Элемэнтарная альгэбра (1922―1924). Частка II/X

← Няроўнасьці

Неазначаныя раўнаньні Падручнік Аўтар: Аляксандр Круталевіч 1924 год

Слоўнік тэрмінаў →

Прапануем да спампаваньня!

X.

Неазначаныя раўнаньні.

§115. Неазначаным называецца такое раўнаньне, якое заключае больш, як адну невядомую.

Неазначанае раўнаньне першае ступені з дзьвёма невядомымі можна заўсёды прывесьці да агульнага віду

$ax+by=c,$

у якім $a,b$ і $c$ ёсьць цэлыя лікі (бо ад дробаў у кожным раўнаньні можам звольніцца).

Калі лікі $a,b$ і $c$ маюць супольны множнік, то перад разьвязаньнем раўнаньня трэба яго скараціць на гэты множнік.

Калі коэфіцыэнты $a$ і $b$ маюць супольны множнік, на які выраз $c$ ня дзеліцца, то раўнаньне ня мае цэлых разьвязкаў. Каб давесьці гэта, дапусьцім, што такім множнікам ёсьць лік $m.$ Падзяліўшы раўнаньне на $m$ і абазначыўшы цэлы лік ${\frac {a}{m}}$ праз $a_{1},$ а цэлы лік ${\frac {b}{m}}$ праз $b_{1},$ атрымаем

$a_{1}x+b_{1}y={\frac {c}{m}}.$

Ясна, што данае раўнаньне ня можа мець цэлых разьвязкаў, бо ў супраціўным выпадку цэлы левы бок раўняўся-бы дробаваму праваму. Напрыклад, раўнаньне

$4x+6y=25,$

або посьле скарочаньня

$2x+3y=12{\frac {1}{2}},$

ня мае цэлых разьвязкаў.

Разьвязаньне неазначаных раўнаньняў спосабам паступовай падстаноўкі

Каб разьвязаць раўнаньне

$ax+by=c$

спосабам паступовай падстаноўкі, азначым з яго адну невядомую, напрыклад $x:$

$x={\frac {c-by}{a}}$

Падстаўляючы ў атрыманай формуле адвольныя значэньні на месца $y,$ будзем атрымліваць адпаведныя значэньні для $x;$ а значыцца:

калі $y=$		$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	......
то $x=$		${\frac {c+2b}{a}}$	${\frac {c+b}{a}}$	${\frac {c}{a}}$	${\frac {c-b}{a}}$	${\frac {c-2b}{a}}$	......

Бачым, што неазначанае раўнаньне з дзьвёма невядомымі мае бяскрайна-вялікую колькасьць пар разьвязкаў.

Колькасьць разьвязкаў неазначанага раўнаньня часта агранічваем умовай, што разьвязкі павінны быць цэлыя й дадатныя.

ПРЫКЛАД I.

Разьвязаць раўнаньне

$3x-5y=34.$

Выражаючы $x$ праз $y,$ атрымаем:

$x={\frac {34-5y}{3}}$

Калі хочам атрымаць дадатныя разьвязкі, падстаўляем у атрыманую формулу рад натуральных дадатных лікаў, а значыцца:

калі		$y=$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	......
то		$x=$	$9{\frac {2}{3}}$	$8$	$6{\frac {1}{3}}$	$4{\frac {2}{3}}$	$3$	$1{\frac {1}{3}}$	$-{\frac {1}{3}}$	......

Падстаўляючы далей на месца $y$ лікі $8,9,10$ і г. д., будзем атрымліваць для $x$ адмоўныя значэньні.

З атрыманых рэзультатаў можам выбраць толькі дзьве пары цэлых дадатных разьвязкаў, а мянавіта:

$y=2$ітады$x=8$
i$y=5$ітады$x=3.$

Надта лёгка атрымоўваем цэлыя разьвязкі раўнаньня, калі коэфіцыэнт пры адной невядомай ёсьць адзінка; у гэтым выпадку раўнаньне мае від:

$x+by=c,$або$ax+y=c$

Калі, напрыклад, азначым $x$ з першага раўнаньня

$x+by=c,$

атрымаем

$x=c-by.$

Даючы ў гэтай формуле адвольныя цэлыя значэньні $y,$ будзем атрымліваць цэлыя значэньні $x.$

ПРЫКЛАД.

Знайсьці цэлыя разьвязкі раўнаньня

$x+11y=18.$

Разьвязаньне.

$x=18-11y.$

калі		$y=$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	......
то		$x=$	$40$	$29$	$18$	$7$	$-4$	$-15$	......

Разьвязваньне неазначаных раўнаньняў спосабам Эйлера^[1].

117. На папярэднім прыкладзе мы пераканаліся, што, калі коэфіцыэнт пры адной невядомай у неазначаным раўнаньні ёсьць адзінка, то, падстаўляючы адвольныя цэлыя лікі на месца другой невядомай, будзем атрымліваць цэлыя значэньні для першай невядомай.

З гэтае прычыны, у мэтах разьвязаньня неазначанага раўнаньня з дзьвёма невядомымі, стараемся прывесьці яго да такога віду, у якім адна невядомая мае коэфіцыэнт $=1.$

Напрыклад, разьвязваючы раўнаньне:

$7x+17y=65,$

азначаем перш за ўсё невядомую, якая мае меншы коэфіцыэнт, а мянавіта $x:$

$x={\frac {65-17y}{7}},$або$x=9-2y+{\frac {2-3y}{7}}$

З прычыны таго, што $x$ i $y$ ёсьць цэлыя лкі, значыцца,

${\frac {2-3y}{7}}$

павінен быць таксама цэлым лікам; калі абазначым яго праз $t,$ тады атрымаем:

${\frac {2-3y}{7}}=t$(1)$x=9-2y+t$(A)

З раўнаньня (1) азначаем невядомую, якая мае меншы коэфіцыэнт, а мянавіта $y:$

$y={\frac {2-7t}{3}},$ або $y=-2t+{\frac {2-t}{3}}$

У раўнаньні гэтым $y$ i $t$ ёсьць цэлыя лікі; значыцца, і ${\frac {2-t}{3}}$ мае цэлае значэньне; абазначым яго праз $t_{1},$ тады:

${\frac {2-t}{3}}=t_{1}$(2)$y=-2t+t_{1}$(B)

З раўнаньня (2) азначаем невядомую $t:$

$t=2-3t_{1}$(C)

Посьле атрыманьня раўнаньня (C), у якім невядомая $t$ мае коэфіцыэнт, роўны адзінцы, значэньне гэтай невядомай падстаўляем у раўнаньне (B); атрымаем:

$y=-2\cdot (2-3t_{1})+t_{1},$або

$y=7t_{1}-4$

Падставіўшы далей у раўнаньне (А) атрыманае значэньне $y$ з апошняга раўнаньня і значэньне $t$ з раўнаньня (С), будзем мець:

$x=9-2(7t_{1}-4)+2-3t_{1},$або

$x=19-17t_{1}.$

Раўнаньні $y=7t_{1}-4$ i $x=19-17t_{1}$ ёсьць агульныя разьвязкі неазначанага раўнаньня $7x+17y=65.$

У гэтых агульных разьвязках, як бачым, коэфіцыэнты пры $x$ і $y$ ёсьць роўныя адзінцы; дзеля гэтага, даючы невядомай $t_{1}$ адвольныя цэлыя значэньні, атрымаем цэлыя значэньні для $x$ і $y,$ а мянавіта:

	$t_{1}$$=$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	......
	$x=$	$53$	$36$	$19$	$2$	$-15$	......
	$y=$	$-18$	$-11$	$-4$	$3$	$10$	......

Калі пры разьвязваньні раўнаньня стаіць умова, што значэньні невядомых $x$ і $y$ павінны быць цэлыя і дадатныя, то тады з агульнага разьвязку $y$ $(y=7t_{1}-4)$ атрымоўваем:

$7t_{1}-4>0,$або$7t_{1}>4,$$t_{1}>{\frac {4}{7}},$

з агульнага-ж разьвязку $x$ $(x=19-17t_{1})$ атрымоўваем:

$19-17t_{1}>0,$або$-17t_{1}>-19,$ці$17t_{1}<19,$
$t_{1}<{\frac {19}{17}},$$t_{1}<1{\frac {2}{17}}$

Такім чынам бачым, што $t_{1}$ заключаецца паміж ${\frac {4}{7}}$ i $1{\frac {2}{17}},$ а дзеля таго, што $t_{1}$ цэлы лік, значыцца $t_{1}=1.$ Пры гэтым значэньні $t_{1}$ з разьвязку для $y$ маем:

$y=7-4=3,$

а з разьвязку для $x$ маем:

$x=19-17=2.$

Атрыманыя значэньні разьвязкаў ёсьць згодныя і са значэньнямі, атрыманымі ў табліцы.

ПРЫКЛАД I.

Знайсьці ўсе цэлыя і дадатныя разьвязкі раўнаньня $5x+8y=51.$

Разьвязаньне.

$x={\frac {51-8y}{5}}=10-y+{\frac {1-3y}{5}}=10-y+t$
${\frac {1-3y}{5}}=t$
$y={\frac {1-5t}{3}}=-t+{\frac {1-2t}{3}}=-t+t_{1}$
${\frac {1-2t}{3}}=t_{1}$ $t={\frac {1-3t_{1}}{2}}=-t_{1}+{\frac {1-t_{1}}{2}}=-t_{1}+t_{2}$
${\frac {1-t_{1}}{2}}=t_{2}$
$t_{1}=1-2t_{2}$
$t=-1+2t_{2}+t_{2}=3t_{2}-1$

$y=-3t_{2}+1+1-2t_{2}=$

$2-5t_{2}$

$x=10-2+5t_{2}+3t_{2}-1=$	$8t_{2}+7$
$2-5t_{2}>0$$8t_{2}+7>0$
$-5t_{2}>-2$$8t_{2}>-7$
$5t_{2}<2$$t_{2}>-{\frac {7}{8}}$
$t_{2}<{\frac {2}{5}}$

Адсюль

$t_{2}=0,$ а, значыцца, $x=7,y=2.$

ПРЫКЛАД II.

Разьвязаць у цэлых і дадатных ліках раўнаньне

$5x+3y=114.$

Разьвязаньне.

$y={\frac {114-5x}{3}}=38-x-{\frac {2x}{3}}=38-x-t.$
${\frac {2x}{3}}=t$
$x={\frac {3t}{2}}=t+{\frac {t}{2}}=t+t_{1}$
${\frac {t}{2}}=t_{1}$
$t=2t_{1}$

$x=2t_{1}+t_{1}=$

$3t_{1}$

$y=38-3t_{1}-2t_{1}=$

$38-5t_{1}$

$3t_{1}>0$	$38-5t_{1}>0$
$t_{1}>0$	$-5t_{1}>-38$
	$5t_{1}<38$

$t_{1}<{\frac {38}{5}},$або$t_{1}<7{\frac {3}{5}}$

У даным прыкладзе $t_{1}$ мае 7 значэньняў, якія знаходзяцца паміж $0$ і $7^{3}/_{5},$ значыцца, раўнаньне мае 7 пар цэлых і дадатных разьвязкаў, а мянавіта:

	$t_{1}$$=$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$
	$x=$	$3$	$6$	$9$	$12$	$15$	$18$	$21$
	$y=$	$33$	$28$	$23$	$18$	$13$	$8$	$3$

ПРЫКЛАД III.

Разьвязваючы ў падобны спосаб раўнаньне

$5x+4y=7,$

атрымаем:

$x=3-4t$i$y=5t-2,$

адкуль

$t<{\frac {3}{4}}$і$t>{\frac {2}{5}}.$

З прычыны таго, што $t$ ёсьць большае за ${\frac {2}{5}}$ і меншае ад ${\frac {3}{4}},$ значыцца, цэлых значэньняў для $t$ няма; адсюль вынікае, што раўнаньне ня мае ні воднай пары цэлых разьвязкаў.

ПРЫКЛАД IV.

Пры разьвязваньні раўнаньня

$2x-5y=-17$

атрымаем наступныя агульныя разьвязкі:

$x=-5t-6,$$y=2t-1,$

адкуль:

$t<-1{\frac {1}{5}}$і$t>{\frac {1}{2}}$

Значэньня $t$ ня можам знайсьці, бо няма ліку, большага за ${\frac {1}{2}}$ і ў той самы час меншага ад $-1{\frac {1}{5}}.$ Атрыманая недарэчнасьць паказвае, што раўнаньне было кепска ўложана, бо дадатны левы бок ня можа быць роўным адмоўнаму леваму.

ПРЫКЛАД V.

Раўнаньне $5x-3y=13$ мае бяскрайна-вялікую колькасьць пар цэлых і дадатных разьвязкаў. І праўда, разьвязваючы яго, атрымоўваем:

$x=3t_{1}-1,$$y=5t_{1}-6,$

адкуль

$t_{1}>{\frac {1}{3}}$і$t_{1}>1{\frac {1}{5}}$

З прычыны таго, што абедзьве атрыманыя граніцы $t$ — ніжэйшыя, значыцца, ліку $t$ можам даваць адвольныя значэньні, большыя за $1{\frac {1}{5}}.$

Тады будзем мець:

	$t=$	$2$	$3$	$4$	$5$	......
	$x=$	$5$	$8$	$11$	$14$	......
	$y=$	$4$	$9$	$14$	$19$	......

§118. У папярэднім параграфе мы бачылі, што неазначанае раўнаньне можа мець або агранічаную колькасьць пар цэлых і дадатных разьвязкаў, або бяскрайна-вялікую, або, ўрэшце, саусім іх ня мае.

Азначыць усё гэта можам, не разьвязваючы самага раўнаньня. І праўда:

1) Калі раўнаньне мае від:

$ax-by=c,$

у якім знакі пры коэфіцыэнтах $a$ i $b$ — розныя, тады раўнаньне мае неагранічаную колькасьць пар цэлых і дадатных разьвязкаў, бо розьніца двух дадатных лікаў, пры зьмене гэтых лікаў, можа быць адной і тэй самай сталай велічынёй.

Так, напрыклад, у раўнаньні

$5x-2y=7$
$x=2t+1$	$y=5t-1$
$t>-{\frac {1}{2}}$	$t>{\frac {1}{5}}$

абедзьве ніжэйшыя граніцы паказваюць, што $t$ у агульных разьвязках $x=2t+1$ i $y=5t-1$ можа атрымліваць адвольныя значэньні, большыя за $1;$

II) Калі раўнаньне $ax+by=c$ мае ўсе выразы дадатныя і сума коэфіцыэнтаў $a$ і $b$ ёсьць меншая ад $c,$ тады існуе пэўная агранічаная колькасьць пар цэлых і дадатных разьвязкаў; так, напрыклад, раўнаньне

$4x+3y=11$
$x=2-3t$	$y=1+4t$
$t<{\frac {2}{3}}$і	$t>-{\frac {1}{4}},$

адкуль$t=0,$

мае адну пару цэлых і дадатных разьвязкаў, а мянавіта:

$x=2$i$y=1.$

III) Калі раўнаньне $ax+by=c$ мае ўсе выразы дадатныя, але сума коэфіцыэнтаў $a$ і $b$ ёсьць большая за $c,$ тады раўнаньне саўсім ня мае цэлых разьвязкаў; напрыклад, разьвязваючы раўнаньне

$5x+4y=3,$

атрымліваем:

$x=3-4t$	$y=5t-3$
$t<{\frac {3}{4}}$	$t>{\frac {3}{5}}$

Няма цэлага ліку, меншага ад $^{3}/_{4}$ і большага ад $^{3}/_{5};$ з гэтае прычыны і ня можа мець цэлага значэньня і раўнаньне ня мае ні воднай пары цэлых і дадатных разьвязкаў.

§119. У параграфе 115-ым мы давялі, што, калі коэфіцыэнты $a$ і $b$ пры $x$ і $y$ у неазначаным раўнаньні $ax+by=c$ маюць супольны множнік, на які $c$ ня дзеліцца без астачы, то раўнаньне ня мае цэлых разьвязкаў.

Цяпер давядзем, што, калі коэфіцыэнты пры $x$ і $y$ ня маюць супольнага множніка, то раўнаньне мае цэлы разьвязак.

Разьвязваючы неазначаныя раўнаньні спосабам Эйлера, можам лёгка заўважыць, што коэфіцыэнты пры невядомых у шэрагу пасьледаўных раўнаньняў мы творым у наступны спосаб. Дзелім большы коэфіцыэнт неазначанага раўнаньня на меншы; ад дзяленьня гэтага атрымоўваем астачу, якая будзе меншым коэфіцыэнтам другога раўнаньня; потым дзелім меншы коэфіцыэнт першага раўнаньня на першую астачу; атрымоўваем другую астачу, якая будзе меншым коэфіцыэнтам трэцяга раўнаньня; далей дзелім першую астачу на другую, другую на трэцюю і г. д., г. ё. робім так, як пры знаходжаньні найбольшага супольнага падзельніка спосабам вычэрпываючага дзяленьня.

З прычыны таго, што лікі $a$ i $b$ ня маюць супольных множнікаў, значыцца найбольшым супольным падзельнікам іх ёсьць $1.$

Адсюль вынікае, што ў апошнім раўнаньні коэфіцыэнт пры аднэй невядомай павінен быць роўным адзінцы. З раўнаньня гэтага і атрымоўваем рад цэлых разьвязкаў.

Агульныя формулы цэлых разьвязаньняў неазначанага раўнаньня.

§120. Маючы адну пару цэлых разьвязкаў раўнаньня

$ax+by=c,$

можам напісаць агульныя формулы, паводле якіх знаходзім усе іншыя пары цэлых разьвязкаў гэтага раўнаньня.

Дапусьцім, што разьвязкамі раўнаньня $ax+by=c$ ёсьць лікі $x_{1}$ і $y_{1};$ тады маем тожсамасьць:

$ax_{1}+by_{1}=c.$

Аднімаючы яе ад раўнаньня адпаведнымі бакамі, атрымоўваем:

$a(x-x_{1})+b(y-y_{1})=0.$

З гэтай роўнасьці азначаем $x:$

$a(x-x_{1})+b(y-y_{1})$
$x-x_{1}={\frac {-b(y-y_{1})}{a}}$
$x=x_{1}-{\frac {b(y-y_{1})}{a}}$

Але $x$ ёсьць цэлы лік, $x_{1}$ — таксама цэлы лік, значыцца, і выраз ${\frac {b(y-y_{1})}{a}}$ павінен быць цэлым лікам. У выразе гэтым $b$ ня мае супольных множнікаў з $a;$ з гэтага вынікае, што $y-y_{1}$ дзеліцца без астачы на $a$ i ёсьць цэлы лік. Калі лік гэты абазначым праз $t,$ то атрымаем:

${\frac {y-y_{1}}{a}}=t,$

адкуль

$y=y_{1}+at$
i $x=x_{1}-{\frac {b(y-y_{1})}{a}}=x_{1}-bt.$

А з прычыны таго, што $t$ можа мець і дадатныя й адмоўныя значэньні, значыцца:

$x=x_{1}\pm {b}t$

$y=y_{1}\mp {a}t$

ПРЫКЛАД.

Хай у раўнаньні

$5x+12y=59$

мы знайшлі адну пару разьвязкаў, а іменна:

$x=7;{\text{ }}y=2.$

Тады маем:

$a=5,$$b=12;$
$x_{1}=7,$$y_{1}=2.$

А, значыцца, агульныя формулы разьвязкаў гэтага раўнаньня будуць

$x=7+12t;{\text{ }}y=2-5t;$

$x=7-12t;{\text{ }}y=2+5t.$

Упрошчаньні пры разьвязваньні неазначаных раўнаньняў.

§121. Разьвязваньне неазначаных раўнаньняў спосабам Эйлера часам можам прысьпешыць, уводзячы пэўныя ўпрошчаньні.

I) Калі коэфіцыент $a$ (або $b$) і выраз $c$ маюць супольны множнік, напрыклад:

$4x+15y=65,$

то прыймаем

$x=5x_{1};$

тады будзем мець:

$20x_{1}+15y=65,$

адкуль, посьле скарочаньня ўсіх выразаў на $5,$ атрымоўваем больш простае раўнаньне

$4x_{1}+3y=13;$

разьвязаўшы яго, знойдзем:

$y=3+4t;{\text{ }}x_{1}=1-3t,$

адкуль

$x=5\cdot (1-3t)=5-15t.$

У раўнаньні

$8x+15y=84$

лікі $8$ і $84$ маюць супольны сумножнік $4,$ а лікі $15$ і $84$ маюць супольны сумножнік $3.$ Дзеля гэтага, абазначыўшы $x$ праз $3x_{1},$ а $y$ праз $4y_{1},$ і скараціўшы ўсё раўнаньне на $12,$ атрымаем:

$2x_{1}+5y_{1}=7,$

адкуль:

$x_{1}=5t+1;{\text{ }}y_{1}=1-2t,$

$x=3x_{1}=3\cdot (5t+1)=15t+3$

i$y=4y_{1}=4\cdot (1-2t)=4-8t.$

II) Калі коэфіцыэнт пры невядомай у дзеліве акажацца большым, чымся палова дзельніка, тады бярэм розьніцу паміж дзельнікам і гэтым коэфіцыэнтам са зьмененым знакам, адначасна зьмяншаючы або павялічваючы на адзінку коэфіцыэнт пры гэтай невядомай перад дробам.

Так, напрыклад, разьвязваючы раўнаньне

$5x+9y=28,$

атрымоўваем:

$x={\frac {28-9y}{5}}=5-y+{\frac {3-4y}{5}},$

а посьле ўпрошчаньня:

$x=5-2y+{\frac {3+y}{5}}$

Далейшае разьвязваньне робіцца звычайным шляхам.

III) Калі абодва выразы дзеліва заключаюць супольны множнік, то выводзім яго за дужкі і адкідваем; напрыклад, пры разьвязваньні раўнаньня:

$4x+7y=39,$

атрымоўваем:

$x={\frac {39-7y}{4}}=9-y+{\frac {3-3y}{4}}=9-y+{\frac {3\cdot (1-y)}{4}}=9-y+{\frac {1-y}{4}}=9-y+t$

Лікі $3$ і $4$ ня маюць супольных множнікаў, значыцца для атрыманьня цэлых разьвязкаў неабходнай і выстарчаючай умовай ёсьць, каб $(1-y)$ дзяліўся-б на $4.$ А, значыцца, абазначыўшы ${\frac {1-y}{4}}$ праз $t,$ атрымаем раўнаньне ${\frac {1-y}{4}}=t,$ з якога знойдзем:

$y=1-4t,$

$x=9-(1-4t)+t=8+5t.$

Прыстасаваньне неазначаных раўнаньняў да разьвязваньня тэкстовых задач.

§122. Неазначаныя раўнаньні маюць прыстасаваньне пры разьвязваньні шмат-якіх задач, у якіх часта ўводзіцца ўмова, што адказы павінны быць цэлымі і дадатнымі, бо ў супраціўным выпадку задача магла-б мець бяскрайна-вялікую колькасьць разьвязаньняў. Умова гэтая бывае або пастаўлена ў задачы, або вынікае з самага сэнсу задачы.

ПРЫКЛАДЫ.

I) За $67$ рублёў купілі некалькі нажоў і відэльцаў. За нож плацілі $5$ рублёў, за відэлец $4$ рублі. Колькі купілі нажоў і колькі відэльцаў?

Разьвязаньне.

Калі абазначым колькасьць нажоў праз $x,$ а колькасьць відэльцаў праз $y,$ то атрымаем:

$5x+4y=67.$

Колькасьць разьвязкаў раўнаньня агранічваем умовай, што лік нажоў і відэльцаў можа быць толькі цэлым і дадатным.

Першая ўмова дае нам наступныя агульныя формулы разьвязаньняў гэтага раўнаньня ў цэлых ліках:

$x=3-4t$i$y=13+5t,$

другая ўмова дае нам граніцы ліку $t:$

$t<{\frac {3}{4}}$i$t>-2{\frac {3}{5}},$

значыцца $t$ можа быць роўным $0,-1,-2;$ адпаведныя значэньні для $x$ i $y$ будуць:

	$t=$	$0$	$-1$	$-2$
	$x=$	$3$	$7$	$11$
	$y=$	$13$	$8$	$3$

II) Сын за кожную добра разьвязаную задачу атрымлівае ад бацькі $4$ капейкі, а за кожную кепска разьвязаную задачу сам плаціць $11$ кап. Колькі задач добра разьвязаў сын, калі атрымаў ад бацькі $1$ капейку? Пры гэтым вядома, што ўсіх задач было менш, як $50.$

Разьвязаньне.

Абазначыўшы колькасьць добра разьвязаных задач праз $x,$ a колькасьць кепска разьвязаных — праз $y,$ атрымаем раўнаньне:

$4x-11y=1.$

Разьвязаўшы яго ў цэлых ліках, будзем мець агульныя формулы:

$x=3-11t$i$y=1-4t.$

З прычыны таго, што колькасьць разьвязаных або неразьвязаных задач можа быць толькі дадатным лікам, азначаем граніцы ліку $t:$

$t<{\frac {3}{11}},$$t<{\frac {1}{4}}$

Бачым, што абедзьве граніцы $t$ — ніжэйшыя; вышэйшую граніцу $t$ атрымаем з умовы, што колькасьць усіх задач ёсьць меншая ад $50,$

г. ё.:$x+y<50,$

ці:
$3-11t+1-4t<50,$

адкуль:

$t>-3{\frac {1}{15}},$ а, значыцца, $t=0,-1,-2,-3,$

і значэньні $x$ i $y$ будуць:

	$t=$	$0$	$-1$	$-2$	$-3$
	$x=$	$3$	$14$	$25$	$36$
	$y=$	$1$	$5$	$9$	$13$

Уклад неазначаных раўнаньняў першае ступені.

§123. Калі маем уклад раўнаньняў, у якім колькасьць невядомых ёсьць на адзінку большая за колькасьць раўнаньняў, тады, пры помачы вядомых нам спосабаў выключэньня адной невядомай (складаньня і адніманьня), уклад гэты можам прывесьці да аднаго раўнаньня з дзьвёма невядомымі.

Для прыкладу возьмем наступныя два раўнаньні з трома невядомымі:

$6x+7y-z=29,$
$4x+5y+2z=31.$

Выключыўшы з гэтых двох раўнаньняў $z,$ атрымаем:

$16x+19y=89,$

агульныя разьвязкі якога ў цэлых ліках будуць:

$x=2-19t_{1}$i$y=3+16t_{1}$

Падставіўшы значэньні $x$ і $y$ з гэтых формул у адно з пачатковых раўнаньняў, атрымаем агульны разьвязак у цэлых ліках для, $z,$ а іменна:

$z=4-2t_{1}$

Каб знайсьці дадатныя значэньні невядомых, разьвязваем няроўнасьці:

$2$$-$$19t_{1}>0$

$3$$+$$16t_{1}>0$

i$4-2t_{1}>0$

З першай няроўнасьці атрымаем:

$t_{1}<{\frac {2}{19}},$

з другой:

$t_{1}>-{\frac {3}{16}},$

з трэцяй:

$t_{1}<2.$

Бачым, што $t_{1}$ можа мець толькі адно значэньне, роўнае $0;$ у такім разе:

$x=2;{\text{ }}y=3;{\text{ }}z=4.$
3адачы.

Разьвязаць у цэлых ліках раўнаньні:

878.	$2x+7y=29.$	879.	$3x+7y=163$
880.	$5x-8y=41$	881.	$9x-4y=-1$

Маючы адну пару цэлых разьвязкаў раўнаньня, знайсьці агульныя формулы на ўсе цэлыя разьвязкі:

882.	$3x+5y=11;{\text{ }}x_{1}=2$і$y_{1}=1.$
883.	$4x-7y=-1;{\text{ }}x_{1}=5$і$y_{1}=3.$
882.	$15x+11y=1000;{\text{ }}x_{1}=41$і$y_{1}=35.$

Разьвязаць у цэлых і дадатных ліках:

885.	$9x+4y=85$	886.	$8x+23y=413$
887.	$11x-8y=57$	888.	$11x+16y=268$
889.	$23x+41y=1299$

Разьвязаць у цэлых і дадатных ліках, прыстасоўваючы ўсе магчымыя ўпрошчаньні:

890.	$7x+2y=21$	891.	$15x+19y=345$
892.	$3{\frac {1}{2}}x+5{\frac {1}{3}}y=144$	893.	$16x+9y=152$
894.	$18x-11y=27$	895.	$8x+27y=90$
896.	$12x-35y=140$	897.	$63x+10y=105$

Не разьвязваючы наступных раўнаньняў, паказаць, якія з іх ня маюць: 1) цэлых разьвязкаў, 2) цэлых і дадатных.

898.	$2x+4y=15$	899.	$2x+5y=10$
900.	$7x+8y=5$	901.	$3x+12y=10$
902.	$5x-15y=7$	903.	$7x-15y=0$
904.	$-2x-5y=7$	905.	$7x+14y=42$
906.	$5x+10y=1$

Разьвязаць у цэлых і дадатных ліках сыстэмы раўнаньняў

907.

$2x+3y=22$ $3x+2z=28$

908.

$5x+3y=46$ $4y+7z=29$

911. Знайсьці цэлыя й дадатныя лікі, якія пры дзяленьні на $3$ даюць астачу $1,$ а пры дзяленьні на $5$ даюць у астачы $2.$

912. Сума цыфр трохзнакавага ліку ёсьць $15.$ Калі трэцюю яго цыфру перанесьці на першае месца, то новы лік будзе на $351$ менш ад пачатковага. Знайсьці гэты лік.

913. Колькі бутэлек белага і чырвонага віна можна купіць за $40$ р. $50$ кап., калі бутэлька белага віна каштуе $3$ рублі, а чырвонага $1$ руб. $50$ кап?

914. Колькі мужчынаў і жанчын прыймала ўдзел у вячорку, калі вядома, што кожны мужчына плаціў па $7$ рублёў, а жанчына па $5$ руб., усяго-ж разам заплацілі $111$ рублёў?

915. Агароднік мае менш за $100$ дрэваў. Калі-б ён пасадзіў іх па $23$ у кожным радку, то засталося-6 $7$ дрэваў непасаджаных, а калі-б саджаў па $32,$ то засталося б $3.$ Колькі ён мае дрэваў?

916. Даўжыня проціпростакутнай лініі простакутнага трыкутніка ня зьменіцца, калі меншую прыпростакутную павялічым на $11$ мэтраў, а большую зьменшым на $9$ мэтраў. Знайсьці гэтыя прыпростакутныя.

917. З чыстага сьпірту і сьпірту </math>60</math> градусаў зрабілі мешаніну $75$°, якая заключала цэлы лік вёдзер. Колькі ўзята сьпірту кожнага гатунку?

918. За $1$ рубель купілі некалькі алоўкаў і ад $6$ да $12$ сшыткаў; сшытак каштуе $7$ кап., а аловак $3$ капейкі. Колькі купілі тых і другіх?

919. У двох кашах знаходзіцца ад $75$ да $100$ яблыкаў. Калі-б у першым кашу было ў $8$ разоў, а ў другім у $7$ разоў больш яблыкаў, чымся цяпер знаходзіцца, і калі-б, апрача таго, з першага каша пералажыць у другі $1$ яблыка, то тады-б у абодвух кашах яблыкаў было-б пароўну. Колькі яблыкаў ў кожным кашы?

920. Знайсьці лікі, якія заключаюцца паміж $100$ i $400$ і якія, будучы многакрацьцю $17,$ пры дзяленьні на $7$ даюць у астачы $5.$

---

---

1. Славутны нямецкі матэматык (1707—83).