Элемэнтарная альгэбра (1922―1924). Частка II/III

← Ступені і корні

Раўнаньні другой ступені Падручнік Аўтар: Аляксандр Круталевіч 1924 год

Раўнаньні вышэйшых ступеняў, якія прыводзяцца да квадратовых →

Прапануем да спампаваньня!

III.

Раўнаньні другой ступені.

---

Агульны від квадратовага раўнаньня з адной невядомай.

§38. Раўнаньнем другой ступені, або квадратовым, называем такое раўнаньне, у якім, посьле зьнясеньня корняў, назоўнікаў, дужак і злучэньня падобных членаў, — вышэйшая ступень невядомай — другая.

У раўнаньні другой ступені звычайна ўсе выразы пераносім на левы бок роўнасьці; дзеля гэтага правы бок робіцца роўны нулю, і раўнаньне прыймае выгляд:

$ax^{2}+bx+c=0$

Напрыклад, раўнаньне

$x^{2}-3x={\dfrac {5x-12}{2}}$

посьле упрошчаньня прыводзім да выгляду:

$2x^{2}-11x+12=0$

Раўнаньне

$ax^{2}+bx+c=0$

называем агульным відам раўнаньня другой ступені.

Падзелім усе выразы агульнага раўнаньня на коэфіцыент пры $x^{2}$, а ўласна на $a$; тады агульнае раўнаньне заменіцца на раўнаньне

$x^{2}+{\dfrac {b}{c}}x+{\dfrac {c}{a}}=0$

Калі ў гэтым апошнім ${\dfrac {b}{a}}$ абазначым праз $p$, а ${\dfrac {c}{a}}$ праз $q$, дык атрымаем раўнаньне

$x^{2}+px+q=0$,

якое будзем называць нормальным раўнаньнем другой ступені.

Такім чынам, нормальнае раўнаньне розьніцца ад агульнага толькі тым, што коэфіцыент пры квадраце невядомай нормальнага раўнаньня ёсьць роўны адзінцы.

Выраз $c$ агульнага раўнаньня і $q$ нормальнага раўнаньня называем выразам вядомым, або выразам незалежным ад $x$ (вольным).

Няпоўнае раўнаньне II ступені.

§39. Раўнаньне другой ступені ёсьць няпоўнае, калі ў ім не хапае: або выразу, які заключае ў сабе першую ступень невядомай $x$, або выразу вядомага, або абодвух гэтых выразаў.

У першым выпадку раўнаньне мае від:

$ax^{2}+c=0$,

у другім:

$ax^{2}+c=0$,

у трэцім:

$ax^{2}+c=0$

§40. Каб разьвязаць раўнаньне

$ax^{2}+c=0$,

пераносім вядомы выраз на правы бок, тады:

$ax^{2}=-c$;

падзяліўшы абодва выразы на $a$, атрымаем;

$x^{2}=-{\frac {c}{a}}$,

адкуль

$x_{12}=\pm {\sqrt {-{\frac {c}{a}}}}$,

ці

$x_{1}={\sqrt {-{\frac {c}{a}}}}$,$x_{2}=-{\sqrt {-{\frac {c}{a}}}}$

Адсюль бачым, што ў раўнаньні віду

$ax^{2}+c=0$

абодва разьвязкі маюць роўныя значэньні і розьняцца толькі знакамі.

Калі $a$ і $c$ маюць знакі розныя, то пад корнем атрымоўваем лік дадатны, і тады абодва разьвязкі будуць сапраўдныя, вымерныя або нявымерныя.

Калі-ж $a$ і $c$ маюць аднолькавыя знакі, то пад корнем атрымоўваем адмоўны лік, і тады абодва разьвязкі будуць ўяўныя. У гэтым можам пераканацца і пры помачы звычайнага разважаньня, што сума двух лікаў з аднолькавымі знакамі ня можа быць роўная нулю, калі кожны з іх паасобку ня ёсьць роўны нулю.

ПРЫКЛАД I.

$25x^{2}-49=0$.

$25x^{2}=49;x^{2}={\frac {49}{25}};x_{12}=\pm {\sqrt {\frac {49}{25}}}=\pm {\frac {7}{5}}=\pm 1{\frac {2}{5}}$

адкуль:$x_{1}=1{\frac {2}{5}}$,$x_{2}=-1{\frac {2}{5}}$

ПРЫКЛАД II.

$9x^{2}-28=0;x_{12}=\pm {\sqrt {\frac {28}{9}}}=\pm {\sqrt {\frac {4\cdot 7}{9}}}=\pm {\frac {2}{3}}{\sqrt {7}}$.

адкуль:

$x_{1}={\frac {2}{3}}{\sqrt {7}}$ і $x_{2}=-{\frac {2}{3}}{\sqrt {7}}$,

ПРЫКЛАД III.

$4x^{2}+7=0;x_{12}=\pm {\sqrt {-{\frac {7}{4}}}}=\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {-7}}$,

адкуль:

$x_{1}={\frac {1}{2}}{\sqrt {-7}}$ і $x_{2}=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-7}}$

§41. Дзеля разьвязаньня раўнаньня

$ax^{2}+bx=0$

вывядзем за дужкі $x$ (у левым баку раўнаньня); атрымаем тады:

$x(ax+b)=0$

У гэтым відзе левы бок раўнаньня ёсьць роўны нулю. Заўважым, што здабытак ёсьць роўны нулю, калі адзін з сумножнікаў ёсьць роўны нулю; з гэтае прычыны:

або$x=0$

або$ax+b=0$

Разьвязваючы другое раўнаньне, атрымаем:

$x=-{\frac {b}{a}}$

Адсюль вынікае, што ў даным раўнаньні $x$ мае два значэньні:

$x_{1}=0$ і $x_{2}=-{\frac {b}{a}}$

ПРЫКЛАД I.

$3x^{2}-4x=0;x(3x-4)=0;x_{1}=0,x_{2}={\frac {4}{3}}$

ПРЫКЛАД II.

$5x^{2}+ax=0;x(5x+a)=0;x_{1}=0,x_{2}=-{\frac {a}{5}}$

Урэшце, няпоўнае раўнаньне $ax^{2}=0$ пры $a\not =0$, мае толькі адзін разьвязак:

$x_{1}=x_{2}=0$ Разьвязаньне нормальнага квадратовага раўнаньня віду $x^{2}+px+q=0$^[1]

§42. Посьле пераносу у раўнаньні

$x^{2}+px+q=0$

вядомага выразу $q$ на правы бок, атрымоўваем:

$x^{2}+px=-q$

Двохчлен (біном) $x^{2}+px$, або інакш $x^{2}+2{\frac {p}{2}}x$, складаецца з квадрату $x$ і падвойнага здабытку $x$ на ${\frac {p}{2}}$. Дзеля гэтага, калі мы да гэтага біному дадамо ${\bigg (}{\frac {p}{2}}{\bigg )}^{2}$, то атрымаем трохчлен, які будзе квадратам сумы $x+{\frac {p}{2}}$

А значыцца, дадаючы да абодвух бакоў раўнаньня выраз ${\bigg (}{\frac {p}{2}}{\bigg )}^{2}$, будзем мець:

$x^{2}+px+{\bigg (}{\frac {p}{2}}{\bigg )}^{2}={\bigg (}{\frac {p}{2}}{\bigg )}^{2}-q$,

г. ё. ${\bigg (}x+{\frac {p}{2}}{\bigg )}^{2}={\bigg (}{\frac {p}{2}}{\bigg )}^{2}-q$

Дабываючы квадратовы корань з абодвух бакоў і, памятуючы аб двох значэньнях квадратовага корня з правага боку (дадатнага і адмоўнага), маем:

$x+{\frac {p}{2}}=\pm {\sqrt {{\bigg (}{\frac {p}{2}}{\bigg )}^{2}-q}}$,

адкуль:$x=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {{\bigg (}{\frac {p}{2}}{\bigg )}^{2}-q}}$,
або$x=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {\frac {p^{2}-4q}{4}}}$,
г. ё.$x={\frac {-p\pm {\sqrt {p^{2}-4q}}}{2}}$
А значыцца:$x_{1}={\frac {-p+{\sqrt {p^{2}-4q}}}{2}}$

і$x_{2}={\frac {-p-{\sqrt {p^{2}-4q}}}{2}}$ Разьвязваючы, напрыклад, раўнаньне

$x^{3}+3x-4=0$,
атрымоўваем:$x={\frac {-3\pm {\sqrt {9+16}}}{2}}$,
ці$x={\frac {-3\pm 5}{2}}$
адкуль:$x_{1}=1;x_{2}=-4$
З раўнаньня${\frac {x^{2}}{2}}=2(3-x)$
посьле ўпрошчаньня маем:
$x^{2}+4x-12=0$,
адкуль:$x={\frac {-4\pm {\sqrt {16+48}}}{2}}$,
ці$x={\frac {-4\pm 8}{2}}$

А значыцца:$x_{1}=2;x_{2}=-6$

Раўнаньне${\dfrac {x}{a}}+{\dfrac {a}{x}}=2$

посьле ўпрошчаньня прыводзім да віду

$x^{2}-2ax+a^{2}=0$,

адкуль:$x={\frac {2a\pm {\sqrt {4a^{2}-4a^{2}}}}{2}}$

Значыцца:$x_{1}=x_{2}=a$

§ 43. 3 формулы$x={\frac {-p\pm {\sqrt {p^{2}-4q}}}{2}}$

можам атрымаць формулу: $x=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {{\bigg (}{\frac {p}{2}}{\bigg )}^{2}-q}}$, якую зручней прыстасоўваць пры разьвязваньні нормальнага квадратовага раўнаньня ў тым выпадку, калі коэфіцыент пры першай ступені невядомай ёсьць цотны.

Напрыклад, стасуючы першую формулу пры разьвязваньні раўнаньня

	$x^{2}-6x-55=0$,
маем:	$x={\frac {6\pm {\sqrt {36+220}}}{2}}$,
або	$x={\frac {6\pm 16}{2}}$,
адкуль	$x_{1}=11;x_{2}=-5$.

Разьвязваючы-ж гэтае раўнаньне пры помачы упрошчанай формулы, атрымоўваем:

	$x=3\pm {\sqrt {9+55}}$,
або	$x=3\pm 8$,
адкуль:	$x_{1}=11;x_{2}=-5$.

Бачым, што у даным прыкладзе вылічэньне значэньня $x$ за дапамогаю другой формулы ёсьць больш простае.

Наадварот, калі коэфіцыент пры $x$ — няцотны, тады зручней карыстацца з першае формулы.

3aдачы.

Разьвязаць няпоўныя квадратовыя раўнаньні:

367.	$x^{2}=49$	368.	$x^{2}={\frac {361}{441}}$
369.	$y^{2}=7,84$	370.	$7y^{2}=448$
371.	${\frac {7}{11}}x^{2}=308$	372.	$x^{2}-5x=0$
373.	$x^{2}=9x$	374.	$5x^{2}+3x=0$
375.	$7x^{2}=-5x$	376.	$4x^{2}-11=89$
377.	$6x^{2}+3x=4x^{2}+x$	378.	$(2x+5)^{2}-(x-3)^{2}=16$
380.	$(2x+3)(3x+4)(4x+5)=(2x-3)(3x-4)(4x-5)+904$
381.	${\frac {x+3}{x-3}}+{\frac {x-3}{x+3}}=3{\frac {1}{3}}$	382.	${\frac {3x+8}{5x-2}}-{\frac {x+1}{3x-7}}=0$
383.	${\frac {x-2}{x+2}}+{\frac {x+2}{x-2}}={\frac {2(x+3)}{x-3}}$	384.	${\frac {5{\sqrt {7}}-2x}{{\sqrt {7}}-10x}}={\frac {{\sqrt {7}}-4x}{2({\sqrt {7}}-x)}}$
385.	${\frac {2{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}+x}{x+2{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}}}={\frac {x-2{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}{2{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}-x)}}$

Разьвязаць поўныя квадратовыя раўнаньні:

	386.	$x^{2}-8x+15=0$	387.	$x^{2}-12x+35=0$
	388.	$x^{2}+18x-40=0$	389.	$x^{2}+30x-1144=0$
	390.	$x^{2}-5x-36=0$	391.	$x^{2}+17x-60=0$
	392.	$x^{2}-(a+b)x+ab=0$	393.	$x^{2}+(ac-bd)x-abcd=0$
	394.$x^{2}-2(a^{2}+b^{2})x+(a^{2}-b^{2})=0$

Уласьцівасьці разьвязкаў раўнаньня $x^{2}+px+q=0$.

§44. Маючы разьвязкі нормальнага раўнаньня:

$x_{1}={\frac {-p+{\sqrt {p^{2}-4q}}}{2}}$ і $x_{2}={\frac {-p-{\sqrt {p^{2}-4q}}}{2}}$

і дадаючы іх адпаведнымі бакамі, атрымаем:

$x_{1}+x_{2}={\frac {-p+{\sqrt {p^{2}-4q}}-p-{\sqrt {p^{2}-4q}}}{2}}$,

a6o	$x_{1}+x_{2}=-{\frac {2p}{2}}$,
адкуль:	$x_{1}+x_{2}=-p$, г. ё.:

У нормальным раўнаньні $x^{2}+px+q=0$ сума разьвязкаў ёсьць роўная коэфіцыенту пры першай ступені $x$ з супраціўным знакам.

Памнажаючы цяпер адпаведныя бакі гэтых самых разьвязкаў

$x_{1}={\frac {-p+{\sqrt {p^{2}-4q}}}{2}}$ і $x_{2}={\frac {-p-{\sqrt {p^{2}-4q}}}{2}}$,
атрымаем: $x_{1}x_{2}={\frac {(-p+{\sqrt {p^{2}-4q}})\cdot (-p-{\sqrt {p^{2}-4q}})}{4}}$,

a6o	$x_{1}x_{2}={\frac {p^{2}-(p^{2}-4q)}{4}}$,
адкуль:	$x_{1}x_{2}=q$, г. ё.:

У нормальным раўнаньні $x^{2}+px+q=0$ здабытак разьвязкаў ёсьць роўны выразу, незалежнаму ад $x$ (вольнаму).

§45. На аснове выведзеных уласьцівасьцяў разьвязкаў раўнаньня $x^{2}+px+q=0$, можам скласьці квадратовае раўнаньне, маючы яго разьвязкі.

Напрыклад, калі $x_{1}=4$ і $x_{2}=3$, то $p=-(4+3)$ i $q=4\cdot 3$
і раўнаньне будзе мець выгляд:

	$x^{2}-(4+3)x+4\cdot 3=0$,
або	$x^{2}-7x+12=0$

І праўда, разьвязваючы гэтае раўнаньне, атрымаем:

	$x={\frac {7\pm {\sqrt {49-48}}}{2}}=0$,
або	$x={\frac {7\pm 1}{2}}$,
адкуль:	$x_{1}=4;x_{2}=3$

Разьвязкі $5$ і $-2$ мае раўнаньне:

$x^{2}-(5-2)x+5\cdot (-2)=0$,
г. ё.$x^{2}-3x-10=0$,

Разьвязкі $3+{\sqrt {2}}$ і $3-{\sqrt {2}}$ мае раўнаньне

$x^{2}-(3+{\sqrt {2}}+3-{\sqrt {2}})x+(3+{\sqrt {2}})(3-{\sqrt {2}})=0$,
г. ё.$x^{2}-6x+7=0$.

§46. Уласьцівасьці разьвязкаў раўнаньня $x^{2}-px+q=0$ даюць магчымасьць азначыць знакі разьвязкаў гэтага раўнаньня, не разьвязваючы яго; напрыклад, маючы раўнаньне $x^{2}-8x+15=0$, мы адразу можам сказаць, што абодва яго разьвязкі маюць аднаковыя знакі, бо іх здабытак (15) ёсьць дадатны, а з прычыны таго, што коэфіцыент пры $x$ ёсьць адмоўны, значыцца сума разьвязкаў ёсьць дадатная; гэта даводзіць, што разьвязкі раўнаньня дадатныя.

У раўнаньні $x^{2}-5x-14=0$ разьвязкі маюць розныя знакі, бо іх здабытак (-14) ёсьць адмоўны. Сума разьвязкаў (-5) ёсьць адмоўная, адсюль вынікае, што большы разьвязак ёсьць адмоўны.

Расклад на сумножнікі левага боку раўнаньня $x^{2}+px+q-0$

§47. Абазначыўшы разьвязкі нормальнага раўнаньня літарамі $x_{1}$ і $x_{2}$, атрымаем:

$x^{2}-(x_{1}+x_{2})x+x_{1}x_{2}=0$,
ці$x^{2}-x_{1}x-x_{2}x+x_{1}x_{2}=0$.

Вынясем з першых двух выразаў за дужкі $x$, а з двух пазасталых — $x_{2}$, будзем мець:

$x(x-x_{1})-x_{2}(x-x_{1})=0$,

адкуль:$(x-x_{1})(x-x_{2})=0$

Значыцца, левы бок нормальнага квадратовага раўнаньня раскладаецца на два сумножнікі, роўныя розьніцам паміж $x$ і разьвязкамі раўнаньня; напрыклад, раўнаньне $x^{2}-10x+21=0$, якое мае разьвязкі $7$ і $3$, можам напісаць у форме:

$(x-7)(x-3)=0$.

Раўнаньне $x^{2}+9x+20=0$, разьвязкі якога ёсьць лікі $-4$ і $-5$, можам напісаць у відзе $(x+4)(x+5)=0$.

§48. Расклад левага боку нормальнага квадратовага раўнаньня на сумножнікі дае нам другі спосаб укладаньня квадратовага раўнаньня паводле яго разьвязкаў; напрыклад, маючы разьвязкі раўнаньня $x_{1}=6$ і $x_{2}=-7$, укладаем раўнаньне

$(x-6)(x+7)=0$,

якое посьле ўпрошчаньня прыйме выгляд:

$x^{2}+x-42=0$

І праўда, разьвязваючы гэтае раўнаньне, атрымаем:

$x_{1}=6;x_{2}=-7$

§49. Уласьцівасьць раскладу нормальнага квадратовага раўнаньня на сумножнікі мае прыстасаваньне пры раскладзе на сумножнікі трохчлену, маючага выгляд

$x^{2}+px+q$

Дзеля гэтае мэты прыраўноўваем яго да нуля і разьвязваем атрыманае, такім чынам, квадратовае раўнаньне; потым левы бок раскладываем на сумножнікі паводле паказанага спосабу.

Калі-б мы, напрыклад, хацелі раскласьці на сумножнікі трохчлен

$x^{2}-5x-24$,

то, прыраўнаўшы яго да нуля, атрымаем раўнаньне

$x^{2}-5x-24=0$,

з якога знойдзем:

$x_{1}=8;x_{2}=-3$

Дзякуючы гэтаму, даны трохчлен

$x^{2}-5x-24=(x-8)(x+3)$

У падобны спосаб прыраўнаўшы трохчлен

$a^{2}+11a+30$

да нуля і разьвязаўшы раўнаньне $a^{2}+11a+30=0$ адносна $a$, атрымаем:

$a_{1}=-5;a_{2}=-6$,
адкуль:$a^{2}+11a+30=(a+5)(a+6)$ Задачы.

Утварыць квадратовыя раўнаньні, маючы іх разьвязкі.

395.	$3$ i $5$.	396.	$6$ i $-3$.
397.	$4$ i $-4$.	398.	$-10$ i $-10$.
399.	$0$ i $-2$.	400.	$a$ i $b$.
401.	$a+2$ i $a-2$.	402.	$2+{\sqrt {3}}$ i $2-{\sqrt {3}}$.
403.$1+{\sqrt {-1}}$ i $1-{\sqrt {-1}}$.

Не разьвязваючы наступных раўнаньняў, знайсьці знакі іх разьвязкаў і паказаць, які з іх мае большае абсолютнае значэньне.

	404.	$x^{2}-12x+35=0$	405.	$x^{2}-14x+49=0$
	406.	$x^{2}-22x+71=0$	407.	$x^{2}+20x+100=0$
	408.	$x^{2}-13x+42=0$	409.	$x^{2}+20x-125=0$

Раскласьці наступныя трохчлены на сумножнікі:

	410.	$x^{2}-8x-884$	411.	$x^{2}+12x-925$
	412.	$x^{2}+3x-108$	413.	$x^{2}-13x-9858$
	414.	$x^{2}+4ax+3a^{2}$	415.	$x^{2}+2ax+a^{2}-b^{2}$
	416.	$x^{2}-ax-a{\sqrt {b}}-b$	417.	$x^{2}+{\sqrt {b}}x-a^{2}+a{\sqrt {b}}$

Разьвязаньне агульнага квадратовага раўнаньня віду $ax^{2}+bx+c=0$

§50. Падзяліўшы ўсе выразы раўнаньня

$ax^{2}+bx+c=0$

на $a$, атрымоўваем:

$x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0$,

а посьле пераносу вядомага выразу на правы бок:

$x^{2}+{\frac {b}{a}}x=-{\frac {c}{a}}$,
або$x^{2}+2{\frac {b}{2a}}x=-{\frac {c}{a}}$;

дапоўніўшы левы бок да квадрату, будзем мець:

$x^{2}+2{\frac {b}{2a}}x+{\bigg (}{\frac {b}{2a}}{\bigg )}^{2}={\bigg (}{\frac {b}{2a}}{\bigg )}^{2}-{\frac {c}{a}}$,
г. ё.${\bigg (}x+{\frac {b}{2a}}{\bigg )}^{2}={\bigg (}{\frac {b}{2a}}{\bigg )}^{2}-{\frac {c}{a}}$, $x^{2}+2{\frac {b}{2a}}x+{\bigg (}{\frac {b}{2a}}{\bigg )}^{2}={\bigg (}{\frac {b}{2a}}{\bigg )}^{2}-{\frac {c}{a}}$,
г. ё.${\bigg (}x+{\frac {b}{2a}}{\bigg )}^{2}={\bigg (}{\frac {b}{2a}}{\bigg )}^{2}-{\frac {c}{a}}$,

значыцца	$x+{\frac {b}{2a}}={\sqrt {{\bigg (}{\frac {b}{2a}}{\bigg )}^{2}-{\frac {c}{a}}}}$,
адкуль:	$x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}}}$,
або	$x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}$,
канчаткова:	$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

ПРЫКЛАД I.

Разьвязаць раўнаньне $2x^{2}+3x-14=0$

У раўнаньні гэтым: $a=2,b=3$ i $c=-14$,

значыцца:$x={\frac {-3\pm {\sqrt {9-4\cdot 2(-14)}}}{4}}$,

ці $x={\frac {-3\pm {\sqrt {9+4\cdot 2\cdot 14}}}{4}}={\frac {-3\pm {\sqrt {9+112}}}{4}}={\frac {-3\pm {\sqrt {121}}}{4}}={\frac {-3\pm 11}{4}}$,

адкуль:$x_{1}={\frac {-3+11}{4}}=2$ i $x_{2}={\frac {-3-11}{4}}=-3{\frac {1}{2}}$

ПРЫКЛАД II.

Разьвязаць раўнаньне $9x^{2}-12x-7=0$

$x={\frac {12\pm {\sqrt {144-252}}}{18}}={\frac {12\pm {\sqrt {-108}}}{18}}={\frac {12\pm {\sqrt {36\cdot (-3)}}}{18}}={\frac {6(2\pm {\sqrt {-3}})}{18}}=$
$={\frac {2\pm {\sqrt {-3}}}{3}}={\frac {2\pm {i}{\sqrt {3}}}{3}}$,

адкуль$x_{1}={\frac {2+i{\sqrt {3}}}{3}}$і$x_{2}={\frac {2-i{\sqrt {3}}}{3}}$

Разьвязкі гэтага раўнаньня ёсьць лікі комплексныя супрэжаныя.

ПРЫКЛАД III.

Разьвязаць раўнаньне $(bx-a)(ax-b)=0$

Посьле ўпрошчаньня атрымоўваем:

$abx^{2}-(a^{2}+b^{2})x+ab=0$,

адкуль:$x={\frac {a^{2}+b^{2}\pm {\sqrt {a^{4}+2a^{2}b^{2}+b^{4}-4a^{2}b^{2}}}}{2ab}}$,

$x={\frac {a^{2}+b^{2}\pm {\sqrt {a^{4}-2a^{2}b^{2}+b^{4}}}}{2ab}}={\frac {a^{2}+b^{2}\pm (a^{2}-b^{2})}{2ab}}$

$x_{1}={\frac {a^{2}+b^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ab}}={\frac {2a^{2}}{2ab}}={\frac {a}{b}}$ $x_{2}={\frac {a^{2}+b^{2}-a^{2}+b^{2}}{2ab}}={\frac {2b^{2}}{2ab}}={\frac {b}{a}}$

§51. Выведзеная формула разьвязку агульнага квадратовага раўнаньня

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

можа быць упрошчана ў тым выпадку, калі коэфіцыент $b$ пры першай ступені невядомай ёсьць цотны лік. Вось-жа, калі абазначым яго праз $2k$, г. ё. калі $b=2k$, то агульнае раўнаньне атрымоўвае від:

$ax^{2}+2kx+c=0$ і тады:$x={\frac {-2k\pm {\sqrt {4k^{2}-4ac}}}{2a}}={\frac {-2k\pm {\sqrt {4(k^{2}-ac}}}{2a}}$, адкуль:$x={\frac {-2k\pm 2{\sqrt {k^{2}-ac}}}{2a}}$,

а посьле скарочаньня на $2$:

$x={\frac {-k\pm 2{\sqrt {k^{2}-ac}}}{a}}$

ПРЫКЛАД:

У раўнаньні $4x^{2}-12x-27=0$,

а) паводле скарочанай формулы

$x={\frac {6\pm {\sqrt {36+108}}}{4}}={\frac {6\pm {\sqrt {144}}}{4}}={\frac {6\pm 12}{4}}$
$x_{1}={\frac {18}{4}}=4{\frac {1}{2}}$ і $x_{2}={\frac {-6}{4}}=-1{\frac {1}{2}}$

б) паводле-ж агульнай формулы:

$x={\frac {12\pm {\sqrt {144+432}}}{8}}={\frac {12\pm {\sqrt {576}}}{8}}={\frac {12\pm 24}{8}}$ $x_{1}={\frac {36}{8}}=4{\frac {1}{2}}$ і $x_{2}={\frac {-12}{8}}=-1{\frac {1}{2}}$

Сума і здабытак разьвязкаў раўнаньня $ax^{2}+bx+c=0$.

§52. Дадаўшы адпаведнымі бакамі формулы:

$x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ і $x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

атрымоўваем:

$x_{1}+x_{2}={\frac {-2b}{2a}}$,

або:

$x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}$

Памнажаючы-ж памянёныя формулы, маем:

$x_{1}x_{2}={\frac {(-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}})(b-{\sqrt {b^{2}-4ac}})}{4a^{2}}}$ $x_{1}x_{2}={\frac {b^{2}-b^{2}+4ac}{4a^{2}}}={\frac {4ac}{4a^{2}}}$

канчаткова:

$x_{1}\cdot {x}_{2}={\frac {c}{a}}$ Трохчлен другой ступені.

§53. Трохчленам другой ступені, або квадратовым трохчленам, называем трохчлен віду:

$ax^{2}+bx+c=0$,

у якім $x$ ёсьць зьменная велічыня, г. ё. можа прыймаць адвольныя значэньні.

На асаблівую ўвагу заслугоўвае расклад квадратовага трохчлена на сумножнікі. Дзеля гэтае мэты прыраўнаем яго да нуля і вывядзем $a$ за дужкі; атрымаем тады:

$a{\bigg (}x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}{\bigg )}=0$

Хай разьвязкамі раўнаньня

$ax^{2}+bx+c=0$

ёсьць лікі $x_{1}$ і $x_{2}$. Калі мы цяпер, на аснове папярэдняга §, у раўнаньні гэтым заменім

${\frac {b}{a}}$ праз $-{\bigg (}x_{1}+x_{2}{\bigg )}$ і${\frac {c}{a}}$ праз $x_{1}\cdot {x}_{2}$, то атрымаем: $a{\big (}x^{2}+{\frac {b}{a}}+{\frac {c}{a}}{\big )}=a{\big [}x{\big (}x-x_{1}{\big )}-x_{2}{\big (}x-x_{1}{\big )}{\big ]}=$

$=a{\big (}x^{2}-x_{1}x-x_{2}x+x_{1}x_{2}{\big )}=a{\big [}x{\big (}x-x_{1}{\big )}-x_{2}{\big (}x-x_{1}{\big )}{\big ]}=$

$=a{\big (}x-x_{1}{\big )}{\big (}x-x_{2}{\big )}$, ці:$ax^{2}+bx+c=a{\big (}x-x_{1}{\big )}{\big (}x-x_{2}{\big )}$.

Калі цяпер захочам, на основе выведзенай формулы, раскласьці на сумножнікі квадратовы трохчлен

$3x^{2}-20x+12$,

то, прыраўнаўшы яго да нуля, разьвязваем раўнаньне $3x^{2}-20x+12=0$.

А дзеля таго, што разьвязкамі гэтага раўнаньня ёсьць лікі

$x_{1}=6$ і $x_{2}={\frac {2}{3}}$, значыцца$3x^{2}-20x+12=3(x-6)(x-{\frac {2}{3}})$, або$3x^{2}-20x+12=(x-6)(3x-2)$

У падобны спосаб знойдзем:

$10a^{2}+7a+1=10{\big (}a+{\frac {1}{2}}{\big )}{\big (}a+{\frac {1}{5}}{\big )}={\big (}2a+1{\big )}{\big (}5a+1{\big )}$ 3адачы.

Разьвязаць поўныя раўнаньні:

418.	$y^{2}-2{\frac {5}{6}}y+2=0$	419.	$y^{2}-4{\frac {8}{15}}y+4=0$
420.	$y^{2}+8{\frac {1}{9}}y-8=0$	421.	$z^{2}+1,5z+0,56=0$
422.	$z^{2}+1,6z-1,05=0$	423.	$2x^{2}-5x+2=0$
424.	$4x^{2}-17x+15=0$	425.	$6x^{2}+19x-20=0$
426.	$3x^{2}-10x-8=0$	427.	$12x^{2}+160x+125=0$
428.	$3x^{2}-10x+253=0$	429.	$6y^{2}+3{\frac {1}{5}}y-1{\frac {1}{2}}=0$
430.	$0,15z^{2}+0,01z-0,28=0$
431.	$(x+5)^{2}+(x-2)^{2}+(x-7)(x+7)=11x+30$
432.	$4(x+2)^{2}-(3x-1)^{2}+(3x-1)(3x-15)=4(2x-3)$
433.	$a^{2}(a-x)^{2}=b^{2}(b-x)^{2}$	434.	$6y^{2}+3{\frac {1}{5}}y-1{\frac {1}{2}}=0$
435.	$(x+3)(x+1)(x-8)-(x-1)(x-2)(x-3)+216=0$
436.	${\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x}{3}}+7{\frac {3}{8}}=8$	437.	${\frac {x+1}{x-2}}={\frac {3x-7}{x-1}}=0$
438.	${\frac {2x-1}{x-3}}={\frac {5x+2}{x+1}}$	439.	${\frac {x+0,5}{x-0,5}}={\frac {2x+1}{x+2,5}}$
440.	${\frac {x}{4}}+{\frac {2}{x}}+{\frac {(x+1)}{x}}={\frac {(x+2)(x+1)}{2x}}$
442.	${\frac {(x-12)^{2}}{6}}-{\frac {x}{9}}+{\frac {x(x-9)}{18}}={\frac {(x-14)^{2}}{2}}+5$
443.	${\frac {(x-20)(x-10)}{10}}-{\frac {(34-x)(40-x)}{2}}+{\frac {(30-x)(5-x)}{3}}=0$
444.	${\frac {6}{x^{2}-1}}-{\frac {2}{x-1}}=2-{\frac {x+4}{x+1}}$
445.	${\frac {2x+1}{x+3}}-{\frac {x-1}{x^{2}-9}}={\frac {x+3}{3-x}}-{\frac {4+x}{3+x}}$
446.	${\frac {x+1}{x-1}}+{\frac {x+2}{x-2}}-{\frac {2x+13}{x+1}}=0$
447.	${\frac {x^{2}+10x}{x^{4}-1}}+{\frac {4}{x+1}}={\frac {4x^{2}+21}{x^{3}+x^{2}+x+1}}+{\frac {1}{x^{3}-x^{2}+x-1}}$
448.	$a+x={\frac {1}{a}}+{\frac {1}{x}}$	449.	${\frac {x+b}{ax-ab}}-{\frac {x-a}{bx+ab}}={\frac {a+b}{a(a-b)}}$
450.	$x+{\frac {1}{x}}={\frac {a+b}{a-b}}+{\frac {a-b}{a+b}}$	451.	${\frac {(a-x)^{2}+(b-x)^{2}}{(a-x)(b-x)}}={\frac {5}{2}}$

Утварыць квадратовыя раўнаньні, маючы іх разьвязкі:

452.	$1$ і ${\frac {1}{2}}$	453.	${\frac {1}{2}}$ і ${\frac {1}{3}}$
454.	$-{\frac {2}{3}}$ і $-{\frac {3}{2}}$	455.	${\frac {3}{7}}$ і ${\frac {7}{3}}$
456.	$-{\frac {a}{3}}$ і ${\frac {a}{2}}$	457.	${\frac {a-b}{a+b}}$ і $1$

Не разьвязваючы наступных раўнаньняў, знайсьці знакі іх разьвязкаў і паказаць, які з іх мае большае абсолютнае значэньне:

458.	$2x^{2}+5x+2=0$	459.	$6x^{2}-5x-6=0$
460.	$4x^{2}+2x+1=0$	461.	$8x^{2}+4x-1=0$
462.	$3x^{2}-7x+2=0$

Раскласьці наступныя трохчлены на сумножнікі:

463.	$6x^{2}+5x-6$	464.	$30x^{2}+37x+10$
465.	$15x^{2}+34x+15$	466.	$15x^{2}-7x-88$
467.	$4x^{2}-17x+15$	468.	$x^{2}-2ax+a^{2}-b^{2}$
469.	$abx^{2}+(a+b)x+1$	470.	$abx^{2}+(a^{2}-b^{2})x-ab$

Дасьледаваньне агульнага квадратовага раўнаньня віду $ax^{2}+bx+c=0$

§54. Пры разьвязваньні раўнаньня

$ax+bx+c=0,$

мы атрымалі наступную формулу, якая азначае яго разьвязкі:

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

Правая частка гэтай роўнасьці можа быць лікам сапраўдным, ці ўяўным, у залежнасьці ад характару выразу ${\sqrt {b^{2}-4ac}}$

I. Калі ў раўнаньні $ax^{2}+bx+c=0$ выраз $c$ ёсьць адмоўны, то $4ac$ ёсьць дадатны лік, і ўвесь выраз пад корнем прыймае выгляд $b^{2}+4ac$. У гэтым выпадку абодва разьвязкі ёсьць сапраўдныя, вымерныя або нявымерныя, у залежнасьці ад таго, ці $b^{2}+4ac$ ёсьць поўны квадрат, ці не; напрыклад, раўнаньне

$4x^{2}-5x-6=0$

павінна мець абодва разьвязкі сапраўдныя, бо $5^{2}+4\cdot 4\cdot 6$ ёсьць дадатны лік. І праўда, разьвязваючы яго, знойдзем:

$x_{1}=2$ i $x_{2}=-{\frac {3}{4}}$

II. Калі ў раўнаньні $ax^{2}+bx+c=0$ выраз $c$ ёсьць дадатны, то $4ac$ ёсьць адмоўны. Тутака трэба будзе адрозьніваць тры гатункі разьвязкаў, а мянавіта:

1) калі $b^{2}>4ac$, выраз $b^{2}-4ac$ ёсьць дадатны лік, і раўнаньне мае два сапраўдныя розныя разьвязкі, напрыклад, з раўнаньня

$6x^{2}-11x+4=0$, у якім $11^{2}>4\cdot 6\cdot 4$, атрымоўваем:$x_{1}=1{\frac {1}{2}}$, $x_{2}={\frac {1}{2}}$

2) калі $b^{2}=4ac$, то ${\sqrt {b^{2}-4ac}}=0$. У гэтым выпадку разьвязкам раўнаньня будзе сапраўдны вымерны лік, а мянавіта $-{\frac {b}{2a}}$. Аднак-жа, каб уагульніць разьвязваньне раўнаньняў другой ступені, кажам, што раўнаньне гэтае мае два розныя разьвязкі.

Напрыклад, раўнаньне $9x^{2}-6x+1=0$, у якім $6^{2}=4\cdot 9\cdot 1$, мае абодва разьвязкі роўныя, а мянавіта:

$x_{1}=x_{2}={\frac {1}{3}}$

3) калі $b^{2}<4ac$, выраз $b^{2}-4ac$ ёсьць адмоўны. Абодва разьвязкі тады ёсьць уяўныя і твораць лікі комплексныя супрэжаныя.]

Напрыклад, раўнаньне $2x^{2}-8x+17=0$, у якім $8^{2}<4\cdot 2\cdot 17$, мае абодва разьвязкі супрэжаныя комплексныя, а мянавіта:

$x_{1}={\frac {4+3i{\sqrt {2}}}{2}}$ і $x_{2}={\frac {4-3i{\sqrt {2}}}{2}}$

§55. Калі ў раўнаньні $ax^{2}+bx+c=0$ коэфіцыент $a=0$,

то$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}}}}{0}}$

адкуль:$x_{1}={\frac {-b+b}{0}}={\frac {0}{0}}$
і$x_{2}={\frac {-b-b}{0}}={\frac {-2b}{0}}=\infty$

Каб знайсьці гранічнае значэньне разьвязка $x_{1}$, множым лічнік і назоўнік дробу

${\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$на${\big (}-b-{\sqrt {b2-4ac}}{\big )}$

Атрымаем тады:

${\frac {{\big (}-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}{\big )}}{2a{\big (}-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}{\big )}}}={\frac {b^{2}-{\big (}b^{2}-4ac{\big )}}{2a{\big (}-b-{\sqrt {b^{2}-4ac{\big )}}}}}=$
$={\frac {b^{2}-b^{2}+4ac}{2a{\big (}-b-{\sqrt {b^{2}-4ac{\big )}}}}}={\frac {4ac}{2a{\big (}-b-{\sqrt {b^{2}-4ac{\big )}}}}}={\frac {2c}{-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}}=$

Падставіўшы цяпер у атрыманую формулу $0$ на месца $a$, будзем мець

$x_{1}={\frac {2c}{-b-b}}=-{\frac {2c}{2b}}$
адкуль, посьле скарочаньня на $2,x_{1}=-{\frac {c}{b}}$

І праўда, калі $a=0$, то раўнаньне $ax^{2}+bx+c=0$ заменіцца на раўнаньне

$bx+c=0,$
якога разьвязак $x=-{\frac {c}{b}}$

Другі разьвязак $x_{2}=\infty$, даводзіць, што, калі ў раўнаньні

$ax+bx+c=0$

коэфіцыент $a$ паступова зьмяншаецца і ўрэшце робіцца роўным нулю, то адно значэньне $x$ павялічваецца і можа зрабіцца больш за кожную, адвольна выбраную намі, велічыню. Гэта можна давесьці і ў іншы спосаб: падзяліўшы ўсе выразы раўнаньня

$ax^{2}+bx+c=0$ на $x^{2}$,
атрымаем:$a+{\frac {b}{x}}+{\frac {c}{x^{2}}}=0$

Левы бок гэтай роўнасьці толькі тады стане роўны нулю, калі $x$ атрымае бяскрайна-вялікае значэньне.

Калі ў раўнаньні $ax^{2}+bx+c=0$ коэфіцыэнты $a$ і $b$ ёсьць роўныя нулю, то:

$x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}={\frac {0}{0}}$(1)
і$x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}={\frac {0}{0}}$(2)

Памнажаючы ў гэтым выпадку лічнік і назоўнік дробу (1) на $-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}$, а лічнік і назоўнік дробу (2) на $-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}$, атрымаем, посьле упрошчаньня,

$x_{1}={\frac {2c}{-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}}$ і $x_{2}={\frac {2c}{-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}}$

Падставіўшы цяпер $0$ на месца $a$ і $b$, маем:

$x_{1}={\frac {2c}{0}}=\infty$ і $x_{2}={\frac {2c}{0}}=\infty$

Адсюль бачым, што, калі ў агульным раўнаньні коэфіцыенты $a$ і $b$ прыбліжаюцца да нуля, то абодва разьвязкі імкнуцца да бяскрайнасьці.

Задачы.

Не разьвязваючы наступных раўнаньняў, азначыць, якія з іх маюць сапраўдныя, роўныя ці ўяўныя разьвязкі.

471.	$x^{2}+11x+130=0$	472.	$x^{2}+3x-180=0$
473.	$x^{2}-9x+20=0$	474.	$9x^{2}-12x+4=0$

У раўнаньні $ax^{2}+bx+c=0$ падставіць на месца $a,b$ і $c$ такія цэлыя лікі, каб разьвязкі атрыманага раўнаньня былі:

478.сапраўдныя з аднаковымі знакамі;

479.сапраўдныя розныя, абодва дадатныя;

480.сапраўдныя розныя, абодва адмоўныя;

481.уяўныя;

482.роўныя, абодва дадатныя;

483.роўныя, абодва адмоўныя;

484.адзін роўны нулю, другі дадатны;

485.адзін роўны нулю, другі адмоўны;

486.абодва роуныя нулю.

487.Пры якім значэньні $b$ раўнаньне $4x^{2}-6x+25=0$ мае роўныя разьвязкі?

488.Пры якіх дадатных значэньнях $c$ разьвязкі раўнаньня $3x^{2}-18+c=0$ сапраўдныя і пры якіх уяўныя?

Разьвязваньне тэкстовых задач пры помачы квадратовых раўнаньняў.

§56. Агульныя асновы прыстасаваньня квадратовых раўнаньняў да разьвязваньня задач — такія самыя, як і для раўнаньняў першае ступені (§65 ч. 1). Улажыўшы, на аснове ўмоў задачы, раўнаньне і разьвязаўшы яго, можам атрымаць наступныя выпадкі:

1. Абодва разьвязкі раўнаньня — дадатныя.

Задача тады можа мець два разьвязкі^[2] (або адно, калі абодва разьвязкі раўнаньня роўныя паміж сабой).

2. Адзін разьвязак раўнаньня — дадатны, другі — адмоўны.

У залежнасьці ад таго, ці значэньне невядомай можа быць адмоўным ці не, атрымоўваем або два разьвязкі задачы, або адзін, адкідваючы ў другім выпадку адмоўны разьвязак раўнаньня.

3. Уяўныя разьвязкі раўнаньня даводзяць немагчымасьць даных варункаў задачы.

ПРЫКЛАД I.

Купец, прадаўшы гадзіньнік за 24 рублі, страціў столькі процантаў, колькі рублёў сам за яго заплаціў. Колькі заплаціў купец за гадзіньнік?

Разьвязаньне. Хай купец заплаціў за гадзіньнік $x$ рублёў. Адзін процант ад гэтай сумы будзе ${\frac {x}{100}}$ рублёў, значыцца $x$ процантаў будзе ${\frac {x^{2}}{100}}$ рублёў. З тае прычыны, што купец атрымаў за гадзіньнік 24 рублі, значыцца

$x-{\frac {x^{2}}{100}}=24$

Разьвязаўшы гэтае раўнаньне, атрымаем:

$x_{1}=60$ i $x_{2}=40$,

адкуль бачым, што купец заплаціў за гадзіньнік або 60, або 40 рублёў.

ПРЫКЛАД II.

Колькі сшыткаў купіў вучань за 4 рублі, калі колькасьць капеек, заплачаная за кожны сшытак, ёсьць меншая на 9 ад колькасьці ўсіх сшыткаў?

Разьвязаньне. Калі абазначым колькасьць сшыткаў праз $x$, то кожны сшытак будзе каштаваць $(x-9)$ кап., а сума, выданая на куплю ўсіх $x$ сшыткаў, будзе $(x-9)x$ кап.

З прычыны таго, што за ўсе сшыткі выдана 400 капеек, дык

$(x-9)x=400$.

Разьвязаўшы гэтае раўнаньне, атрымоўваем:

$x_{1}=25,x_{2}=-16$

З прычыны таго, што колькасьць сшыткаў можа быць толькі дадатная, дык другі разьвязак раўнаньня, які не адказвае варункам задачы, адкідваем.

ПРЫКЛАД III.

Калі квадрат пэўнага ліку падзелім на $12$ і да рэзультату дадамо адну трэцюю гэтага ліку, то атрымаем $5.$ Знайсьці гэты лік.

Разьвязаньне. Абазначыўшы шуканы лік праз $x$, укладаем раўнаньне:

${\frac {x^{2}}{12}}+{\frac {x}{3}}=5$

Разьвязаўшы яго, будзем мець:

$x_{1}=6,x_{2}=-10$

А значыцца, варункі задачы здавальняюцца двома лікамі: адным дадатным і другім адмоўным.

ПРЫКЛАД IV.

Падзяліць $20$ на дзьве часткі так, каб іх здабытак быў роўны $109.$

Разьвязаньне. Улажыўшы з даных варункаў задачы раўнаньне

$x(20-x)=109,$

атрымоўваем:

$x_{12}=10\pm 3i$

Уяўныя разьвязкі раўнаньня паказваюць, што здабытак дзьвёх частак ліку $20$ ня можа быць роўным $109.$ І праўда, лёгка можам пераканацца, што найбольшы здабытак дзьвёх частак, на якія раскладаецца лік, бывае тады, калі абедзьве часткі — роўныя паміж сабой. А значыцца, наш здабытак ня можа быць большым за $100.$

ПРЫКЛАД V.

Два батракі, з якіх адзін працаваў на $a$ $(=8)$ дзён больш за другога, атрымалі па $b$ $(=96)$ рублёў. Калі-б першы працаваў столькі дзён, колькі другі, а другі столькі, колькі першы, дык яны атрымалі-б разам $c$ $(=200)$ рублёў. Колькі дзён працаваў кожны батрак?

Разьвязаньне. Разьвяжам спачатку гэтую задачу у агульным відзе. Абазначым колькасьць дзён працы першага батрака праз $x$, а другога праз $(x+a)$. У другім-жа выпадку адпаведна праз: $(x+a)$ i $x$. Штодзённая плата тады для першага батрака будзе: ${\frac {b}{x}}$, для другога: ${\frac {b}{x+a}}$. Адсюль можам улажыць раўнаньне:

${\frac {b}{x}}(x+a)+{\frac {b}{x+a}}x=c$.

Упросьцім яго:

$b(x+a)^{2}+bx^{2}=cx(x+a),$

$bx^{2}+2abx+ba^{2}+bx^{2}=cx^{2}+acx,$

$(c-2b)x^{2}+a(c-2b)x-ba^{2}=0,$

$x^{2}+ax-{\frac {ba^{2}}{c-2b}}=0$

Адсюль:

$x=-{\frac {a}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {a^{2}}{4}}+{\frac {ba^{2}}{c-2b}}}}=-{\frac {a}{2}}\pm {\frac {a}{2}}{\sqrt {\frac {c-2b+4b}{c-2b}}}=$

$={\frac {a}{2}}{\bigg (}-1\pm {\sqrt {\frac {c+2b}{c-2b}}}{\bigg )}$

Падставіўшы цяпер лікавыя значэньні $a,b$ і $c$, атрымаем:

$x_{1}={\frac {a}{2}}{\bigg (}-1+{\sqrt {\frac {c+2b}{c-2b}}}{\bigg )}={\frac {8}{2}}\cdot {\bigg (}-1+{\sqrt {\frac {200+2\cdot 96}{200-2\cdot 96}}}{\bigg )}=4\cdot (-1+7)=24$ дні

$x_{2}=4\cdot (-1-7)-32$

Другі разьвязак, які ёсьць адмоўны і ня мае значэньня ў задачы, адкідваем.

Дасьледаваньне. Магчымасьць сапраўдных разьвязкаў патрабуе, каб даныя лікі $b$ і $c$, з прыроды рэчаў дадатныя, здавальнялі-б апрача таго варунак:

$c-2b>0,$

адкуль: $c>2b$, а гэта значыць, што сума $(c)$, якую зарабілі абодва батракі ў другім выпадку, ня можа быць менш, або роўнай папярэдняй суме $(2b)$.

З будовы самага квадратовага раўнаньня бачым, што, пры варунку $c>2b$, вядомы выраз ${\bigg (}-{\frac {ba^{2}}{c-2b}}{\bigg )}$ ёсьць адмоўны; значыцца разьвязкі раўнаньня маюць розныя знакі, а адмоўны разьвязак павінен быць адкінуты, як не адказваючы задачы.

Трэба яшчэ заўважыць, што ў крытычным выпадку, калі $c=2b,x=\infty ;$ гэта значыць, што толькі тады сума заробленых батракамі грошай могла бы быць у абодвух выпадках аднаковая, калі-б батракі працавалі бяскрайна-вялікі час, атрымоўваючы за сваю працу бяскрайна-малую плату.

${\Big (}{\frac {b}{x}}={\frac {b}{x+a}}={\frac {b}{\infty }}=0{\Big )}$.

3адачы.

489. Здабытак двох лікаў ёсьць $72$, а дзель іх $2$. Знайсьці гэтыя лікі.

490. Знайсьці лік, большы ад свайго квадрату на ${\frac {1}{4}}$.

491. Сума двох лікаў ёсьць роўная $15$, а сума іх квадратаў $113$. Знайсьці гэтыя лікі.

492. Сума двох лікаў ёсьць роўная $6$, а сума іх кубаў ёсьць у $6$ разоў большая ад розьніцы іх квадратаў. Знайсьці гэтыя лікі.

493. Сума квадратаў двох пасьледаўных цотных лікаў ёсьць $52$. Знайсьці гэтыя лікі.

494. Сума катэтаў простакутнага трыкутніка ёсьць роўная $17$ мэтрам, проціпростакутная $=13$ м. Знайсьці катэты.

495. Плошча простакутнага агароду мае $520$ кв. мэтраў; даўжыня яго на $6$ м. больш за шырыню. Знайсьці даўжыню і шырыню агароду.

496. Прадалі некалька кілёграмаў тавару, за $120$ рублёў; цана кілёграма (у рублёх) на $2$ менш за лік кілёграмаў. Колькі кілёграмаў прадалі?

497. На $1$ р. $30$ к. купілі некалька грамаў тавару двух гатункаў, прычым другога на $2$ больш, чым першага. За грам кожнага тавару плацілі столькі капеек, колькі было куплена грамаў гэтага тавару. Колькі купілі грамаў кожнага гатунку?

498. Нанялі двух наймітаў за розную плату. Першы працаваў на $5$ дзён больш за другога і атрымаў $80$ рублёў, а другі зарабіў $45$ рублёў. Калі-б першы атрымоўваў плату за кожны дзень такую, як другі, а другі — такую, як першы, дык яны-б атрымалі роўныя сумы. Колькі кожны з іх зарабляў штодзень?

499. Ці магчымы такі простакутны трыкутнік, у якога бакі выражаюцца трома пасьледаўнымі цотнымі лікамі?

500. Некалькі асоб павінны былі заплаціць пароўну, усяго $72$ рублі. Каб іх было на $3$ менш, то кожны павінен быў-бы заплаціць на $4$ рублі больш. Колькі было ўсяго асоб?

501. На роўніцы знаходзіцца некалькі пунктаў, прычым праз кожную пару пунктаў праходзіць асобная простая лінія. Усіх такіх ліній $10$. Колькі пунктаў?

502. Два кашы віна рознага гатунку, з якіх першы зьмяшчае на $10$ бутэлек больш, чым другі, — каштуюць $120$ і $75$ рублёў. Калі-б у першым было на $4$ бут. менш, а ў другім на $10$ бут. больш, то яны-б разам каштавалі $208$ рублёў. Колькі бутэлек у кожным кашы?

503. Басэйн напаўняецца дзьвёма трубамі ў $6$ гадз. Адна першая труба напаўняе яго на $5$ гадз. хутчэй, чымся адна другая. У які час кожная труба, працуючы асобна, можа напоўніць басэйн?

504. Купец, прадаўшы гадзіньнік за $39$ рублёў, атрымаў столькі процантаў зыску, колькі рублёў яму самому каштаваў гадзіньнік. Колькі купец сам заплаціў за гадзіньнік?

505. Ці магчымы такі многакутнік, у якім было-б усяго $10$ дыягоналяў?

506. Купілі тавару двух гатункаў, першага на $156$ рублёў, другога на $210$ руб. Другога гатунку на $3$ кілёграмы больш, чымся першага, і каштуе ён за кілёграм на $1$ рубель больш. Колькі купілі кожнага гатунку?

507. У бочцы знаходзіцца $80$ літраў віна. У першы раз выліваюць з яе пэўную колькасьць літраў віна і дапаўняюць бочку вадой; ізноў выліваюць з бочкі такую самую колькасьць мешаніны і даліваюць столькі-ж вады, посьле чаго ў бочцы засталося толькі $45$ літраў чыстага віна. Колькі літраў вылівалі кожны раз?

508. Два капіталы, роўныя ў суме $11000$ рубл., паложаны ў банк; першы дае што-год $360$ рублёў зыску, другі — $250$ р. Калі-б перамяніць іх процантныя таксы, то капіталы давалі-б роўныя зыскі. Якія гэта капіталы?

509. Супольны капітал двох прадпрыемстваў ёсьць роўны $14000$ р. Капітал першага быў у абароце $16$ месяцаў, а другога — $20$ месяцаў. Посьле гэтых тэрмінаў капітал першага, разам з зыскам, стаў роўным $10400$ р., а другога — $8250$ р. Знайсьці пачатковы капітал кожнага прадпрыемства.

510. Знайсьці лік, якога квадрат, разам з кубам, ёсьць роўны дзевяціразаваму наступнаму ліку.

511. Дзьве асобы адначасна выяжджаюць з аднаго месца ў другое. Першая робіць у гадзіну на адзін кілёмэтр больш за другую і прыяжджае на $1$ гадз. раней. Адлегласьць паміж месцамі $56$ кілём. Колькі кілёмэтраў робіць кожная асоба ў гадзіну?

512. Цягнік выяжджае з $A$ да $B$, адлеглых на $216$ кілём. а 2-гой гадзіне раніцы. А $5^{1}/_{2}$ гадзіне раніцы выяжджае з $A$ у гэтым самым кірунку другі цягнік, які робіць у гадзіну на $4$ кілём. больш, чымся першы, і прыяжджае ў $B$ на $1$ гадз. раней. А якой гадзіне кожны цягнік прыехаў да $B$?

513. Наняты два найміты па рознай цане. Першы атрымаў $48$ рубл., а другі, які працаваў на $6$ дзён менш за першага, атрымаў $27$ рублёў; калі-б першы працаваў столькі дзён, колькі другі, а другі столькі, колькі першы, — то яны-б атрымалі пароўну. Колькі дзён працаваў кожны?

514. Два цягнікі выяжджаюць з мест $A$ і $B$, адлеглых на $560$ кілём. і едуць насустрэчу. Каб яны спаткаліся на палове дарогі, трэба каб цягнік з $B$ выехаў на $1^{3}/_{4}$ гадз. раней. Калі-ж яны выедуць адначасна, то, посьле $7$ гадзін, адлегласьць паміж імі будзе толькі $=0,1$ пачатковай адлегласьці. Колькі часу патрэбна для кожнага цягніка, каб праехаць ад $A$ да $B$?

515. Нанялі двух наймітаў на адзін і той самы тэрмін, але па рознай цане. Першы скончыў працу на $1$ дзень раней тэрміну і атрымаў $18$ руб., другі скончыў працу на $3$ дні раней тэрміну і атрымаў $21$ рубель. Калі-б першы працаваў столькі дзён, колькі другі, а другі столькі, колькі першы, дык другі атрымаў-бы на $13$ рублёў больш, чымся першы. На які тэрмін былі наняты найміты?

516. Кур‘ер выяжджае з места $A$ і павінен прыехаць у $B$ праз $5$ гадз. У той самы час другі кур‘ер выяжджае з $C$ і, каб прыехаць у $B$ адначасна з першым, павінен рабіць кожны кілёмэтр на $1{\frac {1}{4}}$ мінуты хутчэй, чымся першы. Адлегласьць ад $C$ да $B$ на $20$ кілём. больш за адлегласьць ад $A$ да $B$. Знайсьці гэтую апошнюю?

517. Воз праехаў $54$ мэтры, прычым пярэдняе кола зрабіла на $9$ абаротаў больш, чымся задняе. Калі-б павялічыць акружыну кожнага кола на $3$ дэцымэтры, то пярэдняе кола на гэтай самай адлегласьці зрабіла-б толькі на $6$ абаротаў больш, чымся задняе. Якая акружына кожнага кола?

518. Двое падарожных выяжджаюць адначасна з аднаго месца: адзін на поўдзень, другі на ўсход. Першы што-дзень робіць $30$ кілём., другі — $40$ кілём. Праз колькі дзён адлегласьць паміж імі будзе роўная $250$ кілём.?

519. У банак палажылі капітал і праз год атрымалі $120$ рублёў зыску; капітал разам з зыскам быў пакінуты ў банку яшчэ на $1$ год. Посьле гэтага капітал, разам з наросшымі процантамі, стаў роўным $2646$ рублям. Які быў капітал спачатку?

520. Праз першы кран вада напаўняе басэйн на $9$ мінут даўжэй, чымся праз другі кран яна выліваецца. Калі-ж адначасна пусьціць у работу абодва краны, то з поўнага басейну ўся вада выльлецца у $70$ минут. На працягу якога часу першы кран напоўніць вадою пусты басэйн?

521. Дзьве асобы ідуць насустрэчу з двух месц $A$ і $B$. Пры спатканьні выявілася, што першы прайшоў на $6$ кілём. больш за другога. Посьле гэтага яны ідуць далей, і першы прыходзіць у $B$ праз $4$ гадзіны, а другі ў $A$ праз $9$ гадз. посьле іх спатканьня. Знайсьці адлегласьць паміж $A$ і $B$.

522. Два краны, працуючы адначасна, могуць напоўніць басэйн у $26^{1}/_{4}$ гадз. Калі-ж яны будуць працаваць паасобку, то большы кран напоўніць басейн на $18$ гадз. хутчэй, чымся меншы. На працягу якога часу можа напоўніць басэйн кожны кран паасобку?

523. Калі-б тры найміты капалі роў паасобку, то першы капаў-бы яго на $6$ дзён больш, другі на $30$ дзён больш, а трэці ў тры разы больш, чымся калі-б яны ўсе працавалі разам. На працягу якога часу выкапаюць роў усе тры найміты супольнымі сіламі?

---

1. Агульнае разьвязаньне квадр. раўнаньняў было дадзена ў першы раз індыйскім матэматыкам Брахмагуптай у 7-м веку.
2. Але можа ня мець і ніводнага, калі атрыманыя разьвязкі не адказваюць варункам задачы (напрыклад, калі разьвязак задачы павінен быць цэлым, а знойдзеныя разьвязкі раўнаньня — дробавыя і г.д).