000 руб. на 3 месяцы. Гандаль прынёс 2300 руб. прыбытку. Колькі з гэтага прыбытку павінен адтрымаць кожны гандляр?

У гэтае задачы патрабуецца разьдзяліць прыбытак прапарцыянальна капіталам і прапарцыянальна часу, г. зн. прапарцыянальна двом радкам лікаў —

500 : 1200 : 5000;
4 : 5 : 3.

Каб зрабіць гэта, трэба спачатку прывесьці час да адзінкі, разважаючы так: першы гандляр унёс 500 руб. на 4 мес. і адтрымаў некатары прыбытак; калі-б ён жадаў адтрымаць той-жа прыбытак за 1 мес., дык павінен быў-бы ўнесьці ў 4 разы больш грошаў, г. зн. 500 р. · 4=2000 руб.; гэтак-жа сама другі гандляр павінен быў-бы ўнесьці 1200 р. · 5=6000 руб., а трэйці — 15000. Дзеля таго, што час абароту капіталаў цяпер аднолькавы, дык трэба 2300 руб. разьдзяліць на часткі прапарцыянальна толькі 2000 : 6000 : 15000; або 2 : 6 : 15.

Разважаючы так, як паказана ў папярэдняе задачы, знойдзем:

2300 : [2 + 6 + 15] = 100;
1]	100	р.	·	2=200	руб.
2]	100	»	·	6=600	»
3]	100	»	·	15=1500	»

Задача3. Тры суполкі работнікаў, з каторых у першае было 15 чалавек, у другой 20, а ў трэйцяе 24, адтрымалі за працу 694 р. 80 кап. Колькі павінна выдаць кожнае суполцы, калі першая працавала 11 дзён па 8 гадз. кожны дзень, другая — 9 дзён па 10 гад., трэйцяя — 7 дзён па 9 гадз. кожны дзень?

У гэтае задачы патрабуецца 694 руб. 80 кап. разьдзяліць на часткі прапарцыянальна: 1) ліку работнікаў кожнае суполкі, 2) ліку працоўных дзён і 3) ліку гадзін кожнаднеўнае працы. Такім чынам, 694 руб. 80 кап. трэба разьдзяліць на часткі прапарцыянальна лікам трох радкоў:

15 : 20 : 24;

11 : 9 : 7;

8 : 10 : 9.

Каб разьвязаць задачу, патрэбна тры дадзеныя радкі прапарцыянальных лікаў замяніць адным; для гэтага прывядзём умовы задачы, па пярэдняму, да адзінкі часу, г. зн. даведаемся, колькі работнікаў павінна быць у кожнае суполцы, каб адтрымаць тую-ж самую плату за 1 працоўны дзень і за 1 працоўную гадзіну. Каб першая суполка магла зрабіць тую-ж самую працу, а значыцца і адтрымаць тую-ж самую плату, папрацаваўшы толькі адну гадзіну ў працягу аднаго дня, замест 11 дзён па 8 гадзін кожны дзень, патрэбна, каб яна была не з пятнаццаці чалавек, а з 15·11·8; гэтак-жа сама другая суполка павінна была-б мець 20·9·10, а трэйцяя — 24·7·9 чал. Так, першая суполка адтрымае такую-ж плату, якую адтрымала-б суполка з 15·11·8 работ., другая — як суполка з 20·9·10, а трэйцяя — як суполка з 24·7·9 работнікаў. Значыцца, каб даведацца, колькі адтрымае кожная суполка, трэба 694 руб. 80 кап. разьдзяліць на часткі прапарцыянальна лікам: (15·11·8) : (20·9·10) : (24·7·9)=1320 ²⁴ : 1800 ²⁴ : 1512 ²⁴=55 : 75 : 63.

Разважаючы, як у папярэдняе задачы, знойдзем:

69480 к. : [55+75+63]=360 кan;
1]360кап.	×55=198	руб.;
2]360»	×75=270	»
3]360»	×63=226	руб. 80 кап.

Задача4. Лік 71 разьдзяліць на 4 часткі так, каб першая адносілася да другое, як 4 : 5, другая да трэйцяе, як 2 : 3 і трайцяя да чацьвёртае, як 6 : 1. Назваўшы шуканыя часткі x, y, z i t, адтрымаем прапорцыі: x : y=4 : 5; y : z=2 : 3; z : t=6 : 1.

З першае прапорцыі бачым, што калі X разьдзяліць на 4 роўныя долі, дык такіх доляў у y павінна быць 5.

3 другое прапорцыі бачым, што z складвае ³/₂ y; але ў y зьмяшчаецца 5 роўных доляў, значыцца у z такіх доляў будзе 5×³/₂, г. зн. ¹⁵/₂.

З трэйцяе прапорцыі бачым, што t складвае ¹/₆ z, але ў z ёсьць роўных доляў ¹⁵/₂, значыць у t такіх доляў будзе ¹⁵/₂×¹/₆, г. зн. ¹⁵/₁₂.

З сказанага відаць, што для разьвязаньня задачы трэба лік 71 разьдзяліць на 4+5+¹⁵/₂+¹⁵/₂=17³/₄, і кожная частка=4; значыцца, першы лік=4 · 4=16; другі=4 · 5=20; трэцьці=4 · ¹⁵/₂=30, чацьвёрты=4 · ¹⁵/₂=5.

Задача5. Капітал у 9400 руб. разьдзяліць паміж трома братамі адваротна прапарцыянальна іх веку. Колькі адтрымае кожны брат, калі старшаму было 30, сярэдняму 24, а малодшаму 18 гадоў?

Дзеля таго, што па умове задачы долі братоў павінны быць адваротна прапарцыянальны іх веку, дык 9400 руб. трэба разьдзяліць на тры часткі адваротна прапарцыянальна лікам 30 : 24 : 18, або проста прапарцыянальна лікам ¹/₃₀ : ¹/₂₄ : ¹/₁₈.^[1] Прывёўшы дробязі да аднаго назоўніка і адкінуўшы апошні, адтрымаем цэлыя лікі 12 : 15 : 20, прапарцыянальна каторым трэба разьдзяліць 9400 руб.

На аснове папярэдняга маем:

9400 :	[12+15+20]=200;
	1]200×12=2400;
	2]200×15=3000;
	3]200×20=4000.

Задачы на правіла таварыства, як мы бачылі выжай, разьвязваюцца таксама падмогаю прапорцыі і спосабам прывядзеньня да адзінкі; але на практыцы задачы гэтыя разьвязваюцца мэханічна.

Для знаходжаньня прапарцыянальных доляў, прапарцыянальнае зьлічво дзеляць на зьлічво паёў і адтрыманую дзель памнажаюць на кожны пай.

Для знаходжаньня паёў, зьлічво паёў дзеляць на прапарцыянальнае зьлічво і адтрыманую дзель памнажаюць на кожны пай.

Калі трэба лік разьдзяліць на часткі прапарцыянальна лікам некалькіх радкоў, дык перамнажаюць адпаведныя лікі кожнага радку і дадзены лік разьдзяляюць прапарцыянальна дастаным множывам.

Калі трэба лік разьдзяліць на часткі адваротна прапарцыянальна даным лікам, яго дзеляць проста прапарцыянальна лікам, якія адваротны дадзеным.

Правіла зьмяшаньня.

284.Правілам зьмяшаньня назыв. спосаб разьвязываць, першае, такія задачы, у каторых дадзены цана і колькасьць кожнага гатунку зьмешваемых рэчаў, а патрабуецца знайсьці цану адзінкі мешаніны, і, другое, такія задачы, у каторых дадзены цэны адзінак зьмешваемых рэчаў, цана адзінкі мешаніны, а патрабуецца знайсьці колькасьць зьмешваемых рэчаў.

Задачы на правіла зьмяшаньня 1-га тыпу.

Задача1. Зьмешана тры гатункі мукі: 5 хун. па 7 кап., 4 хун. па 10 кап. і 6 хун. па 15 кап. за хунт. Колькі каштуе адзін хунт мешаніны?

Прадставім ход разьвязаньня задачы радкамі:

5	хун.	па	7	кап.	кашт.	7	к.	×5=35	кап.;
4	»	»	10	»	»	10	»	×4=40	»
6	»	»	15	»	»	15	»	×6=90	»
15 хун. усяе мешан. каштуюць 165 кап.
1» мешаніны каштуе ¹⁶⁵/₁₅=11 кап.

Задача2. Сярэбраных рэчаў майстар сплавіў 3,25 хунта серабра 84-й пробы, 2,75 хунт. серабра 72-й пробы і 4 хунты серабра 56-й пробы. Якое пробы дастанецца сплаў?

Пробаю назыв., як ведама, колькасьць залатнікоў чыстага золата або серабра ў адным хунце сплава (або колькасьць доляў у адным залатніку сплава). А дзеля таго маем:

У	3,25	хун.	84	пр.	маецца	83·3,25=273	залат.	сер.;
»	2,75	»	72	»	»	72·2,75=198	»	»
»	4	»	56	»	»	56·4=224	»	»

У	10	хун.			маецца	695	залат.	серабра.
»	1	»			»	⁶⁹⁵/₁₀=69,5, г. зн.
сплаў будзе 69,5 пробы.

Задача 3. Зьмешана 76,8 вядра гарэлкі ў 50 градусаў і 51,2 вядра гарэлкі ў 45 град. Колькі мае градусаў адтрыманая мешаніна?

Градусам назыв. працэнтны зьмест чыстага сьпірту ў вядры гарэлкі. Дзеля таго, калі гаворыцца: „гарэлка ў 60 град.“ дык гэта трэба разумець, што ў кожных 100 частках гэтае гарэлкі маецца 60 частак чыстага сьпірту, а апошнія 40 частак складвае вада.

Ведаючы гэта, па выжайшаму, маем:

У	76,8	вядра	50	гр.	маецца	сьпірту	50·76,8=3840	залат.	сер.;
»	51,2	»	45	»	»	»	45·51,2=2304	»	»

		У128в.маеццасьпірту6144сотыхвядра;
		»1»»»⁶¹⁴⁴/₁₂₈=48 сот. вядра, г. зн.
мешаніна будзе 48 градусаў.

Задачы на правіла зьмяшаньня 2-га тыпу.

Задача 4. 3 двох гатункаў гарбаты, коштам у 16 руб. і 9 руб. за пуд, патрабуецца зрабіць 14 пудоў мешаніны па 11 руб. за пуд. Па колькі пудоў прыдзецца ўзяць з кожнага гатунку?

Разьвяжам задачу гэту трома спосабамі:

1-ы спосаб. Калі пуд першага гатунку будзем прадаваць па 11 руб., дык будзем мець на кожным пудзе па 5 руб. страты, значыцца, на ¹/₅ пуда прыдзецца 1 руб. страты; калі другі гатунак прадаваць па 11 руб. за пуд, дык адтрымаем 2 руб. прыбытку; значыцца, на ¹/₂ пуда — 1 руб. прыбытку. Адсюль відаць, што калі зьмяшаем ¹/₅ пуда першага гатунку і ¹/₂ пуда другога гатунку, дык ня будзем мець страты і не дастанем прыбытку (бо 1 руб. страты пакрыецца 1 руб. прыбытку) г. зн. адтрымаем мешаніну патрабуемага складу ў колькасьці ¹/₅+¹/₂=⁷/₁₀ пуда.

Дзеля таго, што для адтрыманьня ⁷/₁₀ пуда мешаніны трэба ўзяць ¹/₅ пуда першага гатунку, дык для адтрыманьня 14 пудоў трэба ўзяць больш за 1/5 пуда ў столькі разоў, у колькі разоў 14 больш ⁷/₁₀, г. зн. x : ¹/₅=14 : ⁷/₁₀, адкуль х=4 пудам. Колькасьць пудоў другога гатунку, каторая абазначана цераз Y, знойдзем таксама з прапорцыі — Y: ¹/₂=14 : ⁷/₁₀, адкуль y=10 пуд.

Колькасьць пудоў другога гатунку можна знаходзіць таксама адыманьнем 4 пудоў ад ліку пудоў усяе мешаніны.

2-гі спосаб. Дзеля таго, што для складу мешаніны патрэбна на кожныя ¹/₅ пуда 1-га гатунку ўзяць ¹/₂ пуда 2-га гатунку, дык, абазначваючы шуканыя вялічыні X і Y, будзем мець:

x : y=¹/₅ : ¹/₂=2 : 5.

Значыцца, каб знайсьці х і у, трэба, на аснове правіла прапарцыянальнага дзяленьня, разьдзяліць 14 пудоў на 2 часткі, которыя аднасіліся-б, як ¹/₅ : ¹/₂=2 : 5; зьлічво прапарцыянальных лікаў 2+5=7.

A таму: x= ${\tfrac {14\cdot 2}{7}}$ =4 (пуд.), Y= ${\tfrac {14\cdot 5}{7}}$ =10 (пуд.).

3-ці спосаб. 14 пудоў першага гатунку каштуюць 14·16=224 р., 14 пуд. мешаніны каштуюць 14·11=154 руб.; першы кошт перавыжае другі на 70 руб. Гэта розьніца дастаецца адтаго, што ў складваемую мешаніну ўваходзіць разам з першым гатункам і другі гатунак, пуд каторага каштуе на 7 руб. таней за пуд першага гатунку; значыць, каб панізіць кошт першага гатунку на 70 руб., трэба замяніць столькі пудоў першага гатунку другім, колькі разоў 7 паўтараецца ў 70, г. зн. 10 разоў. Затым лік пудоў першага гатунку знаходзім адлічаньнем 10 пудоў ад 14.

285.Калі ў задачах на мешаніну 2-га тыпу дадзена для зьмешваньня больш за два гатункі рэчаў, або калі няведама колькасьць тавару, каторы патрабуецца скласьці з двох гатункаў рэчаў, дык такія задачы наз. неазначанымі, (неабмяжованымі), дзеля таго, што дапушчаюць няскончанае мноства разьвязаньняў.

Задача 5. Патрабуецца зьмяшаць тры гатункі гарбаты: у 3 руб., у 2 руб. 90 коп. і ў 2 руб. 75 кап. хунт, такім чынам, каб было 33 хунты па 2 руб. 80 кап. за хунт. Колькі павінна ўзяць гарбаты кожнага гатунку?

Калі гарбату 1-га гатунку будзем прадаваць па 2 руб. 80 кап. за хунт, дык будзем мець на кожным хунце 20 кап. страты; значыцца на ¹/₂₀ хунта прыдзецца 1 кап. страты; калі гарбату 2-га гатунку будзем прадаваць па 2 руб. 80 кап. хунт, дык будзем мець на кожным хунце 10 кап. страты, значыцца, на ¹/₁₀ хунта прыдзецца 1 кап. страты; калі-ж гарбату 3-га гатунку будзем прадаваць па 2 руб. 80 кап. за хунт, дык адтрымаем на кожным хунце 5 кап. прыбытку, значыцца на ¹/₅ хунта адтрымаем 1 кап. прыбытку.

Такім чынам, каб знайсьці адносіны, у якіх можна мяшаць дадзеныя тры гатункі гарбаты, патрэбна параўняць прыбытак з стратаю.

Пакажам траякае разьвязаньне задачы:

1-е разьвязаньне. Калі зьмяшаць ¹/₂₀ х. 1-га гатунку (–1 к.), ¹/₁₀ хун. 2-га гатунку (–1 кап.) з ²/₅ хунта 3-га гатунку (+2 кап.), дык ня будзе ані прыбытку, ані страты. Значыцца, колькасьць гарбаты кожнага гатунку для складу 33 хунтаў мешаніны павінна быць узята ў адносінах ¹/₂₀ : ¹/₁₀ : ²/₅=1 : 2 : 8 (зьлічво прапарцыянальных лікаў — 1+2+8=11).

А таму, абазначваючы шукавыя колькасьці х, y і z, будзем мець:

x= ${\tfrac {33\cdot 1}{11}}$ =3 x. ; y= ${\tfrac {33\cdot 2}{11}}$ =6 х. ; z= ${\tfrac {33\cdot 8}{11}}$ =24 х.

2-е разьвязаньне. Калі зьмяшаць ¹/₂₀ хун. 1-га гатунку (–1 к.), ¹/₅ хун. 2-га гатунку (–2 к.), з ³/₅ хунта 3-га гатунку (+3 к.), дык ня будзе ні прыбытку, ні страты. Значыцца, колькасьць гарбаты кожнага гатунку для складу 33 хунтаў мешаніны павінна быть узята ў адносінах ¹/₂₀ : ¹/₅ : ³/₅=1 : 4 : 12 зьлічво прапарцыянальных лікаў=17).

А таму, абазначаючы шуканыя колькасьці цераз X, Y і Z будзем мець:

x= ${\tfrac {33\cdot 1}{17}}$ =1¹⁶/₁₇ x.; y= ${\tfrac {33\cdot 4}{17}}$ =7¹³/₁₇ х.; z= ${\tfrac {33\cdot 12}{17}}$ =23⁵/₁₇ х.

3-е разьвязаньне. Калі зьмяшаць ¹/₅ х. 1-га гатунку (–4 к.), ¹/₁₀ х. 2-га гатунку (–1 к.) з хунтам 3-га гатунку (+5 к.), дык ня будзе ні прыбытку, ні страты. Значыцца колькасьць гарбаты кожнага гатунку для складу 33 хунтаў мешаніны павінна быць узята ў адносінах ¹/₅ : ¹/₁₀ : 1=2 : 1 : 16 (зьлічво прапарцыянальных лікаў=13).

А таму, абазначваючы шуканыя колькасьці цераз х, у i z будзем мець:

x= ${\tfrac {33\cdot 2}{13}}$ =5¹/₁₃ x.; y= ${\tfrac {33\cdot 1}{13}}$ =2⁷/₁₃ х.; z= ${\tfrac {33\cdot 10}{13}}$ =25⁵/₁₃ х.

286.Калі патрабуецца скласьці мешаніну, каторае адзінкавая цана выжэй за адзінкавую цану выжэйшага гатунку, або ніжэй за адзінкавую цану ніжэйшага гатунку, дык такая задача немагчымая; так, напрыклад, з золата 72 і 84 пробы нельга зрабіць сплава 90 або 56 пробы.

↑ Адваротным лікам па адносінах да дадзенага назыв. лік, дастаны ад дзяленьня адзінкі на гэты лік).

[1] Адваротным лікам па адносінах да дадзенага назыв. лік, дастаны ад дзяленьня адзінкі на гэты лік).

[1]