Элемэнтарная альгэбра (1922―1924). Частка II/VIII

← Тэорыя злучэньняў

Двохчлен Ньютона Падручнік Аўтар: Аляксандр Круталевіч 1924 год

Няроўнасьці →

Прапануем да спампаваньня!

VIII.

Двохчлен Ньютона^[1]

§105. З формул частных выпадкаў множаньня ведаем, што

$(a\pm {b})^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}$

$(a\pm {b})^{3}=a^{3}\pm 3a^{2}b+3ab^{2}\pm {b}^{3}$

Пры помачы формулы, званай «двохчленам Ньютона», можам падняць кожны двохчлен у адвольную ступень, г. ё. знайсьці значэньне выразу

$(a+b)^{n},$

дзе $n$ ёсць адвольны цэлы і дадатны лік.

Здабытак двохчленаў, маючых супольны першы выраз.

§106. Хай маем здабытак двохчленаў, маючых аднаковы першы выраз, напрыклад:

$(x+a)(x+b)(x+c)........(x+k)$

і хай усіх такіх двохчленаў будзе $n.$

Возьмем спачатку здабытак першых двох сумножнікаў;

атрымаем:

$(x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b)x+ab,$

або:

$(x+a)(x+b)=x^{2}$

$+a$ $+b$

$x+ab$

(у гэтых формулах заместа дужак для навочнасьці будзем ужываць старчавую рысу).

Памнажаючы атрыманы здабытак на трэці сумножнік $(x+c),$ будзем мець:

$(x+a)(x+b)(x+c)=x^{3}$

$+a$ $+b$ $+c$

$x^{2}+ab$ $+ac$ $+bc$

$x+abc$

Памнажаючы апошнюю формулу на $(x+d),$ атрымаем здабытак чатырох двохчленаў:

$(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=x^{4}$

$+a$ $+b$ $+c$ $+d$

$x^{3}+ab$ $+ac$ $+ad$ $+bc$ $+bd$ $+cd$

$x^{2}+abc$ $+abd$ $+acd$ $+bcd$

$x+abcd$

Разглядаючы атрыманыя здабыткі, бачым, што ўсе яны ёсьць многачлены, упарадкаваныя паводле спадаючых ступеняў сумножніка $x.$

Паказальнік ступені пры $x$ у першым члене ёсьць роўны колькасьці множаных двохчленаў, а ў кожным наступным члене зьмяншаецца на адзінку.

Коэфіцыент першага члена ёсьць роўны $1.$

Коэфіцыент другога члена ёсьць роўны суме другіх выразаў множаных двохчленаў.

Коэфіцыент трэцяга члена ёсьць роўны суме здабыткаў другіх членаў, узятых па $2.$

Коэфіцыэнт чацьвертага выразу ёсьць роўны суме здабыткаў другіх членаў, узятых па $3.$

Апошні член ёсьць здабытак усіх другіх членаў множаных двохчленаў.

Калі-б памножылі $5,6$ і г. д. двохчленаў, то атрымалі-б здабыткі, утвораныя паводле гэтага самага правіла.

Каб пераканацца, што выведзены закон утварэньня выразу данага здабытку ёсьць агульны, давядзем, што, калі ён правільны для здабытку $n$ двохчленаў

$(x+a)(x+b)(x+c)......(x+k),$

то будзе правільным таксама і для $(n+1)$ двохчленаў.

Вось-жа дапусьцім, што, утвараючы здабытак $n$ двохчленаў з супольным першым выразам, мы знайшлі:

$(x+a)(x+b)(x+c)........(x+k)=$
$=x^{n}+S_{1}x^{n-1}+S_{2}x^{n-2}+S_{3}x^{n-3}+.........+S_{n-1}x+S_{n}$(A)

У формуле гэтай

$S_{1}$ ёсьць сума членаў $a,b,c,......k$

$S_{2}$ ёсьць сума здабыткаў (комбінацый) гэтых членаў, узятых па $2.$

$S_{3}$ ёсьць сума здабыткаў (комбінацый) гэтых членаў, узятых па $3$ і г. д.

Урэшце $S_{n}$ ёсьць здабытак гэтых членаў.

Калі цяпер абодва бакі формулы (A) памножым на двохчлен $(x+l),$ то будзем мець:

$(x+a)(x+b)(x+c).......(x+k)(x+l)=$

$=x^{n+1}+S_{1}x^{n}+S_{2}x^{n-1}+S_{3}x^{n-2}+........+S_{n}x+$

$+lx^{n}+lS_{1}x^{n-1}+lS_{2}x^{n-2}+.........+lS_{n-1}x+lS_{n}.$

Выводзячы за дужкі выразы, якія зьмяшчаюць у сабе аднаковыя ступені $x,$ атрымаем:

$(x+a)(x+b)(x+c)........(x+k)(x+l)=$
$=x^{n+1}$	$+S_{1}$ $+{\text{ }}l$	$=x^{n}$	$+S_{2}$ $+lS_{1}$	$=x^{n-1}$	$+S_{3}$ $+lS_{2}$	$=x^{n-2}+.......$	$+S_{n}$ $+lS_{n-1}$	$x+lS_{n}$

Лёгка можам пераканацца, што атрыманая формула ўложана паводле таго самага закону, што й формула (A).

Сапраўды:

Паказальнік ступені пры $x$ у першым члене $(n+1)$ ёсьць роўны колькасьці множаных двохчленаў, і ў кожным наступным члене зьмяншаецца на адзінку.

Коэфіцыэнт другога члена $S_{1}+1$ ёсьць сума членаў

$a,b,c.....k,l.$

Коэфіцыент трэцяга члена $S_{2}+lS_{1}$ складаецца з $S_{2}$ (г. ё. сумы здабыткаў (комбінацый) з членаў $a,b,c....k$ па $2$) і з $S_{1}l$ (г. ё. здабытку кожнага выразу $a,b,c....k$ па $l$), а значыцца $S_{2}+lS_{1}$ ёсьць сума здабыткаў (комбінацый) з членаў $a,b,c....k,l,$ узятых па $2.$

У падобны спосаб можам давесьці, што коэфіцыент пры чацьвертым члене ёсьць сума здабыткаў (комбінацый) з членаў: $a,b,c....k,l,$ узятых па $3$ і г. д.

Апошні член $lS_{n}$ ёсьць здабытак усіх другіх членаў множаных двохчленаў.

З данага доваду бачым, што калі формула (A) ёсьць правільная для $n$ сумножнікаў, то будзе правільнай і тады, калі колькасьць сумножнікаў павялічым на $1.$ Але мы беспасрэдна пераканаліся, што яна — правільная для $4$ сумножнікаў; адсюль вынікае, што яна правільная і для $5$ сумножнікаў, а будучы правільнай для $5$ сумножнікаў, яна ёсьць правільная для $6$ і г. д., наогул для $n$ сумножнікаў.

Спосаб, які мы ўжылі пры даным довадзе, называецца „довадам ад $n$ да $n+1$“. Часта яшчэ называюць яго «матэматычнай індукцыяй», або «поўнай індукцыяй».

Карыстаючыся формулай (A), знойдзем:

$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=x^{4}+10x^{3}+35x^{2}+50x+24.$ Разьвіненьне двохчлена Ньютона.

§107. Дапусьцім, што ва ўсіх сумножніках формулы (A):

$(x+a)(x+b)....(x+k)=x^{n}+S_{1}x^{n-1}+S_{2}x^{n-2}+....+S_{n-1}x+S_{n}$

другія члены: $a,b,c....k$ ёсьць роўныя $a,$ тады левы бок роўнасьці заменіцца на $(x+a)^{n}$

Першы выраз правага боку $x^{n}$ застанецца бяз зьмены.

Коэфіцыэнт другога выразу $S_{1}=a+b+c+.....+k$ заменіцца на $na.$

Коэфіцыэнт трэцяга выразу $S_{2}=ab+ac+bc+.....$ заменіцца на $a^{2},$ паўторанае столькі разоў, колькі можна ўтварыць комбінацый з $n$ элемэнтаў па $2,$ г. ё. на

${\frac {n(n-1)}{1\cdot 2}}a^{2}=C_{n}^{2}a^{2}$

Коэфіцыэнт чацьвертага выразу

$S_{3}=abc+abd+bcd+....$

заменіцца на $a^{3},$ паўторанае столькі разоў, колькі можна ўтварыць комбінацый з $n$ элемэнтаў па $3,$ г. ё. на

${\frac {n(n-1)(n-2)}{1\cdot 2\cdot 3}}a^{3}=C_{n}^{3}{a}^{3}$$.....$ і г. д.

Апошні выраз $S=abc....$ заменіцца на $a^{n}.$

Такім чынам формула будзе мець наступны від:

$(x+a)^{n}=x^{n}+nax^{n-1}+C_{n}^{2}a^{2}x^{n-2}+....+C_{n}^{k}a^{k}x^{n-k}+....+na^{n-1}x+a^{n}$ (B)

Атрыманая формула называецца двохчленам Ньютона, а правы бок яе — разьвіненьнем двохчлена.

Бадаючы формулу (В), бачым, што колькасьць выразаў разьвіненьня двохчлена ёсьць большая на адзінку за паказальнік двохчлена.

Паказальнік ступені $x$ у першым выразе ёсьць роўны паказальніку двохчлена $,$ а ў кожным наступным зьмяншаецца на адзінку; урэшце апошні выраз разьвіненьня заключае паказальнік пры $x,$ роўны нулю. Наадварот, паказальнік пры $a$ пасьледаўна ўзрастае на адзінку ад $0$ да $n.$ Такім чынам вымер кожнага выразу разьвіненьня ёсьць роўны паказальніку ступені двохчлена $n.$

Коэфіцыэнт першага выразу ёсьць $1.$

Коэфіцыэнт другога выразу ёсьць роўны паказальніку двохчлена $n.$

Коэфіцыэнт трэцяга выразу ёсьць роўны колькасьці комбінацый з $n$ элемэнтаў па $2.$

Коэфіцыэнт чацьвертага выразу ёсьць роўны колькасьці комбінацый з $n$ элемэнтаў па $3.$

Наогул, коэфіцыэнт $(k+1)$-га выразу ёсьць роўны колькасьці комбінацый з $n$ элемэнтаў па $k,$ г. ё. $C_{n}^{k}.$

Параўнаўшы цяпер коэфіцыэнты выразаў, аднакова адлеглых ад пачатку і канца, бачым, што коэфіцыент I выразу ад пачатку разьвіненьня ёсьць $1,$ коэфіцыэнт першага выразу ад канца (г. ё. апошняга) ёсьць $C_{n}^{n},$ г. ё. таксама $1.$

Коэфіцыэнт II выразу ад пачатку$=n,$ г.ё. $C_{n}^{1},$ коэфіцыэнт II выразу ад канца (прадапошняга) ёсьць $C_{n}^{n-1},$ але $C_{n}^{1}=C_{n}^{n-1}.$

Коэфіцыэнт трэцяга выразу ад пачатку $C_{n}^{2},$ а трэцяга ад канца$=C_{n}^{n-2},$ але C^2_n=C^{n-2}_n і г. д.

Адсюль вынікае, што выразы разьвіненьня двохчлена Ньютона, аднакова адлеглыя ад пачатку і канца, маюць аднаковыя коэфіцыэнты.

ПРЫКЛАДЫ:

1. $(x$+$a)^{7}=x^{7}$+$7ax^{6}$+${\frac {7\cdot 6}{1\cdot 2}}a^{2}x^{5}$+${\frac {7\cdot 6\cdot 5}{1\cdot 2\cdot 3}}a^{3}x^{4}$+${\frac {7\cdot 6\cdot 5}{1\cdot 2\cdot 3}}a^{4}x^{3}$+${\frac {7\cdot 6}{1\cdot 2}}a^{5}x^{2}$+

2. $(2a+b)^{4}=(2a)^{4}+4\cdot (2a)^{3}\cdot {b}+{\frac {4\cdot 3}{1\cdot 2}}(2a)^{2}b^{2}+4\cdot 2ab^{3}+b^{4}=$

$=16a^{4}+32a^{3}b+24a^{2}b^{2}+8ab^{3}+b^{4}.$

3. ${\Big (}{\frac {1}{2}}b+2{\sqrt {c}}{\Big )}^{4}={\Big (}{\stackrel {\frown }{{\frac {1}{2}}b}}+{\stackrel {\frown }{2c^{^{1}/_{2}}}}{\Big )}^{4}=$

$={\Big (}{\frac {1}{2}}b{\Big )}^{4}+4{\Big (}{\frac {1}{2}}b{\Big )}^{3}+\cdot 2c^{^{1}/_{2}}+{\frac {4\cdot 3}{1\cdot 2}}{\Big (}{\frac {1}{2}}b{\Big )}^{2}\cdot {\Big (}2c^{^{1}/_{2}}{\Big )}^{2}+4\cdot {\frac {1}{2}}b{\Big (}2c^{^{1}/_{2}}{\Big )}^{3}+{\Big (}2c^{^{1}/_{2}}{\Big )}^{4}=$

$={\frac {1}{16}}b^{4}+4\cdot {\frac {1}{8}}b^{3}\cdot 2c^{^{1}/_{2}}+6{\frac {1}{4}}b^{2}\cdot 4c+4\cdot {\frac {1}{2}}b\cdot 8c^{^{3}/_{2}}+16c^{2}=$

$={\frac {1}{16}}b^{4}+b^{3}{\sqrt {c}}+6b^{2}c+16bc{\sqrt {c}}+16c^{2}.$

§108. Агульным выразам разьвіненьня двохчлена Ньютона называем выраз, які знаходзіцца посьле адвольнай (якой-хочаш) колькасьці $k$ выразаў, г. ё., які знаходзіцца на $(k-1)$ месцы. Калі выраз гэты абазначым праз $T_{k+1},$ то на аснове формулы (B) можам напісаць:

$T_{k+1}=C_{n}^{k}a^{k}x^{n-k}$

Падстаўляючы ў гэтай формуле на месца $k$ лікі $1,2,3,..$ (пры вядомым паказальніку ступені двохчлена $n$), атрымаем значэньне адвольнага выразу двохчлена, апрача першага; так, напрыклад, каб атрымаць 5-ты выраз разьвіненьня $(x+a)^{9},$ трэба ў формуле агульнага выразу падставіць $5$ на месца $k+1$ (г. ё. $4$ на месца $k$) і $9$ на месца $n,$ атрымаем тады:

$T_{5}=C_{9}^{4}\cdot {a}^{4}\cdot {x}^{5}={\frac {9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}}a^{4}x^{5}=126a^{4}x^{5}.$

Калі параўнаем два пасьледаўныя выразы разьвіненьня двохчлена Ньютона:

$T_{k+1}={\frac {n(n-1).....(n-k+1)}{1\cdot 2\cdot 3.....k}}a^{k}x^{n-k}$
i $T_{k+2}={\frac {n(n-1).....(n-k+1)(n-k)}{1\cdot 2\cdot 3......k(k+1)}}a^{k+1}x^{n-k-1},$

лёгка заўважым, што коэфіцыэнт наступнага выразу ёсьць роўны коэфіцыэнту папярэдняга, памножанаму на паказальнік ступені $x$ у гэтым выразе і падзеленаму на колькасьць папярэдніх выразаў.

ПРЫКЛАДЫ:

1. Ведаючы, што 5-ты выраз разьвіненьня двохчлена $(x+a)^{12}$ ёсьць роўны $495a^{4}x^{8},$ знайсьці шосты выраз.

Адказ.

$T_{6}={\frac {495\cdot 8}{5}}a^{5}x^{7}=792a^{5}x^{7}$

2. Знайсьці сярэдні выраз разьвіненьня

${\bigg (}{\frac {1}{\sqrt[{3}]{x}}}+{\sqrt[{4}]{4x^{3}}}{\bigg )}^{6}$

Разьвязаньне.

${\bigg (}{\frac {1}{\sqrt[{3}]{x}}}+{\sqrt[{4}]{4x^{3}}}{\bigg )}^{6}={\bigg (}x^{-{\frac {1}{3}}}+4^{\frac {1}{4}}x^{\frac {3}{4}}{\bigg )}^{6}$

З прычыны таго, што разьвіненьне двохчлена заключае 7 выразаў, дык сярэднім выразам ёсьць 4-ты выраз і значыцца:

$k+1=4;$ $k=3;$ $n=6.$

Такім чынам:

$T_{4}={\frac {6\cdot 5\cdot 4}{1\cdot 2\cdot 3}}\cdot {\Big (}4^{\frac {1}{4}}\cdot {x}^{\frac {3}{4}}{\Big )}\cdot {\Big (}x^{-{\frac {1}{3}}}{\Big )}^{3}=$
$=20\cdot 4^{^{3}/_{4}}\cdot {x}^{^{9}/_{4}}\cdot {x}^{-1}=20\cdot 2^{^{6}/_{4}}\cdot {x}^{^{5}/_{4}}=40x{\sqrt[{4}]{4x}}$

3. Знайсьці коэфіцыэнт таго выразу разьвіненьня двохчлена

${\Big (}{\sqrt[{6}]{z}}+{\sqrt[{3}]{z^{2}}}{\Big )}^{12},$

які зьмяшчае ў сабе $z^{6}.$

Разьвязаньне.

${\Big (}{\sqrt[{6}]{z}}+{\sqrt[{3}]{z^{2}}}={\Big )}^{12}={\Big (}z^{^{1}/_{6}}+z^{^{2}/_{3}}{\Big )}^{12}$
$T_{k+1}=C_{12}^{k}\cdot {\Big (}z^{^{2}/_{3}}{\Big )}^{k}\cdot {\Big (}z^{^{1}/_{6}}{\Big )}^{12-k}=C_{12}^{k}\cdot {z}^{\frac {2k}{3}}\cdot {z}^{\frac {12-k}{6}}=C_{12}^{k}\cdot {z}^{\frac {k+4}{2}}$

але з умоў задачы ведаем, што

$z^{\frac {k+4}{2}}=z^{6},$

значыцца:

${\frac {k+4}{2}}=6,$

адкуль$k=8;$

з гэтае прычыны

$T_{9}=C_{12}^{8}z^{6}$

Шуканы коэфіцыэнт $=C_{12}^{8}=C_{12}^{4}={\frac {12\cdot 11\cdot 10\cdot 9}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}}=495.$

4. Знайсьці выраз разьвіненьня двохчлена

$({\sqrt {a^{-1}}}+{\sqrt[{3}]{a}})^{15},$

які не зьмяшчае ў сабе $a.$

Разьвязаньне.

$({\sqrt {a^{-1}}}+{\sqrt[{3}]{a}})^{15}={\Big (}a^{-{\frac {1}{2}}}+a^{\frac {1}{3}}{\Big )}^{15}$
$T_{k+1}=C_{15}^{k}{\Big (}a^{\frac {1}{3}}{\Big )}^{k}\cdot {\Big (}a^{-{\frac {1}{2}}}{\Big )}^{15-k}=C_{15}^{k}a^{\frac {k}{3}}a^{-{\frac {15-k}{2}}}=C_{15}^{k}a^{\frac {5k-45}{6}}$

але з умоў задачы

$a^{\frac {5k-45}{6}}=a^{0},$

адсюль

${\frac {5k-45}{6}}=0$ i $k=9$
$T_{10}=C_{15}^{9}a^{0}=C_{15}^{6}={\frac {15\cdot 14\cdot 13\cdot 12\cdot 11\cdot 10}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6}}=5005.$

§109. Каб знайсьці формулу разьвіненьня $(x-a)^{n},$ трэба ва ўсіх выразах формулы (B) падставіць на месца $a$ выраз $(-a);$ тады выразы, якія заключаюць няцотныя ступені $a,$ зьменяць знакі, і двохчлен будзе мець від:

$(x-a)^{n}=x^{n}-nax^{n-1}+C_{n}^{2}a^{2}x^{n-2}-C_{n}^{3}a^{3}x^{n-3}+......\pm {a}^{n}$

Калі ў гэтай формуле зробім

$x=a=1,$

то атрымаем:

$0=1-n+C_{n}^{2}-C_{n}^{3}+......\pm 1.$

З формулы гэтай бачым, што сума коэфіцыэнтаў на цотных месцах двохчлена ёсьць роўная суме коэфіцыэнтаў на няцотных месцах.

Калі ў формуле (B)

$(x+a)^{n}=x^{n}+nax^{n-1}+C_{n}^{2}a^{2}x^{n-2}+......+a^{n}$

зробім$x=a=1,$

то атрымаем:

$(1+1)^{n}=2^{n}=1+n+C_{n}^{2}+C_{n}^{3}+......+1.$

Гэта даводзіць, што сума ўсіх коэфіцыэнтаў у разьвіненьні двохчлена $(x+a)^{n}$ ёсьць роўная $2^{n}.$

§110. Грунтуючыся на формуле (B) двохчлена Ньютона, можам паднасіць у ступень $n$ і многачлены.

Так, напрыклад, каб знайсьці значэньне выразу:

$(a+2b-b^{2})^{4},$

абазначаем $(2b-b^{2})$ праз $y,$ тады:

$(a+y)^{4}=a^{4}+4a^{3}y+6a^{2}y^{2}+4a^{3}+y^{4}.$

Падставіўшы цяпер $2b-b^{2}$ на месца $y,$ атрымаем:

$(a+2b-b^{2})^{4}=a^{4}+4a^{3}(2b-b^{2})+6a^{2}(2b-b^{2})^{2}+4a(2b-b^{2})^{3}+(2b-b^{2})^{4}.$

А дзеля таго, што:

$(2b-b^{2})^{2}=4b^{2}-4b^{3}+b^{4}$

$(2b-b^{2})^{3}=8b^{3}-12b^{4}+6b^{5}-b^{6}$

$(2b-b^{2})^{4}=16b^{4}-32b^{5}+24b^{6}-8b^{7}+b^{8},$

значыцца канчаткова:

$(a+2b-b^{2})=a^{4}+8a^{3}b-4a^{3}b^{2}+24a^{2}b^{2}-24a^{2}b^{3}+6a^{2}a^{2}b^{4}+$

$+32ab^{3}-48ab^{4}+24ab^{5}-4ab^{6}+16b^{4}+32b^{5}+24b^{6}-8b^{7}+b^{8}.$

3aдачы.

Знайсьці здабыткі наступных сумножнікаў.

809.	$(x+1)(x+3)(x+5)$	810.	$(x-3)(x-4)(x+2)$
811.	$(x+5)(x+6)(x-8)$	812.	$(3x+1)(2x+1)(5x+1)$

Разьвінуць ступені двохчленаў:

813.	$(x+4)^{4}$	814.	$(x-y)^{5}$
815.	$(1+x)^{8}$	816.	$(x-1)^{9}$
817.	${\Big (}2-{\frac {1}{2}}x{\Big )}^{5}$	818.	$(2a+3b)^{5}$
819.	$(3a-2b)^{6}$	820.	${\Big (}{\frac {1}{2}}a-{\frac {1}{3}}b{\Big )}^{6}$
821.	$(a^{5}-x^{5})^{5}$	822.	$(2x^{3}-1)^{5}$
823.	${\Big (}{\frac {1}{2}}a^{-3}b^{2}+{\frac {2}{3}}ab^{-3}{\Big )}^{6}$	824.	$({\sqrt {a}}+x)^{7}$

827.	У разьвіненьні	$(a+b)^{20}$	знайсьці	5-ты	выраз.
828.	»	$(3+2x^{2})^{9}$	»	6-ты	»
829.	»	$(a^{2}-3x^{5})^{20}$	»	12-ты	»
830.	»	$(1+x^{2})^{30}$	»	18-ты	»
831.	»	$({\sqrt {a}}-{\sqrt[{3}]{x^{2}}})^{11}$	»	4-ты	»

832.	Знайсьці	коэфіцыэнт	пры	выразе	$a^{5}b^{4}$	разьвіненьня$(a+b)^{9}$
833.	»	»	»	»	$x^{10}y^{4}$	»$(x+y)^{14}$
834.	»	»	»	»	$a^{5}b^{3}$	»$(2a+3b)^{8}$
835.	»	»	»	»	$a^{4}b^{7}$	»$(3a+2b)^{11}$
836.	»	»	»	»	$a^{8}b^{4}$	»${\Big (}{\frac {1}{2}}a+{\frac {2}{3}}b)^{12}$
837.	»	»	»	»	$z^{4}$	»$({\sqrt {z}}+{\sqrt[{3}]{z}})^{9}$

838.Знайсьці коэфіцыэнт таго выразу разьвіненьня $({\sqrt[{3}]{z}}+{\sqrt {z^{-1}}})^{15},$ які не заключае $z.$

839.Сума коэфіцыэнтаў другога і трэцяга выразаў разьвіненьня

$(z{\sqrt[{3}]{z}}+z^{-1,8666...})^{n}$

ёсьць роўная $78.$ Знайсьці выраз разьвіненьня, які не заключае $z.$

840.Знайсьці

$(1+x)^{7}+(1-x)^{7}$

841.Знайсьці

$(2a+3b)^{6}+(2a-3b)^{6}$

842.Знайсьці

$(4x-3y)^{5}-(4x+3y)^{5}$

Вылічыць:

843.	$(2+{\sqrt {6}})^{4}$	844.	$({\sqrt {5}}+{\sqrt {3}})^{6}$
845.	$(2{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}})^{6}$	846.	$(3{\sqrt {2}}+2{\sqrt {3}})^{5}$

847.Знайсьці гранічнае значэньне выразу

${\frac {(1+x)^{6}-1}{x}},$калі $x\to 0.$

848.Знайсьці гранічнае значэньне выразу

${\frac {(1+x)^{9}-(1-x)^{9}}{x}},$калі $x\to 0.$

849.Разьвінуць у многачлен ступень:

$(a+bx+cx^{2})^{4}$

---

1. Ісаак Ньютон (Isaac Newton, 1642—1727) — славутны ангельскі матэматык.