Элемэнтарная альгэбра (1922―1924). Частка II/IX

← Двохчлен Ньютона

Няроўнасьці Падручнік Аўтар: Аляксандр Круталевіч 1924 год

Неазначаныя раўнаньні →

Прапануем да спампаваньня!

IX.

Няроўнасьці.

---

Падзел няроўнасьцяў і іх уласьцівасьці.

§111. Няроўнасьцяй называюцца два альгэбрычныя выразы, злучаныя знакамі няроўнасьці:

$>$ (больш за) і $<$(менш ад).

Лік $a$ называем большым за $b,$ калі розьніца $a-b$ ёсьць дадатная, і меншым ад $b,$ калі розьніца $a-b$ ёсьць адмоўная, напрыклад:

$11>3,$ бо $11-3=8$

$-5<-2,$ бо $-5-(-2)=-3$

Няроўнасьці бываюць бязумоўныя (тожсамыя) і умоўныя (якія падобны да раўнаньняў).

Няроўнасьць называецца бязумоўнай, калі яна правільна пры ўсялякіх значэньнях літар, уходзячых у яе склад, і — умоўнай, калі яна правільна не пры ўсялякіх значэньнях яе літар, а толькі пры некаторых.

Так, напрыклад, няроўнасьці

$25>4,$ або $a+b^{2}>a$

ёсьць бязумоўныя.

Няроўнасьці

$a+2>6,$ або $3x+{\frac {1}{2}}<10$

ёсьць умоўныя.

§112. I. Да абодвух бакоў няроўнасьці можам дадаць адзін і той самы лік, не зьмяняючы знака няроўнасьці.

і праўда, калі

$a>b,$

то, згодна азначэньню,

$a-b>0,$

а, значыцца, і

$a-b+c-c>0,$

або

$(a+c)-(b+c)>0,$

адкуль

$a+c>b+c$

Вынік І.

Ад абодвух бакоў няроўнасьці можам адняць адзін і той самы лік, не зьмяняючы знака няроўнасьці, бо адняць лік $c$ — гэта тое самае, што дадаць $(-c).$

Вынік II.

Кожны выраз можам перанесьці з аднаго боку няроўнасьці на другі са зьмененым знакам.

І праўда, дадаўшы да абодвух бакоў няроўнасьці

$a-b<c+d$

па $b-d,$ атрымаем:

$a-b+b-d<c+d+b-d$

або

$a-d<c+b$

II. Абодва бакі няроўнасьці можам памножыць або падзяліць на адзін і той самы дадатны лік, не зьмяняючы знака няроўнасьці.

Памнажаючы-ж або дзелячы абодва бакі на адмоўны лік, зьмяняем знак няроўнасьці на супраціўны.

Довад.

1) Множнік або дзельнік — дадатны.

Калі

$a>b,$

тады

$a-b>0$

Але, памножыўшы або падзяліўшы дадатны лік $(a-b)$ на дадатны лік $c,$ атрымаем і рэзультат дадатны; значыцца:

$ac-bc>0$ і ${\frac {a}{c}}-{\frac {b}{c}}>0,$

адсюль

$ac>bc$ і ${\frac {a}{c}}>{\frac {b}{c}},$

2) Множнік або дзельнік — адмоўны.

Маем:

$a>b$
і $a-b>0.$

Хай $c$ — адмоўны лік, тады $(-c)$ будзе дадатным і дзеля гэтага:

$-ac>-bc;$ $-{\frac {a}{c}}>-{\frac {b}{c}},$

Перанясем у апошніх няроўнасьцях члены з аднаго боку на другі;

тады

$bc>ac;$ ${\frac {b}{c}}>{\frac {a}{c}},$

або

$ac<bc$ і ${\frac {a}{c}}<{\frac {b}{c}}$

Так, напрыклад, калі абодва бакі няроўнасьці

$2>-7$

памножым на $3,$ то атрымаем

$6>-21;$

памнажаючы-ж абодва бакі гэтай няроўнасьці на $(-4),$ будзем мець:

$-8>28.$

Вынік І.

У няроўнасьці можам звольніцца ад назоўнікаў, памнажаючы ўсе яе выразы на супольны назоўнік.

Напрыклад, няроўнасьць

${\frac {5}{6}}+2a<8-{\frac {3b}{4}}$

можам напісаць у відзе

$10+24a<96-9b$

Вынік II.

Перад усіма выразамі няроўнасьці можам зьмяніць знакі, зьмяніўшы адначасна і знак няроўнасьці на супраціўны.

Правільнасьць гэтага выніку стане зразумелай, калі мы ўсе выразы няроўнасьці памножым на $(-1);$ напрыклад, памнажаючы абодва бакі няроўнасьці

$-3<6$

на $-1,$ атрымаем:

$3>-6.$ Разьвязваньне ўмоўных няроўнасьцяў.

§113. Умоўная няроўнасьць заключае, апрача вядомых лікаў, таксама і невядомыя. Разьвязаць няроўнасьць — значыць знайсьці значэньні невядомай велічыні, пры якіх няроўнасьць ёсьць правільная (тожсамая).

Для прыкладу разьвяжам няроўнасьць:

$2(3-x)>{\frac {x}{3}}$

Зносячы дужкі, атрымаем:

$6-2x>{\frac {x}{3}}$

Зносячы назоўнік:

$18-6x>x$

Пераносячы невядомыя выразы на левы бок, а вядомы выраз на правы:

$-6x-x>-18,$

або

$-7x>-18.$

Зьмяняючы знакі на супраціўныя, зьмяняем і знак няроўнасьці:

$7x<18.$

Падзяліўшы абодва бакі на $7,$ канчаткова атрымаем:

$x<{\frac {18}{7}},$або$x<2{\frac {4}{7}},$

г. ё. усе лікі, меншыя ад $2{\frac {4}{7}},$ здавальняюць данай няроўнасьці.

Бачым, што ўмоўная няроўнасьць з адной невядомай мае неагранічана-вялікую колькасьць разьвязкаў. Разьвязваючы няроўнасьць, мы знаходзім толькі яе вышэйшую або ніжэйшую граніцу.

Калі $x>a,$ тады лік $a$ ёсьць ніжэйшая граніца значэньняў невядомай $x;$ калі-ж $x<a,$ тады лік $a$ ёсьць вышэйшая граніца значэньняў невядомай $x.$

§114. Калі маем некалькі няроўнасьцяў з адной невядомай, то, разьвязваючы іх, знаходзім адпаведную колькасьць граніц невядомай; пры гэтым могуць быць тры выпадкі:

1) Усе граніцы — вышэйшыя, напрыклад

$x<5;{\text{ }}x<-2;{\text{ }}x<7{\frac {1}{3}}$

Каб здавольніць усім няроўнасьцям, бярэм у гэтым выпадку найніжэйшую граніцу, а мянавіта:

$x<-2,$

бо, калі невядомая $x$ ёсьць меншая ад $-2,$ то тым болей яна менш ад $5$ i $7{\frac {1}{3}}.$

2) Усе граніцы — ніжэйшыя, напрыклад:

$x>4{\frac {3}{5}};{\text{ }}x>7;{\text{ }}x>-3.$

У гэтым выпадку здавольнім усім няроўнасьцям, узяўшы найвышэйшую граніцу

$x>7,$

бо, калі $x$ ёсьць больш за $7,$ то тым болей яна болей за $4{\frac {3}{5}}$ і $-3$

3) Калі маем некалькі вышэйшых і ніжэйшых граніц, то прыводзім іх да дзьвёх граніц, узяўшы найніжэйшую з вышэйшых граніц і найвышэйшую з ніжэйшых.

Так, напрыклад, маючы:

$x>2;{\text{ }}x>5;{\text{ }}x>-1;{\text{ }}x<9;{\text{ }}x<12{\frac {1}{2}},$

мы здавольнім усім няроўнасьцям, узяўшы

$x>5$і$x<9$

Калі пры гэтым здарыцца, як у даным прыкладзе, што ніжэйшая граніца ёсьць менш ад вышэйшай граніцы, то кажам, што граніцы ёсьць згодныя і невядомая мае рад значэньняў, якія заключаюцца паміж гэтымі граніцамі.

Наадварот, калі здарыцца, што ніжэйшая граніца будзе больш за вышэйшую граніцу, тады даныя граніцы ня ёсьць згодныя, і няроўнасьці — не адначасныя.

Так, напрыклад, маючы

$x>7$і$x<3,$

бачым, што ні адзін лік ня можа адказваць даным няроўнасьцям.

ПРЫКЛАД I.

Знайсьці ўсе цэлыя лікі, здавальняючыя ўкладу няроўнасьцяў:

$3(x+1)>5x-7$
$x+{\frac {1}{2}}>{\frac {1}{3}}(x-1)$

Разьвязаньне I няроўнасьці.

$3x+3>5x-7$

$3x-5x>-7-3$

$-2x>-10$

$2x<10$

$x<5$

	Разьвязаньне II няроўнасьці.
	$x+{\frac {1}{2}}>{\frac {1}{3}}x-{\frac {1}{3}}$
	$x-{\frac {1}{3}}x>-{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{2}}$
	${\frac {2}{3}}x>-{\frac {5}{6}}$
	$x>-1{\frac {1}{4}}$

Адсюль

$x=-1;0;1;2;3;4.$

ПРЫКЛАД II.

Знайсьці капітал, які пры процантнай таксе, большай за $4,$ дае ў год $640$ рублёў зыску.

Разьвязаньне.

Калі абазначым колькасьць рублёў капіталу праз $x,$ то знойдзем, што пры процантнай таксе$=4$ ён дае зыску ${\frac {4x}{100}}$ рублі; але сума гэтая менш ад $640,$ бо процантная такса ёсьць большая за $4;$ дзеля гэтага

${\frac {4x}{100}}<640,$

адкуль

$x<16000.$

Задачы.

Памножыць няроўнасьці:

850.	$3>-1$ на $7.$	851.	$-9<1$ на $2$
852.	$3>0.5$ на $-2.$	853.	$a^{2}>b$ на $-b$
854.	$(a-b)^{2}>(x+y)^{2}$ на $-1.$	855.	$m-1<a$ на $-m.$
Падзяліць няроўнасьці:
856.	$-36<48$ на $6.$	857.	$-10<+5$ на $-5.$
858.	$a^{2}-b^{2}>a-b$ на $(a-b)$	859.	$13x+26z>91x^{2}$ на $-13$
Разьвязаць няроўнасьці:
860.	$x+4>2-3x$	861.	$4x-3>1{\frac {1}{2}}x-{\frac {3}{5}}$
863.$(x^{2}-a^{2})x<(x-a)(x^{2}-2a^{2}x+2)$
864.	${\frac {2ax+3b}{5bx-4a}}>4$	865.	${\frac {2c^{2}x}{a^{2}}}-{\frac {a^{2}}{2b}}>{\frac {3x}{2}}+{\frac {b^{2}}{a}}$
Разьвязаць у цэлых ліках наступныя адначасныя няроўнасьці:
866.	$2x+5>15$ $3x-5>25$	867.	$7x-12<9$ $9x+10<55$
868.	$4x+5>45$ $3x-20<25$	869.	$7x+8>40$ $2x-5<3$
870.${\frac {1}{2}}(8x+3)<2x+25$ $6x+{\frac {5}{7}}>4x+7$		871.$15x-2>2x+{\frac {1}{3}}$ $2(x-4)<{\frac {1}{2}}(3x-14)$
872.	${\frac {1}{2}}(x-4)+3>{\frac {1}{4}}(x+2)+{\frac {1}{3}}x>{\frac {1}{2}}(x+1)+{\frac {1}{3}}$
873.$4x-3>3x+2$ $10-7x<28-9x$ $5x+9>2x+30$

874.Арол знаходзіцца на вышыні $1200$ мэтраў і ляціць уверх па $250$ мэтраў у мінуту. Праз які час паднімецца ён вышэй за гару, вышыня якой $=2000$ мэтраў?

875.Колькі я маю грошай, калі вядома, што падвойны іх лік, зьменшаны на $6,$ ёсьць меншы, ад $2,$ а пяцёхразавы іх лік, зьменшаны на $7,$ ёсьць большы за $3$?

876.На стале знаходзяцца гарэхі. Калі далажыць яшчэ $50$ гарэхаў, то колькасьць гарэхаў павялічыцца менш, як у $1{\frac {1}{2}}$ разы; калі-ж далажыць $51$ гарэх, то колькасьць гарэхаў павялічыцца больш, як у $1{\frac {1}{2}}$ разы. Колькі гарэхаў знаходзіцца на стале?

877.Калі да лічніка і назоўніка дробу дадаць па $1,$ то значэньне яго будзе больш за ${\frac {11}{15}},$ калі-ж ад лічніка і назоўніка адняць па $1,$ то значэньне яго будзе менш за ${\frac {11}{15}}.$ Знайсьці гэты дроб, калі вядома, што яго лічнік на $1$ менш за назоўнік?

---

---