Элемэнтарная альгэбра (1922―1924). Частка II/II

← Функцыі і іх графічнае прадстаўленьне

Ступені і корні Падручнік Аўтар: Аляксандр Круталевіч 1924 год

Раўнаньні другой ступені →

Прапануем да спампаваньня!

II.

Ступені і корні.

---

Падняцьце ў ступень адначленаў.

§6. Ступеньню называем здабытак роўных сумножнікаў, напрыклад, здабытак

$2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16$

ёсьць чацьвёртая ступень ліку $2$;

здабытак:

${\dfrac {1}{4}}\cdot {\dfrac {1}{4}}\cdot {\dfrac {1}{4}}={\dfrac {1}{64}}$

ёсьць трэцяя ступень ліку ${\dfrac {1}{4}}$;

здабытак:

$n$ разоў

$a\cdot {a}\cdot {a}\cdot {a}=a^{n}$

ёсьць $n$-ая ступень ліку $a$ і г. д.

Дзеяньне, пры помачы якога атрымоўваем ступені, называецца падняцьцем у ступень.

З вядомых нам правілаў аб знаках пры множаньні вынікае, што:

1) кожная ступень дадатнага ліку — ёсьць велічыня дадатная, бо пры падняцьці ў ступень дадатнага ліку $a$ ўсе сумножнікі будуць дадатныя;

2) цотная ступень адмоўнага ліку ёсьць велічыня дадатная, а няцотная ступень адмоўнага ліку ёсьць велічыня адмоўная.

І праўда, падносячы $-a$ у другую, трэцюю і г. д. ступені, будзем атрымліваць:

$(-a)\cdot (-a)$	$=a^{2}$
$(-a)\cdot (-a)\cdot (-a)$	$=a^{2}\cdot (-a)=-a^{3}$
$(-a)\cdot (-a)\cdot (-a)\cdot (-a)$	$=-a^{3}\cdot (-a)=a^{4}$
$(-a)\cdot (-a)\cdot (-a)\cdot (-a)\cdot (-a)$	$=a^{4}\cdot (-a)=-a^{5}$ і г. д.

Наогул, $(-a)^{n}$ пры $n$ цотным ёсьць велічыня дадатная, а пры $n$ няцотным — адмоўная.

§7. Калі хочам $a^{n}$ падняць у новую ступень $p$, то трэба $a^{n}$ паўтарыць сумножнікам $p$ разоў, тады атрымаем:

$p$ разоў$p$ разоў

$a^{n}\cdot {a}^{n}\cdot {a}^{n}......=a^{n+n+n+....}=a^{np}$,

адсюль вынікае, што $(a^{n})^{p}=a^{np}$,

г. ё.:

Каб ступень падняць у новую ступень, трэба паказальнік данай ступені памножыць на паказальнік новай ступені, застасоўваючы пры гэтым правіла знакаў.

На гэтай падставе:

$(a^{2})^{5}=a^{10}$,

$(-a^{3})^{4}=a^{12}$,

${\big (}a^{\tfrac {3}{4}}{\big )}^{16}=a^{-12}={\dfrac {1}{a^{12}}}$

Калі хочам падняць здабытак 3ab у 3-ю ступень, — паўтараем яго сумножнікам 3 разы; атрымаем:

$(3ab)^{3}$=$3ab\cdot 3ab\cdot 3ab$=$3\cdot 3\cdot 3\cdot {a}\cdot {a}\cdot {a}\cdot {b}\cdot {b}\cdot {b}$=$27a^{3}b^{3}.$

Паносячы гэты самы здабытак у агульную ступень $n$, атрымаем:

	$n$ разоў		$n$ разоў	$n$ разоў	$n$ разоў
$(3ab)^{n}$=	$3ab\cdot 3ab\cdot 3ab$	...=	$3\cdot 3\cdot 3$.......	$a\cdot {a}\cdot {a}$.......	$b\cdot {b}\cdot {b}$.......	=$3^{n}a^{n}b^{n}$,

значыцца

$(3ab)^{n}$=$3^{n}a^{n}b^{n}$

Адсюль вынікае:

Каб падняць у ступень здабытак, трэба падняць у ступень кожны сумножнік.

Злучыўшы вышэй дадзеныя два правілы, можам сказаць:

Каб падняць адначлен у ступень, трэба падняць у гэтую ступень лікавы коэфіцыент, а паказальнікі паасобных літар памножыць на паказальнік ступені, у якую падносім адначлен, застасоўваючы пры гэтым правіла знакаў.

На гэтай аснове:

$(2a^{3}b^{4})^{5}=32a^{15}b^{20}$
$(7a^{5}m^{b}x^{3})^{p}=7^{p}a^{5p}m^{bp}x^{3p}$.

Каб падняць у ступень дробавы выраз, трэба падняць у гэтую ступень лічнік і назоўнік дробу (бо, памнажаючы дробы, мы дзелім здабытак іх лічнікаў на здабытак іх назоўнікаў):

${\bigg (}{\dfrac {4a^{3}b^{5}}{5m}}{\bigg )}^{3}={\dfrac {64a^{9}b^{15}}{125m^{3}}}$
${\bigg (}{\dfrac {0,2c^{4}}{3a^{2}b}}{\bigg )}^{n}={\dfrac {0,2^{n}c^{4n}}{3^{n}a^{2n}b^{n}}}$

Падняцьце многачленаў у квадрат.

§ 8. Карыстаючыся формулай $(a$±$b)^{2}$=$a^{2}$±$2ab+b^{2}$, можам вывесьці агульны спосаб падняцьця ў квадрат адвольных многачленаў.

Дзеля гэтага, напішам трохчлен $a+b+c$ у форме $(a+b)+c$ і, уважаючы яго за суму двох складнікоў, паднясём у квадрат:

$(a+b+c)^{2}=[(a+b)+c]^{2}=(a+b)^{2}+2(a+b)c+c^{2}$, адкуль: $(a+b+c)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}+2(a+b)c+c^{2}$.

Падносячы чатырохчлен $a+b+c+d$ у квадрат, раскладаем яго ў падобны спосаб на суму складнікоў $a+b+c$ i $d$, тады:

$(a+b+c+d)^{2}=[(a+b+c)+d]^{2}=(a+b+c)^{2}+2(a+b+c)d+d^{2},$

адкуль:

$(a+b+c+d)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}+2(a+b)c+c^{2}+2(a+b+c)d+d^{2}.$

Бяручы потым квадрат сумы пяцёх, шасьцёх і г. д. выразаў, лёгка заўважым, што правы бок з кожным разам будзе зьмяшчаць больш на два выразы, з якіх першы будзе падвойным здабыткам усіх папярэдніх членаў на новы член, а другі — квадрат новага члена. — Адсюль робім вывад, што закон гэты ёсьць агульны для адвольнага ліку членаў многачлена, і дзеля гэтага можам сказаць:

квадрат многачлена ёсьць роўны квадрату першага члена, плюс падвойны здабытак першага на другі, плюс квадрат другога члена, плюс падвойны здабытак сумы першых двох членаў на трэці, плюс квадрат трэцяга, плюс падвойны здабытак сумы першых трох членаў на чацьверты, плюс квадрат чацьвертага, і г. д.

§ 9. Калі ў выразе

$(a+b+c)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}+2(a+b)c+c^{2}$

расчынім дужкі і квадраты паасобных членаў напішам спачатку, дык атрымаем:

$(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc$.

У падобны спосаб знойдзем:

$(a+b+c+d)^{2}$$=$$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+cd.$

І наогул:

$(a+b+c+d+$…$)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+$…$+2ab+2ac+2ad+$…$+2bc+2bd+$…$+2cd+$…

Гэта ёсьць другая формула, якая выражае квадрат многачлену.

Словамі яе можна выказаць так:

квадрат многачлена ёсьць роўны суме квадратаў паасобных яго членаў, плюс альгэбрычная сума падвойных здабыткаў гэтых членаў, узятых па два.

У вышэй дадзеным правіле кажам: „альгэбрычная сума“, бо, калі некаторыя члены будуць адмоўныя, дык знак пры адпаведных падвойных здабытках зьменіцца на адмоўны, напрыклад:

$(a-b-c+d)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}-2ab-2ac+2ad+2bc-2bd-2cd$

Задачы.

34.	$(2a^{3})^{4}$	35.	$(2a^{5}b^{n})^{m}$
36.	${\bigg (}{\dfrac {2a}{bc}}{\bigg )}^{4}$	37.	${\bigg (}{\dfrac {4a^{2}c^{5}}{5b^{3}}}{\bigg )}^{3}$
38.	${\bigg (}{\dfrac {3}{4}}c^{7}d^{2}l{\bigg )}^{4}$	39.	${\bigg (}-1{\dfrac {1}{2}}a^{2}b^{m-1}{\bigg )}^{4}$
42.	${\bigg (}-{\dfrac {2}{3}}a^{2}b^{-1}c^{3}d^{-3}{\bigg )}^{-2}$	43.	${\bigg [}{\bigg (}{\dfrac {a^{2}b^{3}}{c^{3}d^{-2}}}{\bigg )}^{-1}{\bigg ]}^{-m}$
44.	${\bigg (}{\dfrac {a^{2}b^{-2}}{3cd^{-3}}}{\bigg )}^{3}\cdot {\bigg (}{\dfrac {3b^{3}c^{-2}}{a^{5}d}}{\bigg )}^{2}$	45.	$(a+b-c)^{2}$
46.	$(a^{4}+a^{2}-1)^{2}$	47.	$(3a^{2}-2ab-b^{2})^{2}$
48.	$(5x^{2}-7x+3)^{2}$	49.	${\bigg (}{\dfrac {x^{2}}{2}}+x+1{\bigg )}^{2}$
50.	$(a^{3}+a^{2}+a+1)^{2}$	51.	$(3a^{3x}+2a^{2x}+a^{x}+1)^{2}$
52.	${\bigg (}x^{4}-{\dfrac {3}{2}}a^{2}b-{\dfrac {3}{4}}ab^{2}-{\dfrac {1}{8}}b^{3}{\bigg )}^{2}$
53.	$(x^{4}-2x^{3}+2x+1)^{2}$	54.	${\bigg (}{\dfrac {x^{3}}{6}}+{\dfrac {x^{2}}{2}}+x+1)^{2}$

Дабываньне корня з адначленаў.

§10. Корнем^[1] данага ліку называем новы лік, які трэба падняць у ступень паказальніка корня, каб атрымаць даны лік, напрыклад:

${\sqrt[{5}]{32}}=2$, бо $2^{5}=82$,

${\sqrt[{3}]{\dfrac {8}{125}}}={\dfrac {2}{5}}$, бо ${\bigg (}{\dfrac {2}{5}}{\bigg )}^{3}={\dfrac {8}{125}}$.

На аснове §6, вывядзем наступныя правілы знакаў пры дабываньні корня з адначленаў:

1) корань няцотнае ступені мае той самы знак, што й дадзены лік, напрыклад:

${\sqrt[{3}]{27}}=3$, бо $3^{3}=27$,

${\sqrt[{3}]{-27}}=-3$, бо $(-3)^{3}=-27$,

${\sqrt[{7}]{-a^{7}}}=-a$

2) корань цотнае ступені з дадатнага ліку мае два значэньні: адно — дадатнае, другое — адмоўнае, напрыклад:

${\sqrt {4}}=2$ і ${\sqrt {4}}=-2$,

бо й$2\cdot 2=4$ і $(-2)\cdot (-2)=4$,

${\sqrt {a^{2}}}=a$ і ${\sqrt {a^{2}}}=-a$,

бо й$a\cdot {a}=a^{2}$ і $(-a)\cdot (-a)=a^{2}$.

Каб паказаць, што корань цотнае ступені мае два значэньні, якія розьняцца знакамі, пішуць звычайна перад корнем падвойны знак $\pm$; значыцца:

${\sqrt {4}}=\pm 2$, ${\sqrt {a^{2}}}=\pm {a}$.

Часта, пры дабываньні корняў з лікаў, галоўным чынам нас цікавіць атрыманьне лікавага значэньня корня, незалежна ад знаку; тады знаку перад корнем ня пішам і называем яго ў гэтым выпадку арытмэтычным корнем.

3) корань цотнае ступені з адмоўнага ліку ёсьць выраз немагчымы, з тае прычыны, што, падносячы кожную велічыню (як дадатную, так і адмоўную) у цотную ступень, заўсёды атрымаем дадатны лік. Дзякуючы гэтаму, корань цотнае ступені з адмоўнага ліку называем уяўным лікам; так, напрыклад:

${\sqrt {-4}}$, ${\sqrt[{4}]{-27a^{3}}}$

ёсьць уяўныя лікі.

§11. Корань здабытку ёсьць роўны здабытку корняў з кожнага сумножніка.

Довад. — Хай трэба дабыць корань $n$-ае ступені з здабытку $abc$. Маем давесьці, што

${\sqrt[{n}]{abc}}={\sqrt[{n}]{a}}\cdot {\sqrt[{n}]{b}}\cdot {\sqrt[{n}]{c}}$.

Паднясём абодва бакі гэтай роўнасьці ў $n$-ую ступень:

${\big (}{\sqrt[{n}]{abc}}{\big )}^{n}={\big (}{\sqrt[{n}]{a}}\cdot {\sqrt[{n}]{b}}\cdot {\sqrt[{n}]{c}}{\big )}^{n}$.

Але ${\big (}{\sqrt[{n}]{abc}}{\big )}^{n}=abc$,

a ${\big (}{\sqrt[{n}]{a}}\cdot {\sqrt[{n}]{b}}\cdot {\sqrt[{n}]{c}}{\big )}^{n}={\big (}{\sqrt[{n}]{a}}{\big )}^{n}\cdot {\big (}{\sqrt[{n}]{b}}{\big )}^{n}\cdot {\big (}{\sqrt[{n}]{c}}{\big )}^{n}=abc$

Правыя бакі апошніх дзьвёх роўнасьцяў роўныя паміж сабой; адсюль вынікае, што й

${\sqrt[{n}]{abc}}={\sqrt[{n}]{a}}\cdot {\sqrt[{n}]{b}}\cdot {\sqrt[{n}]{c}}$.

Каб дабыць корань са ступені, трэба паказальнік ступені падзяліць на паказальнік корня.

Гэтае правіла вынікае з самага азначэньня корня (§10). І праўда:

${\sqrt[{n}]{a^{6}}}=\pm {a}^{3}$, бо $(\pm {a^{3}})^{2}=a^{6}$, ${\sqrt[{p}]{a^{mp}}}=a^{m}$, бо $(a^{m})^{p}=a^{mp}$.

Каб дабыць корань з дробу, трэба дабыць корань асобна з лічніка й асобна з назоўніка, г. ё.

${\sqrt[{n}]{\dfrac {a}{b}}}={\dfrac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}$

Каб давесьці правільнасьць гэтае формулы, паднясём абодва яе бакі ў $n$-ую ступень:

${\bigg (}{\sqrt[{n}]{\dfrac {a}{b}}}{\bigg )}^{n}={\bigg (}{\dfrac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}{\bigg )}^{n}$ Левы бок ${\bigg (}{\sqrt[{n}]{\dfrac {a}{b}}}{\bigg )}^{n}={\dfrac {a}{b}}$

а правы, як ступень дробу: ${\bigg (}{\dfrac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}{\bigg )}^{n}={\dfrac {{\big (}{\sqrt[{n}]{a}}{\big )}^{n}}{{\big (}{\sqrt[{n}]{b}}{\big )}^{n}}}={\dfrac {a}{b}};$

адкуль ${\sqrt[{n}]{\dfrac {a}{b}}}={\dfrac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}$ што й трэба было давесьці.

На аснове дадзеных довадаў, можам сказаць: каб дабыць корань з адначлену, трэба дабыць корань з яго лікавых коэфіцыентаў, а паказальнікі паасобных літар падзяліць на паказальнік корня.

ПРЫКЛАДЫ:

${\sqrt {36a^{8}b^{4}c^{6p}}}=\pm 6a^{4}b^{2}c^{3p}$

${\sqrt[{3}]{-125a^{3}b^{12m}}}=-6a^{4}b^{2}c^{3p}$

${\sqrt[{4}]{\dfrac {16a^{12}b^{4-8p}}{81c^{8}}}}=\pm {\dfrac {2a^{3}b^{1-2p}}{3c^{2}}}$

Задачы.

55.	${\sqrt {2^{2}}}+{\sqrt[{3}]{3^{3}}}+{\sqrt[{4}]{5^{4}}}$	56.	${\sqrt[{6}]{2^{12}}}$
57.	${\sqrt[{4}]{3^{8}}}$	58.	${\sqrt[{3}]{8\cdot 3^{3}}}$
59.	${\sqrt[{n}]{a^{3n}}}$	60.	${\sqrt {\dfrac {a^{4}}{9}}}$
61.	${\sqrt[{4}]{a^{16}b^{8}c^{4}}}$	62.	${\sqrt[{-3}]{27}}$
63.	${\sqrt[{3}]{a^{-6}}}$	64.	${\sqrt {6{\dfrac {1}{4}}a^{6}c^{4m}}}$
65.${\sqrt[{3}]{0,027a^{6n-3}b^{18}c^{-6}}}$
66.	${\sqrt {\dfrac {4^{-1}a^{4}b^{-6}}{9^{-1}c^{8}d^{-2}}}}$	67.	${\sqrt[{-2}]{\dfrac {a^{2}b^{2n-6}c^{-2n}}{4d^{-6}l^{-4n+2}}}}$
68.$2ab^{2}{\sqrt {2a^{3}bc^{2}{\sqrt[{3}]{8a^{3}b^{9}c^{6}}}}}$
69.${\sqrt {(a+bc)^{2}}}-{\sqrt {2b^{2}}}+{\sqrt {(a-b)^{2}}}$
70.${\sqrt {a^{2}+2ab+b^{2}}}-{\sqrt {4b^{2}}}+{\sqrt {a^{2}-2ab+b^{2}}}$
71.$2a{\sqrt {9a^{2}-12ab+4b^{2}}}-3b{\sqrt {4a^{2}+12ab+9b^{2}}}$

Дабываньне арытмэтычнага квадратовага корня з лікаў.

§12. Каб вывесьці правіла дабываньня квадратовага корня з лікаў, разгледзім рад наступных лікаў і іх квадратаў:

$1^{2}$	$=1$
$10^{2}$	$=100$
$100^{2}$	$=10000$
$1000^{2}$	$=1000000$ і г. д.

3 раду гэтага бачым, што квадраты адназнакавых лікаў знаходзяцца паміж 1 і 100, а, значыцца, корань квадратовы з адна-ці двохзнакавых лікаў заўсёды будзе (у сваёй цэлай частцы) — адназнакавы лік. Далей бачым, што корань з трох-ці чатырохзнакавага ліку (ад 100 да 10000) ёсьць лік двохзнакавы (ад 10 да 100) і г. д. Наогул, квадратовы корань зьмяшчае цыфр два разы менш, чымся падкарэнны лік (у падкарэнным ліку, маючым няцотную колькасьць цыфр, павялічваем іх на адзінку).

Выходзячы з гэтага правіла, пры дабываньні корня з лікаў, раней за ўсё азначаем колькасьць цыфр корня. Дзеля гэтае мэты дзелім лік пад корнем на грані па дзьве цыфры ад правай рукі к левай; апошняя грань можа зьмяшчаць адну цыфру. Колькасьць граняў пакажа нам колькасьць цыфр корня.

Квадратовыя корні з адназнакавых і двохзнакавых лікаў знаходзім беспасрэдна з таблічкі квадратаў адназнакавых лікаў:

$1^{2}=1$	$4^{2}=16$	$7^{2}=49$
$2^{2}=4$	$5^{2}=25$	$8^{2}=64$
$3^{2}=9$	$6^{2}=36$	$9^{2}=81$

Калі лік, з якога дабываем квадратовы корань, зьмяшчаецца ў данай таблічцы з правага боку знака роўнасьці, то корань можам дабыць дакладна, напрыклад:

${\sqrt {49}}=7$, ${\sqrt {81}}=9$ і г. д.

Калі-ж падкарэнны лік не знаходзіцца ў табліцы, дык дабыць з яго корань ня можам дакладна, а толькі з меншым, ці большым прыбліжэньнем, напрыклад:

${\sqrt {72}}$ ёсьць больш за $8$, але менш за $9$ на пэўную частку адзінкі. Можам, значыцца, сказаць, што ${\sqrt {72}}$ з прыбліжэньнем да $1$ ёсьць роўны $8$ з недахватам, ці $9$ з перавышкай.

Корань, які нельга дакладна выразіць цэлым або дробавым лікам, называецца нявымернай велічынёй. Аб уласьцівасьцях нявымерных велічын, скажам у наступным аддзеле.

Калі лік складаецца больш, чымся з дзьвёх цыфр, то яго квадратовы корань будзе зьмяшчаць адзінкі, дзесяткі, сотні і г. д., у залежнасьці ад колькасьці граняў, на якія лік гэты даўся падзяліцца.

Каб лягчэй зразумець дабываньне квадратовага корня з лікаў, будзем лічыць кожны корань, пачынаючы ад двохзнакавага, за лік, які складаецца толькі з адзінак і дзесяткаў; напрыклад, калі корнем будзе лік $576$, то скажам, што ён складаецца з $57$ дзесяткаў і $6$ адзінак.

Дабываньне квадратовых корняў з лікаў грунтуецца на формуле квадрата сумы двох лікаў, у якой першым выразам будзе лік дзесяткаў данага корня, а другім — лік адзінак.

Дзякуючы гэтаму, лік, з якога дабываем корань, будзе — сума чатырох складнікоў: першы з іх — квадрат дзесяткаў, другі — падвойны здабытак дзесяткаў на адзінкі, трэці — квадрат адзінак і чацьверты — астача (калі лік нявымерны).

Дабудзем вымерны квадратовы корань з ліку $1296$.

Лік гэты складаецца з чатырох цыфр, значыцца, яго корань будзе зьмяшчаць дзьве цыфры: цыфру дзесяткаў і адзінак.

Дабываньне квадратовага корня робім у наступны спосаб:

${\sqrt {{\color {white}X}12'96}}$		$=36$
$9$
$66$ $6$	$39'6$ $39$$6$
$0$

Раней за ўсё азначаем цыфру дзесяткаў. Квадрат дзесяткаў, будучы закончаны двома нулямі, ня можа зьмяшчацца ў апошніх дзьвёх цыфрах; дзеля гэтага аддзяляем іх коскай і дабываем квадратовы корань з $12$; атрымоўваем $3$ з недахватам. Першая, значыцца, цыфра корня, ці цыфра дзезяткаў, ёсьць $3$.

Аднімаючы квадрат дзесяткаў, г. ё. $900$ ад усяго ліку, атрымаем астачу $396$, якая ёсьць сума двох складнікоў: падвойнага здабытку дзесяткаў на адзінкі і квадрату адзінак. Першы складнік, як здабытак дзесяткаў, канчаецца нулём, значыцца, можа заключацца толькі ў першых дзьвёх цыфрах астачы $396$. Дзеля гэтага, каб знайсьці цыфру адзінак корня, у астачы $396$ аддзяляем апошнюю цыфру коскай, і застаўшыся лік $39$ дзелім на падвойную цыфру дзесяткаў корня, г. ё. на $6$; такім чынам, знойдзем цыфру адзінак шуканага корня $6$, якую пішам побач з $3$. Звычайна пры выкананьні дзеяньня рысуем з левага боку астачы старчавую рысу і перад ёй пішам падвойны лік дзесяткаў $(6)$, пакідаючы месца для цыфры адзінак $(6)$.

Урэшце, застаецца праверыць, ці атрыманая цыфра адзінак $6$ не занадта вялікая; дзеля гэтае мэты ўкладаем суму падвойнага здабытку дзесяткаў на адзінкі і квадрата адзінак корня. Калі сума гэтая будзе больш за астачу $(396)$, то цыфру адзінак зьмяншаем на адзінку.

У нашым прыкладзе сума гэта ёсьць роўная астачы:

$\times$	$60$ $6$		$\times$	$6$ $6$		$+$	$360$ $36$
$360$			$36$			$396$

Адсюль бачым, што цыфра адзінак корня $(6)$ ёсьць правільная, і квадратовы корань ліку $1296$ ёсьць вымерны лік $36$.

Тры апошнія дзеяньні звычайна злучаем у адно, дапісваючы проста да падвойнага ліку дзесяткаў $(6)$ цыфру адзінак $(6)$, і такім спосабам атрыманы лік $66$ множым на цыфру адзінак:

$\times$	$66$ $6$
$396$

§13. Дабудзем цяпер нявымерны квадратовы корань, а мянавіта з $4092$:

${\sqrt {{\color {white}X}40'92}}$		$=63$
$36$
$123$ $3$	$49'2$ $36$$9$
$123$

Цыфру дзесяткаў $6$ знойдзем пры помачы дабываньня корня з першае грані, г. ё. з $40$. Пасьля адніманьня квадрата дзесяткаў $3600$ ад усяго ліку атрымоўваем астачу $492$, у якой аддзяляем коскай цыфру адзінак $2$, а застаўшыся лік $49$ дзелім на падвойную цыфру дзесяткаў $12$.

Дзеля таго, што $12$ у $49$ зьмяшчаецца $4$ разы, дык трэба-б было да $12$ дапісаць $4$ і атрыманы такім спосабам лік $124$ памножыць на $4$; аднак-жа лёгка можам пераканацца, што рэзультат $124\cdot 4=496$ будзе больш за астачу $492$; гэта даводзіць, што цыфра адзінак $4$ завялікая. Зьмяншаем яе на адзінку і бярэм $3$. Бачым, што новы здабытак $123\cdot 3=369$ менш за астачу $492$; адсюль вынікае, што цыфра $3$ правільная.

Такім чынам, у канцовым рэзультаце атрымалі $63$ і астачу $123$; гэта апошняя астача зьяўляецца азнакай таго, што ${\sqrt {4092}}$ ёсьць лік нявымерны.

§14. Дабудзем цяпер квадратовы корань з 6-знакавага ліку, напрыклад, з $223729$. Знаходзім колькасьць дзесяткаў корня: аддзяляем коскай апошнія дзьве цыфры ў гэтым ліку $29$, якія ня могуць зьмяшчаць квадрату дзесяткаў, і з астаўшайся часткі ліку $2237$ дабываем вядомым нам шляхам квадратовы корань:

${\sqrt {{\color {white}X}22'37}}$		$=47$
$16$
$87$ $7$	$63'7$ $60$$9$
$28$

Бачым, што, такім чынам, ${\sqrt {223729}}$ зьмяшчае ў сабе $47$ дзесяткаў. Каб знайсьці цыфру адзінак корня з усяго ліку, трэба да астачы ${\sqrt {2237}}$, г.ё.да$28$, дапісаць трэцюю грань $29$. Атрымаем гэткім спосабам другую астачу $2829$.

${\sqrt {{\color {white}X}22'37'29}}$			$=473$
$16$
$87$ $7$	$63'7$ $60$$9$

$943$ $3$	$282'9$ $282$$9$
$0$

Дзеля таго, што квадрат $47$ дзесяткаў ужо быў адняты ад усяго ліку, значыцца, астача $2829$ зьмяшчае падвойны здабытак дзесяткаў усяго ліку $(47)$ на цыфру адзінак і квадрат адзінак. Дзякуючы гэтаму, каб знайсьці цыфру адзінак ${\sqrt {223729}}$, таксама аддзяляем коскай у астачы $2829$ апошнюю цыфру і пазасталы лік $282$ дзелім на падвойны лік дзесяткаў $94$; дзель $3$ і будзе цыфрай адзінак.

Праверыўшы, пераканаемся, што ${\sqrt {223729}}$ ёсьць вымерны лік, роўны $473$.

§15. На аснове вышэйдадзеных прыкладаў і довадаў можам вывесьці наступнае агульнае правіла дабываньня квадратовага корня з лікаў:

Каб дабыць квадратовы корань з данага ліку, дзелім яго на грані па дзьве цыфры ад правай рукі к левай. Апошняя грань можа мець адну цыфру. Колькасьць граняў пакажа нам колькасьць цыфр корня.

Потым дабываем квадратовы корань з першае грані з левага боку; атрымоўваем у гэты спосаб першую цыфру корня, якую падносім у квадрат, абнімаем ад першае грані і да рэзультату дапісваем другую грань.

У атрыманай такім чынам першай астачы аддзяляем коскай апошнюю цыфру, а пазасталы лік дзелім на падвойную першую цыфру корня; дзель будзе другою цыфраю корня. Дапісваем яе да дзельніка і такім чынам утвораны лік множым на другую цыфру корня. Здабытак, які пры гэтым паўстане, аднімаем ад першае астачы. Калі здабытак гэты акажацца больш за астачу, дык другую цыфру корня трэба зьменшыць на адзінку. Да атрыманага пасьля адніманьня ліку дапісваем трэцюю грань і з трэцяй астачай робім, як вышэй апісана, і г. д.

ПРЫКЛАД.

${\sqrt {{\color {white}X}2'82'37'44'16}}$			$=16804$
$1$
$26$ $6$	$18'2$ $15$$6$

$328$ $8$

$263'7$ $262$$4$

$33604$ $4$	$13441'6$ $13441$$6$
$0$

Дабываньне квадратовага корня з лікаў часам можна упросьціць, раскладваючы падкарэнны лік на сумножнікі і бяручы здабытак два разы меншай колькасьці кожнага сумножніка; напрыклад:

${\sqrt {484}}={\sqrt {2\cdot 2\cdot 11\cdot 11}}=2\cdot 11=22$

${\sqrt {1296}}={\sqrt {2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3}}=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3=36$

Дабываньне корняў, падобнае да сучаснага спосабу, было вядома ўжо ў 3—4 веку посьле Нар. Хр. (Тэон, грэк з Александрыі).

Задачы.

Дабыць квадратовыя корні:
72.	${\sqrt {289}}$	73.	${\sqrt {324}}$
74.	${\sqrt {1936}}$	75.	${\sqrt {3025}}$
76.	${\sqrt {6561}}$	77.	${\sqrt {7921}}$
78.	${\sqrt {9801}}$	79.	${\sqrt {24336}}$
80.	${\sqrt {89401}}$	81.	${\sqrt {33856}}$
82.	${\sqrt {725904}}$	83.	${\sqrt {488601}}$
86.	${\sqrt {1018081}}$	87.	${\sqrt {81108036}}$
88.	${\sqrt {114597025}}$	89.	${\sqrt {51955264}}$
90.	${\sqrt {780811249}}$

Нявымерныя лікі.

§15. У матэматыцы істнуе цэлы рад вялічынь, якія ня могуць быць выражаны ані пры помачы цэлых лікаў, ані пры помачы звычайных, дзесятковых або пэрыодычных дробаў. Да гэткіх лікаў належаць: стасунак акружыны кола да дыямэтру, стасунак дыягоналі квадрата да яго боку, стасунак даўжыні году да даўжыні дня і шмат іншых.

Велічыня, якая ня можа быць дакладна выражана за дапамогаю цыфр зьяўляецца выразам нявымерным.

Да нявымерных лікаў паміж іншым належаць так званыя ірацыянальныя лікі, г. ё. корні якіх нельга дакладна выразіць цэлым або дробавым (не пэрыодычным) лікам. Так, напрыклад:

${\sqrt {2}}$, ${\sqrt[{3}]{6}}$, ${\sqrt[{4}]{27}}$

ёсьць нявымерныя ірацыянальныя^[2] лікі.

Што гэтыя корні ня могуць быць выражаны пры помачы цэлых лікаў, — бачым адразу. Каб давесьці, што яны ня могуць быць выражаны і за дапамогаю дробаў, зробім адваротнае дапушчэньне, г. ё. уявім сабе, што корань $n$-е ступені цэлага ліку $N$ ёсьць дроб, які посьле скарочаньня будзе мець выгляд

${\frac {a}{b}}$,ці${\sqrt[{n}]{N}}={\frac {a}{b}}$

Падносячы абодва бакі гэтай роўнасьці ў $n$-ую ступень, атрымаем:

$N={\frac {a^{n}}{b^{n}}}$

Але $a$ і $b$ ня маюць супольных сумножнікаў, значыцца, іх ступені таксама ня могуць мець супольных сумножнікаў і дзеля гэтага ${\frac {a^{n}}{b^{n}}}$ ня можа быць роўным цэламу ліку $N$.

З разважаньня гэтага вынікае наступны вынік: калі з лічніка ці назоўніка дробу нельга дабыць дакладнага корня, то даны выраз ёсьць лік нявымерны.

Кожны нявымерны лік заключаецца ў граніцах, якія называюцца яго прыбліжэньнямі. Калі граніцы зложаны толькі з цэлых адзінак, то кажам, што нявымерны лік ёсьць вылічаны з прыбліжэньнем (з дакладнасьцю) да адзінкі; калі ў склад прыбліжэньня ўваходзяць дзесятыя часткі адзінкі, то нявымерны лік ёсьць вылічаны з прыбліжэньнем да адной дзесятай і г. д.

Возьмем для прыкладу квадратовы корань з 7-мёх і выпішам розныя ступені яго прыбліжэньня.

прыбліж.да$1$:	$2^{2}=4$	$2<{\sqrt {7}}<3$	$3^{2}=9$
прыбліж.да$0,1$:	$(2,6)^{2}=6,76$	$2,6<{\sqrt {7}}<2,7$	$(2,7)^{2}=7,29$
прыбліж. да $0,01$:	$(2,64)^{2}=6,9696$	$2,64<{\sqrt {7}}<2,65$	$(2,65)^{2}=7,0225$.
і г. д.

Бачым, што з узрастаньнем дзесятковых знакаў значэньне прыбліжэньня ${\sqrt {7}}$ з недахватам узрастае, паступова праходзячы праз лікі: $2;2,6;2,64$ i г. д.; наадварот, значэньне прыбліжэньня ${\sqrt {7}}$ з перавышкай, пры павялічваньні колькасьці дзесятковых знакаў, зьмяншаецца, праходзячы праз лікі: $3;2,7;2,65$ і г. д.

Розьніца паміж двома адпаведнымі лікамі гэтых двох радоў паступова зьмяншаецца і можа зрабіцца так малой, як таго захочам.

Дабываньне квадратовых корняў з прыбліжэньнем.

§16. Калі выпадзе дабыць квадратовы корань з ліку, які ня ёсьць поўным квадратам, тады вылічаем квадратовы корань з пэўным прыбліжэньнем.

Квадратовы корань з прыбліжэньнем да $1$ зьмяшчае цэлую частку данага корня, напрыклад: ${\sqrt {563}}=23$

Калі хочам дабыць корань з дакладнасьцю да $^{1}/_{10}$, то трэба яго памножыць і падзяліць на $10$.

У гэты спосаб атрымаем:

${\frac {10\cdot {\sqrt {563}}}{10}}={\frac {100\cdot 563}{10}}={\frac {\sqrt {56300}}{10}}$

Дзеля таго, што ${\sqrt {56300}}=237$,

дык ${\frac {\sqrt {56300}}{10}}=23,7$

Памнажаючы і дзелячы ${\sqrt {563}}$ на $100$, і робячы як вышэй, знойдзем ${\sqrt {563}}=23,72$ з прыбліжэньнем да ${\frac {1}{100}}$ і г. д.

Дабываньне квадратовых корняў з лікаў з дакладнасьцю да $0,1,0,01,0,001$ і г. д. робяць на практыцы так: дапісваюць да астачы корня столькі пар нулёў, сколькі дзесятковых знакаў хочам атрымаць у рэзультаце, і дабываюць корань далей, так, напрыклад:

${\sqrt {5'63}}$		$=23,727.....$
$4$
$43$ $3$	$163$ $129$

$467$ $7$

$340'0$ $326$$9$

$4742$ $2$

$1310'0$ $948$$4$

$47447$ $7$	$36160'0$ $33212$$9$
$2947$$1$
....... .......

Калі-б мы хацелі дабыць корань з ліку $N$ з дакладнасьцю да ${\frac {1}{k}}$, то перад дабываньнем корня трэба ${\sqrt {N}}$ памножыць і падзяліць на $k$. Тады атрымаем:

${\sqrt {N}}={\frac {k{\sqrt {N}}}{k}}={\frac {\sqrt {N\cdot {k^{2}}}}{k}}$

Напрыклад, каб дабыць корань з $6$ з прыбліжэньнем да ${\frac {1}{15}}$, трэба $6$ памножыць на $15^{2}$, з здабытку дабыць квадратовы корань з прыбліжэньнем да адзінкі і рэзультат падзяліць на $15$. Атрымаем тады:

${\sqrt {6}}$ з прыбліж. да ${\frac {1}{15}}={\frac {\sqrt {6\cdot 225}}{15}}={\frac {36}{15}}=2{\frac {2}{5}}$ Дабываньне квадратовага корня з звычайных дробаў.

§17. Пры дабываньні корня з дробу могуць быць наступныя выпадкі:

1) Калі лічнік і назоўнік ёсьць поўныя квадраты, то дабываем корань асобна з лічніка і асобна з назоўніка, напрыклад:

${\sqrt {\frac {9}{16}}}={\frac {3}{4}}$; ${\sqrt {\frac {1}{225}}}={\frac {1}{15}}$

${\sqrt {\frac {25a^{4}b^{2}}{49c^{6}}}}={\frac {5a^{2}b}{7c^{3}}}$

2) Калі толькі назоўнік дробу ёсьць поўны квадрат, то з лічніка дабываем квадратовы корань з прыбліжэньнем і атрыманы рэзультат дзелім на корань з назоўніка, напрыклад:

${\sqrt {\frac {11}{16}}}={\frac {\sqrt {11}}{4}}$; ${\sqrt {11}}=3,31.....$ з дакладнасьцю да $0,01$.

Дзелячы $3,31$ на $4$, атрымаем $0,82$. Адсюль: ${\sqrt {\frac {11}{16}}}=0,82$ з прыбліжэньнем да ${\frac {1}{100\cdot 4}}$, г. ё. да ${\frac {1}{400}}$

3) Калі назоўнік дробу ня ёсьць поўны квадрат, дык спачатку лічнік і назоўнік дробу множым на такі лік, каб назоўнік стаўся поўным квадратам; хай, напрыклад, трэба дабыць ${\sqrt {\frac {2}{3}}}$.

Памнажаючы лічнік і назоўнік на $3$, атрымаем:

${\sqrt {\frac {6}{9}}}={\frac {\sqrt {6}}{3}}={\frac {2,449}{3}}=0,816$.

Значыцца ${\sqrt {\frac {2}{3}}}=0,816$ з прыбліжэньнем да ${\frac {1}{3000.}}$

4. Калі хочам дабыць корань з мяшанага ліку, то трэба спачатку замяніць мяшаны лік на дроб неўласьцівы, напрыклад:

${\sqrt {1{\frac {24}{25}}}}={\sqrt {\frac {49}{25}}}={\frac {7}{5}}=1{\frac {2}{5}}$

${\sqrt {4{\frac {3}{7}}}}={\sqrt {\frac {31}{7}}}={\sqrt {\frac {31\cdot 7}{49}}}={\frac {14,7}{7}}=2,1$

з прыбліжэньнем да ${\frac {1}{70}}$

Дабываньне квадратовага корня з дзесятковых дробаў.

§18. Хай маем дабыць квадратовы корань з ліку $6,405$ з дакладнасьцю да $0,01$. Напішам дадзены лік у форме звычайнага дробу ${\frac {6405}{1000}}$. Калі-б мы цяпер хацелі дабыць корань з данага ліку, то трэба-б было дабыць корань асобна з лічніка і асобна з назоўніка, а з прычыны таго, што назоўнік — няпоўны квадрат, дык прыпісваем нуль да лічніка і назоўніка і атрымаем ${\frac {64050}{10000}}$. Корань квадратовы з лічніка $64050$ ёсьць $253....$ корань з назоўніка ёсьць $100$; значыцца шуканы корань з данага ліку будзе:

${\frac {253}{100}}=2,53$

На практыцы пры дабываньні квадратовага корня з дзесятковых дробаў звычайна робяць так: дапаўняюць колькасьць дзесятковых знакаў (посьле коскі) да цотнага ліку, потым дабываюць корань, як-бы з цэлага ліку, і ў рэзультаце аддзяляюць коскай два разы меншую колькасьць дзесятковых цыфр, чымся меў дроб.

ПРЫКЛАД I.	${\sqrt {0,37'65}}$		$=0,61.....$
	$36$
	$121$ $1$	$165$ $121$
	$44$
	$......$ $......$

ПРЫКЛАД II.	${\sqrt {0,07'65'20}}$		$=0,276.....$
	$4$
	$47$ $7$	$36'5$ $32$$9$

	$546$ $6$	$3$$62'0$ $3$$27$$6$
	$34$$4$
	$......$ $......$

§19. Пазнаньне падобнага спосабу дабываньня корняў кубічных, а таксама вышэйшых ступеняў ня мае практычнага значэньня з тае прычыны, што гэткае дабываньне куды прасьцей і лягчэй можам выканаць, карыстаючыся ўласьцівасьцямі лёгарытмаў, аб чым даведаемся пазьней.

3адачы.

Дабыць наступныя корні з паказаным прыбліжэньнем:

91.	${\sqrt {4897}}$	да $1.$	92.	${\sqrt {8888}}$	да $1.$
93.	${\sqrt {239593}}$	да $1.$	94.	${\sqrt {982}}$	да $0,1.$
95.	${\sqrt {91}}$	да $0,01.$	96.	${\sqrt {19}}$	да $0,001.$
97.	${\sqrt {7}}$	да ${\frac {1}{5}}$	98.	${\sqrt {3}}$	да ${\frac {1}{7}}$
99.	${\sqrt {87}}$	да ${\frac {1}{6}}$	100.	${\sqrt {213}}$	да ${\frac {1}{15}}$
101.	${\sqrt {373}}$	да ${\frac {1}{25}}$

Дабыць корні з наступных дробаў:
102.	${\frac {49}{81}}$	103.	${\frac {1369}{2025}}$
104.	${\frac {576}{45369}}$	105.	$29{\frac {23}{49}}$
106.	$552{\frac {1}{4}}$	107.	$750{\frac {19}{25}}$
108.	$7,29$	109.	$14,44$
110.	${\sqrt {36,8449}}$	111.	${\sqrt {19,2721}}$

Дабыць корні з паказаным прыбліжэньнем:
112.	${\sqrt {34,151}}$	да $0,01.$	113.	${\sqrt {141,2}}$	да $0,001.$
114.	${\sqrt {3,666...}}$	да $0,0001.$	115.	${\sqrt {6{\frac {1}{2}}}}$	да $0,01.$
116.	$10{\sqrt {3}}$	да $0,01.$	117.	${\sqrt {\sqrt {222}}}$	да $0,01.$
118.	${\sqrt {\sqrt {0,01}}}$	да $0,01$

Дабыць корні з наступных лікаў:
119.	${\sqrt {120^{2}+209^{2}}}$	120.	${\sqrt {320^{2}+999^{2}}}$
121.	${\sqrt {140^{2}+171^{2}}}$	122.	${\sqrt {1181^{2}-1131^{2}}}$
123.	${\sqrt {\sqrt {10617447681}}}$	124.	${\sqrt {\sqrt {69257922561}}}$

Дабываньне квадратовага корня з многачленаў.

§20. Дзеля таго, што квадрат адначлена ёсьць таксама адначлен, а квадрат двохчлена ёсьць трохчлен, значыцца пры падняцьці альгэбрычных выразаў у квадрат ніколі не атрымаем двохчлена.

Трохчлен бывае поўным квадратам тады, калі складаецца з сумы квадратаў двох членаў і падвойнага іх здабытку.

Каб дабыць, значыцца, квадратовы корань з такога трохчлена, трэба дабыць квадратовы корань з яго поўных квадратаў і паміж атрыманымі выразамі паставіць такі знак, які меў падвойны здабытак, напрыклад:

${\sqrt {4a^{2}b^{4}+12ab^{3}c^{3}+9b^{2}c^{6}}}=\pm (2ab^{2}+3bc^{3})$

Падносячы ў квадрат многачлен, які складаецца больш, чымся з двох членаў, атрымаем (§8): квадрат першага члена, плюс падвойны здабытак першага члена на другі, плюс квадрат другога члена, плюс падвойны здабытак сумы двух першых членаў на трэці, плюс квадрат трэцяга і г. д.

Грунтуючыся на гэтым правіле, дабываем квадратовы корань з многачленаў спосабам зусім падобным да дабываньня квадратовага корня з лікаў.

Хай, напрыклад, маем дабыць квадратовы корань з многачлена

$29x^{4}y^{2}-30x^{3}y^{3}+4x^{6}-12x^{5}y+25x^{2}y^{4}.$

Дзеля гэтае мэты парадкуем яго водлуг спадаючых (або узрастаючых) ступеняў літары $x$ і дабываем корань у спосаб, падобны да дабываньня корня з лікаў:

${\sqrt {4x^{6}-12x^{5}y+29x^{4}y^{2}-30x^{3}y^{3}+25x^{2}y^{4}}}=2x^{3}-3x^{2}y+5xy^{2}$ $-4x^{6}$
$4x^{3}-3x^{2}y$ $-3x^{2}y$	$-12x^{5}y+29x^{4}y^{2}$ $\pm 12x^{5}y\mp 9x^{4}y^{2}$	......першая астача

	$4x^{3}-6x^{2}y+5xy^{2}$ $+5xy^{2}$	$20x^{4}y^{2}-30x^{3}y^{3}+25x^{2}y^{4}$ $-20x^{4}y^{2}\pm 30x^{3}y^{3}\mp 25x^{2}y^{4}$	....другая астача
	$0$

Вышэйшы член гэтага многачлена павінен быць квадратам вышэйшага члена корня, значыцца, каб яго знайсьці, дабываем квадратовы корань з першага члена многачлена пад корнем:

${\sqrt {4x^{6}}}=\pm 2x^{3}$

З гэтых двух значэньняў корня бяром спачатку адно дадатнае. — Атрыманы такім чынам першы член корня $2x^{3}$ падносім у квадрат і аднімаем ад усяго многачлена. У рэзультаце атрымаем першую астачу, якая зьмяшчае ў сабе: падвойны здабытак першага члена на другі, плюс квадрат другога члена, плюс падвойны здабытак сумы першых двох членаў на трэці і г. д.

Такім спосабам, каб знайсьці другі член корня, дзелім першы член астачы $-12x^{5}y$ на падвойны першы член корня, г. ё. на $4x^{3}$, знаходзім $-3x^{2}y$, дапісваем гэты апошні з правага боку падвойнага першага члена (і з левага боку старчавой рысы), множым атрыманы двохчлен $(4x^{3}-3x^{2}y)$ на $-3x^{2}y$ і рэзультат множаньня аднімаем ад першай астачы. Утвораная гэткім спосабам другая астача заключае падвойны здабытак сумы першых двох членаў на трэці, плюс квадрат трэцяга члена і г. д. Дзеля гэтага, падзяліўшы першы член другой астачы $20x^{4}y^{2}$ на падвойны член корня $4x^{3}$, знойдзем трэці член корня $5xy^{2}$.

Ізноў з левага боку другой астачы праводзім старчавую рысу, за якой пішам падвойныя першыя два члены корня $(4x^{3}-6x^{2}y)$, дапісваем знойдзены трэці $(+5xy^{2})$ і ўвесь трохчлен множым на трэці член корня. Посьле адніманьня гэтага здабытку ад другой астачы атрымліваем нуль. Значыць, дзеяньне скончана.

Пры дабываньні квадратовага корня з першага члена многачлена, мы ўзялі толькі яго дадатнае значэньне, а ўласна $+2x^{3}$. Калі-б мы ўзялі адмоўнае яго значэньне, а уласна $-2x^{3}$, дык усе пазасталыя члены корня таксама зьмянілі-б свае знакі на супраціўныя, таму што для іх атрыманьня трэба-б было дзяліць першы член кожнай астачы не на $2x^{3}$, а на $-2x^{3}$. З гэтага бачым, што квадратовы корань з многачлена мае два значэньні: дадатнае і адмоўнае; у нашым прыкладзе:

${\sqrt {4x^{6}-12x^{5}y+29x^{4}y^{2}-30x^{3}y^{3}+25x^{2}y^{4}}}=\pm (2x^{3}-3x^{2}y+5xy^{2})$

ПРЫКЛАД I.
${\sqrt {9a^{6}b^{2}+12a^{5}b^{3}-20a^{4}b^{4}-46a^{3}b^{3}-4a^{2}b^{6}+40ab^{7}+25b^{8}}}=$ $=\pm (3a^{3}b+2a^{2}b^{2}-4ab^{3}-5b^{4})$ $-9a^{6}b^{2}$
$6a^{3}b+2a^{2}b^{2}$ $+2a^{2}b^{2}$	$12a^{5}b^{3}-20a^{4}b^{4}$ $-12a^{5}b^{3}\mp 4a^{4}b^{4}$

$6a^{3}b+4a^{2}b^{2}-4ab^{3}$ $-4ab^{3}$

$-24a^{4}b^{4}-46a^{3}b^{5}-4a^{2}b^{6}$ $\pm 24a^{4}b^{4}\pm 16a^{3}b^{5}\mp 16xa^{2}b^{6}$

	$6a^{3}b+4a^{2}b^{2}-8ab^{3}-5b^{4}$ $-5b^{4}$	$-30a^{3}b^{5}-20a^{2}b^{6}+40ab^{7}+25b^{8}$ $\pm 30a^{3}b^{5}\pm 20a^{2}b^{6}\mp 40ab^{7}\mp 25b^{8}$
	$0$

ПРЫКЛАД II.
${\sqrt {x^{6}-10x^{5}+25x^{4}+6x^{3}-14x^{2}+4=\pm (x^{3}-5x^{2}+3)}}$ $-x^{6}$
$2x^{3}-5x^{2}$ $-5x^{2}$	$-10x^{5}+25x^{4}$ $\pm 10x^{5}\mp 25x^{4}$

$2x^{3}-10x^{2}+3$ $+3$	$6x^{3}-14x^{2}+4$ $\mp 6x^{3}\pm 30x^{2}\mp 9$
$16x^{2}-5$

У другім прыкладзе атрымалі трэцюю астачу $16x^{2}-5$; аднолька-ж далей весьці дзеяньня ня можам, бо першы член гэтае астачы $16x^{2}$ ня дзеліцца на падвойны першы член корня $2x^{3}$.

Рэзультат дзеяньня можам запісаць так:

$x^{6}-10x^{5}+25x^{4}+6x^{3}-14x^{2}+4=\pm (x^{3}-5x^{2}+3)^{2}+16x^{2}-5$

§21. Дабываньне квадратовага корня з многачлена ня можа быць выканана:

1) калі вышэйшы або ніжэйшы члены данага многачлена ня ёсьць поўныя квадраты;

2) калі пры дзеяньні атрымаем астачу, у якой першы член ня дзеліцца на падвойны першы член корня.

3адачы.

	Дабыць квадратовыя корні з наступных многачленаў:
125.	$4a^{4}+12a^{2}b^{2}+9b^{2}$	126.	${\frac {9}{16}}a^{2}b^{4}-{\frac {3}{5}}a^{3}b^{2}+{\frac {4}{25}}a^{4}$
127.	${\frac {1}{25}}x^{2}-{\frac {1}{15}}xy+{\frac {1}{36}}y^{2}$	128.	${\frac {x^{4}}{25y^{2}}}-1+{\frac {25y^{2}}{4x^{4}}}$
129.	$0,04x^{4}y^{2}-2x^{2}y+25$	130.	$4a^{4}-4a^{3}+5a^{2}-2a+1$
131.	$6a+9a^{4}+1+3a^{2}-18a^{3}$
132.	$25a^{2}b^{2}-8ab^{3}-6a^{3}b+16b^{4}+9a^{4}$
133.	${\frac {1}{16}}x^{4}-{\frac {1}{4}}x^{3}+{\frac {3}{4}}x^{2}-x+1$
135.	$x^{6}+6x^{5}+x^{4}-34x^{3}-14x^{2}+40x+25$
136.	$25x^{10}+46x^{8}+25x^{6}+4x^{4}+12x^{5}+44x^{7}+40x^{9}$
137.	${\dfrac {a^{4}}{4}}+{\dfrac {a^{3}}{x}}+{\dfrac {a^{2}}{x^{2}}}-ax-2+{\dfrac {x^{2}}{a^{2}}}$
138.	${\dfrac {4x^{2}}{9y^{4}}}+{\dfrac {4x^{2}}{3y^{2}}}+5z^{2}+{\dfrac {27y^{6}z^{5}}{x^{3}}}+{\dfrac {81y^{8}z^{6}}{4x^{4}}}$
139.	${\bigg (}x^{2}-{\dfrac {2}{x}}{\bigg )}+{\dfrac {1}{x^{2}}}{\bigg (}1-{\dfrac {2}{x}}{\bigg )}+{\bigg (}2+{\dfrac {1}{x^{4}}}{\bigg )}$
140.	${\dfrac {9m^{4}-12m^{3}+10m^{2}-4m+1}{m^{8}+10m^{6}+21m^{4}-20m^{2}+4}}$

Ірацыянальныя велічыні.

§22. Корні, якіх нельга дакладна выразіць цэлым або дробавам (не пэрыодычным) лікам, называюцца ірацыянальнымі велічынямі.

Такія велічыні атрымліваем тады, калі паказальнік ступені хоць-бы аднаго з сумножнікаў падкарэннага выразу ня ёсьць многакрацьцю ступені корня; напрыклад, лікі:

${\sqrt {3ab}}$, ${\sqrt[{3}]{4ax^{2}}}$

належаць да ірацыянальных вялічынь.

Пры апісаньні дзеяньняў над ірацыянальнымі лікамі будзем заўсёды прыймаць пад увагу толькі арытмэтычны корань, г. ё. дадатны.

Вылучэньне вымерных сумножнікаў з пад знаку корня і ўвод коэфіцыента пад знак корня.

§23. Калі падкарэнны лік можна раскласьці на два сумножнікі у такі спосаб, каб паказальнік аднаго сумножніка падзяліўся на паказальнік корня, то з гэтага сумножніка дабываем корань, вылучаючы яго такім чынам з пад знака корня; напрыклад:

${\sqrt {4a^{5}}}={\sqrt {4a^{4}\cdot {a}}}=2a^{2}{\sqrt {a}}$

${\sqrt {\dfrac {12a^{3}b^{7}}{25mx^{3}}}}={\sqrt {\dfrac {4a^{2}b^{6}\cdot 3ab}{25x^{2}\cdot {mx}}}}={\dfrac {2ab^{3}}{5x}}{\sqrt {\dfrac {3ab}{mx}}}$

Наогул:${\sqrt[{m}]{a^{m}b}}=a{\sqrt[{m}]{b}}$

Вымерны сумножнік пры ірацыянальным ліку будзем называць коэфіцыентам корня. Такім чынам, у нашых прыкладах коэфіцыентамі корняў ёсьць лікі:

$2a^{2}$, ${\dfrac {2ab^{3}}{5x}}$ і $a$

Наадварот: коэфіцыент корня можам увесьці пад знак корня; дзеля гэтае мэты трэба паднесьці яго ў ступень корня і памножыць на падкарэнны лік; напрыклад:

$3a{\sqrt {2ab^{2}}}={\sqrt {9acdot2ab^{2}}}={\sqrt {18a^{3}b^{2}}}$ ${\dfrac {4a^{2}}{3x^{4}}}{\sqrt[{3}]{\dfrac {3ab^{2}}{2y}}}={\sqrt[{3}]{\dfrac {64a^{6}\cdot 3ab^{2}}{27x^{12}\cdot 2y}}}={\sqrt[{3}]{\dfrac {192a^{7}b^{2}}{54x^{1}2y}}}$

Наогул:$a{\sqrt[{m}]{b}}={\sqrt[{m}]{a^{m}b}}$.

Калі посьле вылучэньня вымерных сумножнікаў з-пад знаку корня падкарэнны лік мае назоўнік, дык звычайна перарабляюць яго так, каб назоўнік зрабіўся вымерным; напрыклад, маючы

${\sqrt {\dfrac {a}{b}}}$,

множым лічнік і назоўнік падкарэннага ліку на $b$; тады атрымаем:

${\sqrt {\dfrac {a}{b}}}={\sqrt {\dfrac {ab}{b^{2}}}}={\dfrac {\sqrt {ab}}{b}}$

У падобны спосаб:

${\sqrt {\dfrac {2ax}{3by}}}={\sqrt {\dfrac {2ax\cdot 3by}{9b^{2}y^{2}}}}={\dfrac {\sqrt {6abxy}}{3by}}$ Скарочаньне паказальнікаў корня і прывядзеньне корняў да супольнага паказальніка.

§24. Значэньне корня ня зьменіцца, калі паказальнік корня і паказальнік ступені падкарэннага ліку памножым на той самы лік, г.ё.

${\sqrt[{k}]{a^{m}}}={\sqrt[{kp}]{a^{mp}}}$

Каб давесьці правільнасьць гэтае роўнасьці, паднясём абодва яе бакі ў ступень $kp$. Тады правы бок заменіцца на $a^{mp}$. Падносячы левы бок пасьледаўна ў ступень $k$ і $p$, атрымаем спачатку $a^{m}$, а потым $a^{mp}$.

Дзеля таго, што абодва лікі ${\sqrt[{k}]{a^{m}}}$ і ${\sqrt[{kp}]{a^{mp}}}$ пры падняцьці ў аднаковую ступень $kp$, далі аднаковыя рэзультаты, значыцца, яны зьяўляюцца арытмэтычнымі корнямі ліку $a^{mp}$. Але арытмэтычны корань для данага ліку можа быць толькі адзін, значыцца

${\sqrt[{k}]{a^{m}}}={\sqrt[{kp}]{a^{mp}}}$

Пераставіўшы левы бок гэтай роўнасьці направа і наадварот, атрымаем:

${\sqrt[{kp}]{a^{mp}}}={\sqrt[{k}]{a^{m}}}$

г. ё. значэньне корня ня зьменіцца, калі паказальнік корня і паказальнік ступені падзелім на адзін і той самы лік.

На гэтай аснове грунтуецца скарочаньне корняў, як напрыклад:

${\sqrt[{6}]{a^{4}b^{2}}}={\sqrt[{6}]{(a^{2}b)^{2}}}={\sqrt[{3}]{a^{2}b}}$,

${\sqrt[{12}]{8a^{9}b^{6}}}={\sqrt[{12}]{(2a^{3}b^{2})^{3}}}={\sqrt[{4}]{2a^{3}b^{2}}}$

Гэтыя-ж, уласьцівасьці корняў дазваляюць нам прывадзіць корні да супольнага паказальніка.

Хай, напрыклад, маем два корні:

${\sqrt {m}}$, ${\sqrt[{3}]{m}}$

Памнажаючы паказальнік корня і ступені першага ліку на $3$, атрымаем

${\sqrt {m}}={\sqrt[{6}]{m^{3}}}$

Памнажаючы паказальнік корня і ступені другога ліку на $2$, будзем мець:

${\sqrt[{3}]{m}}={\sqrt[{6}]{m^{2}}}$

З гэтага прыкладу бачым, што супольны паказальнік корняў ёсьць найменшы супольны кратны лік паказальнікаў даных корняў.

Дзелячы супольны паказальнік корня на паказальнікі даных корняў, атрымліваем дадатковыя сумножнікі, якія паказваюць, у якую ступень трэба паднесьці падкарэнны лік.

ПРЫКЛАД. Прывесьці да супольнага паказальніка корні:

${\sqrt[{4}]{3a^{2}b^{3}}}$,${\sqrt[{3}]{5ab^{2}c}}$,${\sqrt[{6}]{7a^{5}bm^{4}}}$

AДKA3:${\sqrt[{12}]{27a^{6}b^{9}}}$,${\sqrt[{12}]{625a^{4}b^{8}c^{4}}}$,${\sqrt[{12}]{49a^{10}b^{2}m^{8}}}$

Нормальны від корняў.

§25. Корань мае нормальны від тады, калі ён не зьмяшчае нявымерных назоўнікаў, вымерных сумножнікаў пад знакам корня і паказальнікаў ступеняў, якія могуць быць скарочаны з паказальнікам корня; так, напрыклад, выразы:

$4ab{\sqrt[{3}]{a^{2}x}}$ і ${\dfrac {3}{5}}b{\sqrt[{5}]{a^{4}c^{3}}}$

маюць нормальны від; выразы-ж:

$3ab{\sqrt {\dfrac {ab^{2}}{5cx}}}$ і $2am^{2}{\sqrt {4a^{3}}}$

ня маюць нормальнага віду.

Корань, які ня мае нормальнага віду, можам заўсёды прывесьці да нормальнага віду, напрыклад:

$3ab{\sqrt {\dfrac {ab^{2}}{5cx}}}=3ab{\sqrt {\dfrac {ab^{2}5cx}{25c^{2}x^{2}}}}={\dfrac {3ab^{2}}{5cx}}{\sqrt {5acx}}.$ Задачы.

Вывесьці па меры магчымасьці з-пад знаку корня сумножнікі:

141.	${\sqrt {8}}$	142.	${\sqrt[{3}]{8}}$
143.	${\sqrt[{3}]{-108}}$	144.	${\sqrt[{5}]{96}}$
145.	$2{\sqrt {405}}$	146.	${\dfrac {5}{2}}{\sqrt[{5}]{128}}$
149.	${\dfrac {12}{5}}{\sqrt {1+{\dfrac {1}{24}}}}$	150.	${\sqrt[{5}]{\dfrac {a^{14}}{b^{10}}}}$
151.	$a^{2}{\sqrt[{3}]{\dfrac {-0,343}{a^{6}x^{6}}}}$	152.	${\sqrt {\dfrac {(a^{2}-2ab+b^{2})}{y}}}{25}$
153.	${\sqrt {8a^{5}b^{2}-4a^{4}b^{3}}}$	154.	${\sqrt {\dfrac {a^{2}b+2ab^{2}+b^{2}}{3a^{2}-6ab+3b^{2}}}}$

Увесьці пад знак корня:
	155.	$2{\sqrt {3}}$	156.	$2{\sqrt[{3}]{3}}$
	157.	$y{\sqrt[{6}]{5}}$	158.	$0,2{\sqrt {50}}$
	159.	${\dfrac {a}{b}}{\sqrt {\dfrac {b}{a}}}$	160.	$-{\dfrac {a}{b}}{\sqrt[{3}]{-{\dfrac {b^{4}}{a^{5}}}}}$
	161.	$2ab^{m}{\sqrt[{n}]{3a^{m}b^{2}}}$	162.	${\dfrac {b-c}{b+c}}{\sqrt {\dfrac {a^{2}+bc}{b^{2}-2bc+c^{2}}}}$

Скараціць корні:
163.	${\sqrt[{8}]{a^{6}}}$	164.	${\sqrt[{18}]{a^{27}}}$
165.	$y{\sqrt[{-5}]{a^{20}}}$	166.	${\sqrt[{-12}]{a^{-8}}}$
167.	${\sqrt[{8}]{\dfrac {64a^{4}b^{12}}{81c^{-6}}}}$	168.	${\sqrt[{-4}]{a^{-8}b^{10}c^{-2}}}$

Прывесьці наступныя корні да супольнага паказальніка:
169.	${\sqrt[{6}]{a^{5}}}$; ${\sqrt[{4}]{a^{3}}}$	170.	${\sqrt[{3}]{2a^{2}}}$ і ${\sqrt[{6}]{ab^{5}}}$
171.	${\sqrt {\dfrac {3a^{5}}{b^{3}}}}$ і ${\sqrt[{9}]{\dfrac {10b^{2}}{a}}}$
172.	${\sqrt[{12}]{a^{2}b^{3}}}$, ${\sqrt[{4}]{a}}$ і ${\sqrt[{8}]{a^{3}}}$
173.	${\sqrt {\dfrac {a^{3}}{b^{2}}}}$, ${\sqrt[{5}]{\dfrac {x}{y^{4}}}}$ і ${\sqrt[{3}]{\dfrac {y}{z^{2}}}}$

Прадставіць наступныя корні ў нормальным відзе:
174.	$5{\sqrt {\dfrac {2}{5}}}$	175.	${\sqrt[{3}]{\dfrac {3}{4}}}$
176.	$2{\sqrt[{3}]{\dfrac {11}{54}}}$	177.	${\sqrt[{3}]{\dfrac {7}{20}}}$
178.	${\dfrac {3xy^{2}}{2}}{\sqrt {8}}{xy}$	179.	$b{\sqrt {{\dfrac {1}{b^{2}}}-{\dfrac {a^{2}}{b^{4}}}}}$
182.	${\sqrt {{\dfrac {3a+8b}{b}}-{\dfrac {2a-3b}{a}}}}$
183.	${\sqrt {{\dfrac {2a}{2a-b}}+{\dfrac {4ab}{4a^{2}-b^{2}}}-{\dfrac {b}{2a+b}}}}$

Падобнасьць корняў.

§26. Корні ёсьць падобныя тады, калі маюць аднаковыя паказальнікі і адны й тыя самыя падкарэнныя лікі; так, напрыклад, падобнымі корнямі будуць:

$5{\sqrt[{3}]{a^{2}}}bc$ і ${\dfrac {2}{3}}ac{\sqrt[{3}]{a^{2}bc}}$

Часам здараецца, што падобныя ў істоце корні, дзякуючы таму, што яны ня прыведзены да нормальнага віду, здаюцца непадобнымі, як, напрыклад, корні:

$3ab{\sqrt[{3}]{2a^{2}b^{6}x}}$ і $5b^{2}c{\sqrt[{3}]{16a^{5}c^{3}x^{4}}}$

Дзеля гэтага, каб знайсьці падобнасьць корняў, трэба прывесьці іх спачатку да нормальнага віду; тады:

$3ab^{2}{\sqrt[{3}]{2a^{2}x}}$ і $10ab^{2}c^{2}x{\sqrt[{3}]{2a^{2}x}}$

Як бачым, корні нашы — падобныя.

Грунтуючыся на аснове падобнасьці корняў, можам іх злучаць (водлуг правілаў злучэньня вымерных лікаў), напрыклад:

$4{\sqrt[{3}]{bx^{2}}}-5{\sqrt[{3}]{bx^{2}}}+3{\sqrt[{3}]{bx^{2}}}=2{\sqrt[{3}]{bx^{2}}}$

Калі падобныя корні маюць розныя літарныя коэфіцыенты, то пры злучэньні звычайна корань выносім за дужкі, напрыклад:

$5a^{3}{\sqrt {3ac}}-2b{\sqrt {3ac}}=(5a^{3}-2b){\sqrt {3ac}}$ Складаньне і адніманьне корняў.

§27. Складаньне і адніманьне ірацыянальных лікаў робім паводлуг правілаў складаньня і адніманьня вымерных лікаў, а ўласна:

Каб дадаць ці адняць ірацыянальныя адначлены, трэба выпісаць кожны член з уласьцівым знакам;

Каб дадаць ірацыянальны многочлен, трэба выпісаць папарадку ўсе яго члены з папярэднімі знакамі;

Каб адняць ірацыянальны многачлен, трэба ва ўсіх яго членах зьмяніць знакі на супраціўныя.

Посьле выкананьня дзеяньня ў кожным з трох пералічаных выпадкаў трэба зрабіць усе магчымыя ўпрошчаньні, г. ё. прывесьці корні да нормальнага віду і потым злучыць падобныя выразы:

ПРЫКЛАД I.

$7{\sqrt {2ax^{2}}}-3{\sqrt {5ab}}+({\sqrt {3b}}-4{\sqrt {2ax^{2}}})-(3{\sqrt {5ab}}+11{\sqrt {3b}}-8{\sqrt[{3}]{2ax^{2}}})=$
$=7{\sqrt[{3}]{2ax^{2}}}-3{\sqrt {5ab}}+{\sqrt {3b}}-4{\sqrt[{3}]{2ax^{2}}}-3{\sqrt {5ab}}-11{\sqrt {3b}}+8{\sqrt[{3}]{2ax^{2}}}=$
$=11{\sqrt[{3}]{2ax^{2}}}-6{\sqrt {5ab}}-8{\sqrt {3b}}$

ПРЫКЛАД II.

$3{\sqrt {\dfrac {an}{4}}}-{\bigg (}{\dfrac {16}{a}}{\sqrt {\dfrac {a^{3}n}{16}}}-3a{\sqrt {\dfrac {n}{a}}}+2n{\sqrt {\dfrac {a}{9n}}}{\bigg )}=3{\sqrt {\dfrac {an}{4}}}-{\dfrac {16}{3a}}{\sqrt {\dfrac {a^{3}n}{16}}}+$

$+3a{\dfrac {n}{a}}-2n{\sqrt {\dfrac {a}{9n}}}={\dfrac {3}{2}}{\sqrt {an}}-{\dfrac {16}{3a\cdot 4}}{\sqrt {a^{2}\cdot {an}}}+3a{\sqrt {\dfrac {an}{a^{2}}}}-2n{\sqrt {\dfrac {an}{9n^{2}}}}=$

$={\dfrac {3}{2}}{\sqrt {an}}-{\dfrac {4a}{3a}}{\sqrt {an}}+{\dfrac {3a}{a}}{\sqrt {an}}-{\dfrac {2n}{3n}}{\sqrt {an}}={\dfrac {3}{2}}{\sqrt {an}}-{\dfrac {4}{3}}{\sqrt {an}}+$

$+3{\sqrt {an}}-{\dfrac {2}{3}}{\sqrt {an}}=2{\dfrac {1}{2}}{\sqrt {an}}$

Задачы.

Выканаць дзеяньні і упросьціць.

184.	${\sqrt {117}}+{\sqrt {325}})-({\sqrt {52}}-{\sqrt {1573}})$
185.	$({\sqrt[{3}]{16}}+{\sqrt[{3}]{128}})+({\sqrt[{3}]{250}}-{\sqrt[{3}]{54}})$
186.	$3({\sqrt[{3}]{135}}+4{\sqrt[{3}]{40}})+6{\sqrt[{3}]{320}}-{\sqrt[{3}]{625}})$
187.	$6a{\sqrt {63ab^{3}}}-3{\sqrt {112a^{3}b^{3}}}+2ab{\sqrt {343ab}}-5b{\sqrt {28a^{3}b}})$
188.	$3{\sqrt[{5}]{2}}-{\dfrac {1}{2}}{\sqrt[{5}]{64}}+10{\sqrt[{5}]{486}}-6{\dfrac {1}{2}}{\sqrt[{5}]{2}})$
189.	$3{\dfrac {1}{2}}{\sqrt {24}}-{\dfrac {\sqrt[{3}]{54}}{4}}+2{\dfrac {\sqrt {99}}{3}}-1{\dfrac {1}{2}}{\sqrt {44}})+3{\sqrt[{3}]{2}}$
190.	${\sqrt[{4}]{162x^{4}y}}-{\sqrt[{3}]{54x^{3}y}}-{\sqrt[{4}]{32x^{8}y^{5}}}+{\sqrt[{3}]{16x^{6}y^{4}}})$
191.	$5{\sqrt[{3}]{x^{2}y^{5}}}+4y^{2}{\sqrt {\dfrac {x^{2}}{y}}}+{\dfrac {4y}{x^{2}}}{\sqrt[{3}]{-x^{8}y^{2}}}-{\Bigg (}6xy{\sqrt[{3}]{\dfrac {y^{2}}{x}}}+{\dfrac {3}{2}}xy^{2}{\sqrt[{3}]{-{\dfrac {8}{xy}}}}{\Bigg )}$
192.	${\sqrt {\dfrac {(a^{2}-b^{2})(a-b)^{2}}{a+b}}}+{\dfrac {1}{2a-3b}}{\sqrt {(2a-3b)^{2}(a-b)}}-$ $-(a-b){\sqrt {\dfrac {(a+b)^{2}}{a-b}}}$

Множаньне і дзяленьне корняў.

§28. 3 §11 ведаем, што корань здабытку ёсьць роўны здабытку корняў сумножнікаў, г. ё.:

${\sqrt[{n}]{abc}}={\sqrt[{n}]{a}}\cdot {\sqrt[{n}]{b}}\cdot {\sqrt[{n}]{c}}$;

значыцца, і наадварот:

${\sqrt[{n}]{a}}\cdot {\sqrt[{n}]{b}}\cdot {\sqrt[{n}]{c}}={\sqrt[{n}]{abc}}$

Адсюль вынікае наступнае правіла:

Каб памножыць корні з аднаковымі паказальнікамі, трэба памножыць іх падкарэнныя лікі.

Калі корні маюць розныя паказальнікі, то спачатку прыводзім іх да супольнага паказальніка, а потым ужо множны падкарэнныя лікі.

Калі пры корнях ёсьць коэфіцыенты, то іх множым асобна, а іpaцыянальныя вялічыні асобна.

ПРЫКЛАД I.

${\sqrt[{5}]{2a^{3}x}}\cdot {\sqrt[{5}]{2a^{4}x^{2}}}\cdot {\sqrt[{5}]{2a^{4}x^{2}}}={\sqrt[{5}]{32a^{8}x^{5}}}=2ax{\sqrt[{5}]{a^{3}}}$

ПРЫКЛАД II.

$15{\sqrt[{4}]{\dfrac {2a^{3}}{3b^{2}x}}}\cdot {\dfrac {1}{3}}ab{\sqrt[{3}]{3ax^{2}}}\cdot {\dfrac {4b}{x}}{\sqrt[{6}]{\dfrac {b}{2a^{4}x^{3}}}}=$

$=15{\sqrt[{12}]{\dfrac {8a^{9}}{27b^{6}x^{3}}}}\cdot {\dfrac {1}{3}}ab{\sqrt[{12}]{81ax^{4}x^{8}}}\cdot {\dfrac {4b}{x}}{\sqrt[{12}]{\dfrac {b^{2}}{4a^{8}x^{6}}}}={\dfrac {15\cdot 4ab^{2}}{3x}}{\sqrt[{12}]{\dfrac {8\cdot 81a^{13}b^{2}x^{8}}{27\cdot 4a^{8}b^{6}x^{9}}}}=$

$={\dfrac {20ab^{2}}{x}}{\sqrt[{12}]{\dfrac {6a^{5}}{b^{4}x}}}={\dfrac {20ab^{2}}{x}}{\sqrt[{12}]{\dfrac {6a^{5}\cdot {b^{8}}x^{11}}{b^{12}x^{12}}}}=20{\dfrac {ab}{x^{2}}}{\sqrt[{12}]{6a^{5}b^{8}x^{11}}}$

Дзяленьне корняў выконываем на аснове правіла аб дабываньні корня з дробу, якое кажа (§11), што корань дробу ёсьць роўны корню лічніка, падзеленаму на корань назоўніка, ці:

${\sqrt[{n}]{\dfrac {a}{b}}}={\dfrac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}$,

а, значыцца, і наадварот:

${\dfrac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}={\sqrt[{n}]{\dfrac {a}{b}}}$,

адкуль вынікае, што

Каб падзяліць корні з аднаковымі паказальнікамі, трэба падзяліць іх падкарэнныя лікі.

Калі корні маюць розныя паказальнікі, то перад дзеяньнем спачатку прыводзім іх да супольнага паказальніка.

Калі пры корнях ёсьць коэфіцыенты, то іх дзелім асобна, а ірацыянальныя вялічыні асобна.

ПРЫКЛАД.

${\dfrac {3}{10}}x{\sqrt[{6}]{\dfrac {6a^{5}}{x^{4}}}}:{\dfrac {2}{5}}{\sqrt[{4}]{\dfrac {x^{2}}{a^{3}}}}={\dfrac {3}{10}}x{\sqrt[{12}]{\dfrac {36a^{10}}{x^{8}}}}:{\dfrac {2}{5}}{\sqrt[{12}]{\dfrac {x^{6}}{a^{9}}}}={\dfrac {3\cdot 5\cdot {x}}{10\cdot 2}}{\sqrt[{12}]{\dfrac {36a^{19}}{x^{14}}}}$

$={\dfrac {3x}{4}}{\sqrt[{12}]{\dfrac {a^{12}36a^{7}x^{10}}{x^{24}}}}={\dfrac {3a}{4x}}{\sqrt[{12}]{36a^{7}x^{10}}}$

Задачы.

Выканаць дзеяньні і упросьціць.
193.	${\sqrt {3}}\cdot {\sqrt {27}}$	194.	${\sqrt[{3}]{2}}\cdot {\sqrt[{3}]{16}}$
195.	$2{\sqrt[{3}]{16}}\cdot {\dfrac {3}{4}}{\sqrt[{3}]{-5}}$	196.	${\dfrac {1}{3}}{\sqrt[{4}]{27}}\cdot {\dfrac {1}{9}}{\sqrt[{4}]{243}}$
197.	$2{\sqrt[{4}]{32}}\cdot {\sqrt[{4}]{216}}\cdot 3{\sqrt[{4}]{60}}$
198.	${\sqrt[{5}]{12}}\cdot {\sqrt[{5}]{450}}\cdot {\sqrt[{5}]{36}}\cdot {\sqrt[{5}]{125}}$
199.	$(7{\sqrt {35}}+8{\sqrt {27}}-6{\sqrt {48}}+3{\sqrt {70}})\cdot 4{\sqrt {21}}$.
200.	$(2{\sqrt[{3}]{5}}+3{\sqrt[{4}]{6}}+4{\sqrt[{6}]{8}}+8{\sqrt {3}})\cdot 4{\sqrt[{3}]{25}}$
201.	$(5{\sqrt {6}}-6{\sqrt {5}})(3{\sqrt {6}}+4{\sqrt {5}})$
202.	${\dfrac {12a^{3}}{5x^{2}}}{\sqrt[{4}]{\dfrac {a^{7}x}{32}}}\cdot {\dfrac {10x^{3}}{3a^{2}}}{\sqrt[{4}]{{\dfrac {4}{a^{3}}}x}}$
203.	$({\sqrt {2}}+{\sqrt[{3}]{2}}-{\sqrt[{6}]{2}})({\sqrt[{6}]{5}}-{\sqrt[{3}]{5}}+{\sqrt {5}})$
204.	${\sqrt {{\dfrac {4}{x}}-{\dfrac {x}{4}}}}\cdot {\sqrt {{\dfrac {4}{x}}+{\dfrac {x}{4}}}}$
205.	$({\sqrt {a^{3}bc}}-{\sqrt {b^{3}cd}}+{\sqrt {c^{3}da}}-{\sqrt {d^{3}ab}})\cdot {\sqrt {abcd}}$
206.	$(a-{\sqrt {ab}}+{\sqrt {a^{2}+ab}})(b-{\sqrt {ab}}+{\sqrt {b^{2}+ab}})$
207.	$a^{-1}b^{3}{\sqrt[{5}]{a^{-1}b^{9}}}\cdot 4a^{3}b^{-3}{\sqrt[{5}]{a^{3}b}}\cdot {\dfrac {1}{8}}a^{4}b^{-1}{\sqrt[{5}]{b^{4}a^{-3}}}$
208.	${\sqrt {28}}:{\sqrt {7}}$	209.	${\sqrt {\dfrac {12}{35}}}:{\sqrt {\dfrac {7}{5}}}$
210.	$2{\sqrt[{3}]{\dfrac {4}{25}}}:{\dfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\dfrac {2}{125}}}$	211.	${\sqrt[{4}]{27a^{3}}}:{\sqrt[{4}]{\dfrac {a^{2}}{3}}}$
212.	${\sqrt[{4}]{250}}:{\sqrt {5}}$	213.	${\sqrt {\dfrac {3}{5}}}:{\sqrt[{6}]{3{\dfrac {3}{8}}}}$
214.	${\sqrt[{6}]{0,064}}:{\sqrt {10}}$	215.	${\sqrt[{6}]{16x^{3}y^{4}}}:{\sqrt[{3}]{2xy^{2}}}$
218.	${\sqrt {ax+bx}}:{\sqrt {a^{2}+ab}}$
219.	${\sqrt {3(12a^{3}-16a^{2}+7a-1)}}:{\sqrt {a-{\dfrac {1}{3}}}}$
220.	${\sqrt {3a^{3}b-6a^{2}b^{2}+3ab^{3}}}:{\sqrt {a^{2}-2ab+b^{2}}}$
221.	$(7{\sqrt {35}}-5{\sqrt {6}}-3{\sqrt {45}}+8{\sqrt {8}}):{\sqrt {10}}$
222.	${\Bigg (}2{\sqrt[{4}]{x^{3}y}}-3{\sqrt[{4}]{\dfrac {xy^{3}}{2}}}+{\sqrt[{4}]{\dfrac {1}{x}}}{\Bigg )}:{\dfrac {1}{xy}}{\sqrt[{4}]{x^{3}y^{2}}}$
223.	$({\sqrt {15}}+{\sqrt {30}}-{\sqrt {10}}-2{\sqrt {5}}):({\sqrt {5}}+{\sqrt {10}})$
224.	${\dfrac {2a^{2}b}{c}}{\sqrt[{3}]{\dfrac {a^{3}b^{2}}{c^{4}d}}}:{\dfrac {4ab^{2}}{c^{2}}}{\sqrt[{5}]{\dfrac {a^{6}d^{2}}{b^{8}c^{4}}}}$
225.	$(a^{2}b{\sqrt[{5}]{a^{2}b}}+ab{\sqrt[{4}]{a^{3}b^{2}}}-{\dfrac {a^{2}}{b}}{\sqrt[{10}]{a^{4}b^{2}}}:{\dfrac {b^{2}}{a}}{\sqrt[{10}]{a^{2}b}})$
226.	$({\sqrt[{5}]{8x^{3}}}-3{\sqrt {3}}):({\sqrt[{5}]{2x}}-{\sqrt {3}})$
227.	$(1-a):(1-{\sqrt {a}})$
228.	${\sqrt {\dfrac {a+b+c}{{\dfrac {1}{a}}+{\dfrac {1}{b}}+{\dfrac {1}{c}}}}}:{\sqrt {\dfrac {bc+ca+ab}{{\dfrac {1}{bc}}+{\dfrac {1}{ca}}+{\dfrac {1}{ab}}}}}$

Падняцьце корняў у ступень і дабываньне з іх корняў.

§29. Каб корань падняць у ступень, трэба падняць у гэтую ступень падкарэнную велічыню.

І праўда:

$({\sqrt[{n}]{a}})^{p}=$	${\sqrt[{n}]{a}}\cdot {\sqrt[{n}]{a}}\cdot {\sqrt[{n}]{a}}....$	$={\sqrt[{n}]{a\cdot {a}\cdot {a}}}={\sqrt[{n}]{a^{p}}}$
	$p$ разоў	$p$ разоў
		што й трэба было давесьці.

Вынік. Калі корань падносім у такую ступень, якой паказальнік ёсьць роўны паказальніку корня, то проста зносім знак корня.

Увага. Калі пры корні ёсьць коэфіцыент, то, падносячы корань у ступень, трэба паднесьці ў гэтую ступень і коэфіцыэнт.

ПРЫКЛАД I.

${\big (}{\sqrt[{7m}]{3bc^{2}}}{\big )}^{7m}=3bc^{2}$

ПРЫКЛАД II.

${\bigg (}4ax^{5}{\sqrt {\dfrac {5b}{2ax}}}{\bigg )}^{3}=64a^{3}x^{15}{\sqrt {\dfrac {125b^{3}}{8a^{3}x^{3}}}}64a^{3}x^{15}{\sqrt {\dfrac {125b^{3}2ax}{16a^{4}x^{4}}}}=$
$={\frac {64a^{3}x^{15}\cdot 5b}{4a^{2}x^{2}}}{\sqrt {10abx}}=80abx^{13}\cdot {\sqrt {10abx}}$

Цяпер хай трэба дабыць корань $k$-ой ступені з велічыні ${\sqrt[{n}]{a}}$

Абазначым атрыманы пры гэтым рэзультат праз $x$, тады:

${\sqrt[{k}]{\sqrt[{n}]{a}}}=x$

Падносячы абодва бакі гэтай роўнасьці ў $k$-ую ступень, будзем мець:

${\sqrt[{n}]{a}}=x^{k}$

Падносячы абодва бакі апошняй роўнасьці ў ступень $n$, атрымаем:

$a=x^{kn}$

Калі цяпер, наадворот, з абодвух бакоў дабудзем корань ступені $kn$, то знойдзем:

${\sqrt[{kn}]{a}}=x$

а з прычыны таго, што на пачатку доваду праз $x$ мы абазначылі ${\sqrt[{k}]{\sqrt[{n}]{a}}}$, значыцца:

${\sqrt[{k}]{\sqrt[{n}]{a}}}={\sqrt[{kn}]{a}}$,

адкуль:

Каб дабыць корань з корня, трэба перамножыць іх паказальнікі.

Вынік. Калі паказальнік корня можа быць раскладзены на сумножнікі, то дабываньне корня данае ступені можна раскласьці на пасьледаўнае дабываньне корняў з паказальнікамі, роўнымі даным сумножнікам, напрыклад:

1.${\sqrt[{6}]{729}}={\sqrt[{3}]{\sqrt[{2}]{729}}}$; ${\sqrt {729}}=27$ і ${\sqrt[{3}]{27}}=3$,

значыцца: ${\sqrt[{6}]{729}}=3$

2.${\sqrt[{12}]{4096}}={\sqrt[{3}]{\sqrt {\sqrt {4096}}}}$; ${\sqrt {4096}}=64$, ${\sqrt {64}}=8$, а ${\sqrt[{3}]{8}}=2$,

значыцца: ${\sqrt[{12}]{4096}}=2$

Калі пры дабываньні корня з усяго выразу пры корні стаіць коэфіцыэнт, то звычайна спачатку ўводзім яго пад знак корня, напрыклад:

1.${\sqrt[{3}]{2x^{2}{\sqrt {3ax}}}}={\sqrt[{3}]{{\sqrt {4x^{4}}}\cdot 3ax}}={\sqrt[{6}]{12ax^{5}}}$

2.${\sqrt {a{\sqrt {2ab{\sqrt[{3}]{3a^{2}b}}}}}}={\sqrt {a{\sqrt {\sqrt[{3}]{8a^{2}b^{3}\cdot 3a^{2}b}}}}}={\sqrt {a{\sqrt[{6}]{24a^{5}b^{4}}}}}=$

$={\sqrt {\sqrt[{6}]{a^{6}\cdot 24a^{5}b^{4}}}}={\sqrt[{12}]{24a^{11}b^{4}}}$

Задачы.

229.$({\sqrt {3}})^{3}$	230.${\big (}{\sqrt[{3}]{2}}{\big )}^{2}$
231.${\big (}3{\sqrt[{3}]{4}}{\big )}^{2}$	232.${\big (}-{\sqrt[{14}]{12}}){\big )}^{7}$
233.${\big (}3{\sqrt[{3}]{a}}{\big )}^{5}$	234.${\big (}{\sqrt[{mn}]{x}}{\big )}^{n}$
235.${\big (}a^{2}x{\sqrt[{3}]{3a^{2}x}}{\big )}^{4}$	236.${\bigg (}-2a{\sqrt[{6}]{\dfrac {3}{a^{4}}}}{\bigg )}^{4}$
237.${\big (}{\sqrt[{5}]{(x-y)^{2}}}{\big )}^{4}$	238.${\bigg (}{\dfrac {\sqrt {a^{-3}b^{2}}}{a^{-2}b^{3}}}{\bigg )}^{3}$
239.${\bigg (}a^{-1}b^{2}{\sqrt[{3}]{(4a^{n}b^{}-2}}{\bigg )}^{-2}$	240.${\big (}{\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}{\big )}^{2}$
241.${\big (}{\sqrt[{6}]{2}}-{\sqrt {3}}{\big )}^{2}$	242.${\big (}{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}+{\sqrt {6}}{\big )}^{2}$
243.${\big (}{\sqrt {3+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3-{\sqrt {5}}}}{\big )}^{2}$	244.${\big (}2{\sqrt {15}}-3{\sqrt {5}}{\big )}^{2}-{\big (}{\sqrt {21}}-2{\sqrt {7}}{\big )}^{2}$
245.${\big (}{\sqrt {5}}+{\sqrt {4}}{\big )}\cdot {\big (}{\sqrt {5}}-{\sqrt {4}}{\big )}$	246.${\bigg (}{\sqrt {x+{\sqrt {x}}}}-{\sqrt {x-{\sqrt {x}}}}{\big )}^{2}$
247.${\sqrt {\sqrt[{3}]{a^{2}}}}$	248.${\sqrt[{3}]{\sqrt {125}}}$
249.${\sqrt {a{\sqrt[{4}]{a^{3}}}}}$	250.${\sqrt {\sqrt[{4}]{a^{10}b^{2}c^{8}}}}$
251.${\sqrt {x^{3}{\sqrt[{3}]{x{\sqrt[{4}]{x}}}}}}$	252.${\sqrt {x{\sqrt[{3}]{{\dfrac {x^{2}}{y}}+{\sqrt {\dfrac {x}{y}}}}}}}$
253.${\sqrt[{4}]{2x{\sqrt[{3}]{2x^{2}y\cdot 3y{\sqrt {3xy^{3}}}}}}}$	254.${\dfrac {3}{2}}{\sqrt {{\dfrac {1}{2}}x^{4}y^{2}{\sqrt {{\dfrac {x}{2}}{\sqrt {{\dfrac {1}{4}}x}}}}}}$
255.${\sqrt[{4}]{20736}}$	256.${\sqrt[{8}]{6561}}$
257.${\sqrt[{4}]{a^{4}+4a^{3}+6a^{2}+4a+1}}$
258.${\sqrt[{4}]{16a^{4}-48a^{3}b+54a^{2}b^{2}-27ab^{3}+{\dfrac {81}{16}}b^{4}}}$

Зьніштажэньне нявымернасьці ў многачленных назоўніках.

§30. Разважым галоўныя выпадкі, якія могуць здарыцца пры вылічэньнях:

I. Калі назоўнік дробу ёсьць сума двох квадратовых корняў, або сума вымернага ліку і квадратовага корня, то множым лічнік і назоўнік на розьніцу гэтых лікаў. Калі-ж назоўнік ёсьць розьніца двох квадратовых корняў, або розьніца вымернага ліку і корня, то множым лічнік і назоўнік на суму гэтых лікаў. У абодвух выпадках атрымліваем у назоўніку розьніцу квадратаў лікаў, г. ё. розьніцу двох вымерных лікаў.

ПРЫКЛАДЫ:

1.${\dfrac {4}{3+{\sqrt {5}}}}={\dfrac {4(3-{\sqrt {5}})}{3+{\sqrt {5}}(3-{\sqrt {5}})}}={\dfrac {4(3-{\sqrt {5}})}{9-5}}=3-{\sqrt {5}}$

2.${\dfrac {{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}}{{\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}}}={\dfrac {({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}})({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}})}{({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}})}}={\dfrac {({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}})^{2}}{3-2}}=$

$=3+2{\sqrt {6}}+2=5+2{\sqrt {6}}$

II. У падобны спосаб робім, калі назоўнік зьмяшчае альгэбрычную суму некалькіх нявымерных лікаў, напрыклад:

${\dfrac {2{\sqrt {6}}}{{\sqrt {5}}-{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}}}={\dfrac {2{\sqrt {6}}}{{\sqrt {5}}-({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})}}={\dfrac {2{\sqrt {6}}({\sqrt {5}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})}{5-({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})^{2}}}$

$={\dfrac {2{\sqrt {6}}({\sqrt {5}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})}{5-3+2{\sqrt {6}}-2}}={\dfrac {\not 2{\sqrt {\not 6}}({\sqrt {5}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})}{\not 2{\sqrt {\not 6}}}}={\sqrt {5}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}$

III. Калі назоўнік заключае ў сабе суму, або розьніцу корняў аднаковых ступеняў (вышэй другой), то, карыстаючыся правіламі §§ 50—51 ч. 1, знаходзім дадатковы сумножнік, на які множым лічнік і назоўнік дробу; напрыклад:

${\dfrac {21}{{\sqrt[{3}]{4}}+{\sqrt[{3}]{3}}}}={\dfrac {21{\big (}{\sqrt[{3}]{4^{2}}}-{\sqrt[{3}]{4\cdot 3}}+{\sqrt[{3}]{3^{2}}}{\big )}}{{\big (}{\sqrt[{3}]{4}}+{\sqrt {3}}{\big )}{\big (}{\sqrt[{3}]{4^{2}}}-{\sqrt[{3}]{4\cdot 3}}+{\sqrt[{3}]{3^{2}}}{\big )}}}=$

${\dfrac {21{\sqrt[{3}]{4^{2}}}-21{\sqrt[{3}]{12}}+21{\sqrt[{3}]{3^{2}}}}{4+3}}=6{\sqrt[{3}]{2}}-3{\sqrt[{3}]{12}}+3{\sqrt[{3}]{9}}$

IV. Калі назоўнік зьмяшчае суму, або розьніцу двох корняў розных ступеняў, то спачатку прыводзім іх да супольнага паказальніка, а потым ужо прыстасоўваем папярэднія правілы; напрыклад:

${\dfrac {11}{{\sqrt {3}}+{\sqrt[{4}]{5}}}}={\dfrac {11}{{\sqrt[{4}]{9}}+{\sqrt[{4}]{5}}}}={\dfrac {11{\big (}{\sqrt[{4}]{9}}-{\sqrt[{4}]{5}}{\big )}}{{\sqrt {9}}-{\sqrt {5}}}}={\dfrac {11{\big (}{\sqrt {3}}-{\sqrt[{4}]{5}}{\big )}{\big (}3+{\sqrt {5}}}{{\big (}3-{\sqrt {5}}{\big )}{\big (}3+{\sqrt {5}}}}=$

$={\dfrac {{\big (}11{\sqrt {3}}-11{\sqrt[{4}]{5}}{\big )}{\big (}3+{\sqrt {5}}{\big )}}{9-5}}={\dfrac {33{\sqrt {3}}+11{\sqrt {15}}-33{\sqrt[{4}]{5}}-11{\sqrt[{4}]{125}}}{4}}$

Задачы.

Зьніштожыць нявымернасьць у назоўніках.
259.${\dfrac {a}{\sqrt {a}}}$	260.${\dfrac {b^{2}}{\sqrt {b}}}$
261.${\dfrac {a^{2}-b^{2}}{\sqrt[{3}]{a-b}}}$	262.${\dfrac {{\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}}{{\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}}}$
263.${\dfrac {\sqrt {3}}{2+{\sqrt {3}}}}$	264.${\dfrac {1-a}{\sqrt {1-{\sqrt {a}}}}}$
265.${\dfrac {5{\sqrt {3}}-3{\sqrt {5}}}{{\sqrt {5}}-{\sqrt {3}}}}$	266.${\dfrac {{\sqrt {ax}}+{\sqrt {bx}}}{a{\sqrt {x}}+b{\sqrt {x}}}}$
267.${\dfrac {12}{3+{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}}}$	268.${\dfrac {2+{\sqrt {30}}}{{\sqrt {5}}+{\sqrt {6}}-{\sqrt {7}}}}$
269.${\dfrac {\sqrt {5abx}}{\sqrt {ax+b{\sqrt {2x}}}}}$	270.${\dfrac {60{\sqrt {2}}+12{\sqrt {3}}}{5{\sqrt {6}}+3{\sqrt {2}}-2{\sqrt {3}}}}$
271.${\dfrac {1}{{\sqrt[{3}]{5}}-{\sqrt[{3}]{2}}}}$	272.${\dfrac {1}{{\sqrt[{3}]{4}}+{\sqrt[{3}]{2}}}}$
273.${\dfrac {1}{{\sqrt[{4}]{a}}+{\sqrt[{4}]{b}}}}$

Пераробка корня віду ${\sqrt {A\pm {\sqrt {B}}}}$.

§31. Пры вылічэньнях альгэбрычных часам атрымоўваем выраз віду ${\sqrt {A\pm {\sqrt {B}}}}$, у якім A і B ёсьць вымерныя лікі, але B ня ёсьць поўны квадрат. Выраз гэты ў даным відзе нязручны для вылічэньняў. Істнуюць аднак-жа варункі, пры якіх такі складаны корань можам замяніць на суму або розьніцу двох звычайных корняў. Разгледзім гэтыя варункі.

Хай: ${\sqrt {A+{\sqrt {B}}}}={\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}$ i ${\sqrt {A-{\sqrt {B}}}}={\sqrt {x}}-{\sqrt {y}}$

Складаючы і аднімаючы гэтыя раўнаньні бакамі, атрымаем:

$2{\sqrt {x}}={\sqrt {A+{\sqrt {B}}}}+{\sqrt {A-{\sqrt {B}}}}$ і $2{\sqrt {y}}={\sqrt {A+{\sqrt {B}}}}+{\sqrt {A-{\sqrt {B}}}}$

Падносячы ў квадрат, будзем мець:

$4x=A+{\sqrt {B}}+A-{\sqrt {B}}+2{\sqrt {A^{2}-B}}$і$4y=A+{\sqrt {B}}+A-{\sqrt {B}}-2{\sqrt {A^{2}-B}}$.

або: $4x=2A+2{\sqrt {A^{2}-B}}$ і $4y=2A-2{\sqrt {A^{2}-B}}$,

ці: $x={\dfrac {A+{\sqrt {A^{2}-B}}}{2}}$ і $y={\dfrac {A-{\sqrt {A^{2}-B}}}{2}}$

Адкуль: ${\sqrt {x}}={\sqrt {\dfrac {A+{\sqrt {A^{2}-B}}}{2}}}$ і ${\sqrt {y}}={\sqrt {\dfrac {A-{\sqrt {A^{2}-B}}}{2}}}$

Значыцца: ${\sqrt {x}}\pm {\sqrt {y}}=$

$={\sqrt {A}}\pm {\sqrt {B}}={\sqrt {A+{\sqrt {A^{2}-B}}}}{2}{\sqrt {A-{\sqrt {A^{2}-B}}}}{2}$

Калі $(A^{2}-B)$ ёсьць поўны квадрат, то $x$ і $y$ ёсьць вымерныя лікі і правы бок выведзенай роўнасьці будзе куды прасьцей ад левага, напрыклад:

${\sqrt {6+{\sqrt {11}}}}$

можам раскласьці на суму корняў другой ступені, бо $6^{2}-11$ ёсьць поўны квадрат; значыцца

${\sqrt {6+{\sqrt {11}}}}={\sqrt {\dfrac {6+5}{2}}}+{\sqrt {\dfrac {6-5}{2}}}={\sqrt {\dfrac {11}{2}}}+{\sqrt {\dfrac {1}{2}}}$

Выраз ${\sqrt {8-2{\sqrt {12}}}}$ можна раскласьці на розьніцу корняў, бо, уводзячы $2$ пад знак корня, будзем мець ${\sqrt {8-{\sqrt {48}}}}$, а дзеля таго, што $8^{2}-48=16$ ёсьць поўны квадрат, дык:

${\sqrt {8-2{\sqrt {12}}}}={\sqrt {8-{\sqrt {48}}}}={\sqrt {\dfrac {8+4}{2}}}-{\sqrt {\dfrac {8-4}{2}}}={\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}$

Вылічыўшы з прыбліжэньнем да $0,001$, знойдзем:

${\sqrt {6}}=2,448...,{\sqrt {2}}=1,414...$,

адсюль: ${\sqrt {8-2{\sqrt {12}}}}={\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}=2,448....-1,414....=1,034....$

Упрошчаньне складанага корня мае прыстасаваньне у геомэтрыі пры вылічэньні бакоў упісаных многакутнікаў; так, напрыклад, пры радыусе, роўным адзінцы, бок упісанага 12-кутніка выражаецца формулай:

$a_{12}={\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}$

Перарабіўшы гэты складаны корань на розьніцу звычайных корняў, будзем мець:

$a_{12}={\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}={\sqrt {\dfrac {3}{2}}}-{\sqrt {\dfrac {1}{2}}}={\dfrac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{2}}=$
$={\dfrac {2,448-1,414}{2}}=0,517.$ ${\bigg (}$з дакладнасьцю да ${\dfrac {1}{2000}}{\bigg )}$

Пераробка ${\sqrt {A\pm {\sqrt {B}}}}$ была вядома яшчэ Эвкліду (каля 300 г. посьле Нар. Хр.), вядомаму грэцкаму геомэтру, але ў альгэбрычнай форме была дадзена індусам Бхаскарай (1141—1225).

3адачы.

Упросьціць наступныя складаныя корні:
274.${\sqrt {3+{\sqrt {8}}}}$	275.${\sqrt {8-{\sqrt {28}}}}$
276.${\sqrt {10-{\sqrt {84}}}}$	277.${\sqrt {7+2{\sqrt {10}}}}$
278.${\sqrt {13-2{\sqrt {30}}}}$	279.${\sqrt {57-12{\sqrt {15}}}}$
280.${\sqrt {{\dfrac {5}{7}}+{\dfrac {1}{7}}{\sqrt {21}}}}$	281.${\sqrt {{\dfrac {21}{22}}-{\dfrac {2}{11}}{\sqrt {5}}}}$
282.${\sqrt {0,38+3{\sqrt {0,0091}}}}$	283.${\sqrt[{4}]{14+6{\sqrt {5}}}}$
284.${\sqrt {4{\sqrt {5}}-{\sqrt {60}}}}$	285.${\sqrt {4+{\sqrt {7}}}}+{\sqrt {4-{\sqrt {7}}}}$
286.${\sqrt {6+{\sqrt {20}}}}-{\sqrt {6-{\sqrt {20}}}}$

Выразы з дробавымі паказальнікамі^[3].

§32. Мы ўжо ведаем, што пры дабываньні корня са ступені трэба паказальнік ступені падзяліць на паказальнік корня, напрыклад:

${\sqrt[{3}]{a^{1}5b^{1}0}}=a^{3}b^{2}$

Калі правіла гэта будзем стасаваць і ў тым выпадку, калі паказальнік ступені ня дзеліцца на паказальнік корня, то атрымаем выраз з дробавым паказальнікам, напрыклад:

${\sqrt[{3}]{a^{2}}}$ можам	напісаць у выглядзе $a^{\frac {2}{3}}$,
выраз	${\sqrt[{4}]{ab^{3}}}$ у форме $a^{\frac {1}{4}}b^{\frac {3}{4}}$,
наогул:	${\sqrt[{m}]{a^{k}}}=a^{\frac {k}{m}}$

Адсюль бачым, што лічнік дробавага паказальніка азначае паказальнік ступені данага ліку, а назоўнік — корня.

Замяняючы ірацыянальныя лікі на лікі з дробавымі паказальнікамі, мы ўсе дзеяньні з ірацыянальнымі лікамі выконываем водлуг правіл, выведзеных для вымерных лікаў, што робіць альгэбрычныя вылічэньні больш лёгкімі і прасьцейшымі.

§33. Каб перамножыць лікі з дробавымі паказальнікамі, трэба дадаць паказальнікі пры аднаковых сумножніках.

І праўда:

$a^{\frac {k}{m}}\cdot {a^{\frac {p}{r}}}={\sqrt[{m}]{k}}\cdot {\sqrt[{r}]{p}}={\sqrt[{mr}]{a^{kr}}}\cdot {\sqrt[{mr}]{a^{mp}}}={\sqrt[{mr}]{a^{kr+mp}}}=a^{\frac {kr+mp}{mr}}=a^{{\frac {k}{m}}+{\frac {p}{r}}}$,

што й трэба было давесьці.

ПРЫКЛАД I. $a^{\frac {2}{5}}\cdot {a}^{\frac {3}{5}}=a^{\frac {5}{5}}=a$

ПРЫКЛАД II. $x^{\frac {2}{3}}\cdot {x}^{\frac {3}{4}}\cdot {x}^{\frac {5}{6}}=x^{\frac {8+9+10}{12}}=x^{\frac {9}{4}}$

Каб падзяліць два лікі з дробавымі паказальнікамі, трэба ад паказальніка дзеліва адняць паказальнік дзельніка.

І праўда:

$a^{\frac {k}{m}}:{a}^{\frac {p}{r}}={\sqrt[{m}]{a^{k}}}:{\sqrt[{r}]{a^{p}}}={\sqrt[{mr}]{a^{kr}}}:{\sqrt[{mr}]{a^{mp}}}={\sqrt[{mr}]{a^{kr-mp}}}=a^{\frac {kr-mp}{mr}}=a^{{\frac {k}{m}}-{\frac {p}{r}}}$,

што й трэба было давесьці.

ПРЫКЛАД I. $a^{\frac {3}{4}}:{a}^{\frac {1}{4}}=a^{\frac {2}{4}}=a^{\frac {1}{2}}$

ПРЫКЛАД II. $a^{\frac {5}{6}}:{a}^{\frac {3}{8}}=a^{\frac {20-9}{24}}=a^{\frac {11}{24}}$

Каб лік з дробавым паказальнікам паднесьці ў ступень, трэба перамножыць паказальнікі ступеняў.

І праўда:

${\bigg (}a^{\frac {k}{m}}{\bigg )}^{\frac {p}{r}}$$=$${\sqrt[{r}]{{\bigg (}a^{\frac {k}{m}}{\bigg )}^{p}}}$$=$${\sqrt[{r}]{{\bigg (}{\sqrt[{m}]{a^{k}}}{\bigg )}^{p}}}$$=$${\sqrt[{r}]{\sqrt[{m}]{a^{kp}}}}$$=$${\sqrt[{mr}]{a^{kp}}}=a^{\frac {kp}{mr}}$$=$$a^{{\frac {k}{m}}\cdot {\frac {p}{r}}}$,

што й трэба было давесьці.

ПРЫКЛАД I. ${\bigg (}a^{\frac {3}{5}}{\bigg )}^{\frac {2}{3}}=a^{{\frac {3}{5}}\cdot {\frac {2}{3}}}=a^{\frac {2}{5}}$

ПРЫКЛАД II. ${\bigg (}a^{\frac {4}{5}}{\bigg )}^{\frac {25}{4}}=a^{{\frac {4}{5}}\cdot {\frac {25}{4}}}=a^{5}$

Каб дабыць корань з ліку з дробавым паказальнікам, трэба паказальнік ступені падзяліць на паказальнік корня.

І праўда, роўнасьць

${\sqrt[{^{p}/_{r}}]{a^{\frac {k}{m}}}}=a^{{\frac {k}{m}}:{\frac {p}{r}}}$

ёсьць правільная, бо, падносячы яе ў ступень ${\frac {p}{r}}$, кожны яе бок заменіцца на $a^{\frac {k}{m}}$

ПРЫКЛАД I. ${\sqrt[{^{2}/_{5}}]{a^{^{4}/_{5}}}}=a^{^{4}/_{5}:^{2}/_{5}}=a^{2}$

ПРЫКЛАД II. ${\sqrt {a^{^{6}/_{7}}\cdot {b}^{^{2}/_{3}}}}=a^{^{3}/_{7}}\cdot {b}^{^{1}/_{3}}$

Задачы.

Замяніць корні дробавымі паказальнікамі:

287.${\sqrt[{3}]{a^{2}}}$	288.${\sqrt[{3}]{a^{2}}}$
289.${\sqrt[{5}]{a^{-3}b^{4}}}$	290.${\sqrt[{-2}]{a^{-3}}}$

Замяніць дробавыя паказальнікі корнямі.
291.$a^{^{5}/_{6}}$	292.$a^{-^{3}/_{4}}$
293.$a^{-^{3}/_{2}}$	294.$(a-b)^{^{5}/_{3}}$
295.$3a^{-^{1}/_{2}}(a-b)^{^{3}/_{8}}$

Вылічыць лікавыя значэньні шляхам упрошчаньня.
296.$4^{^{1}/_{2}}$	297.$81^{^{3}/_{4}}$
298.$16^{-^{5}/_{4}}$	299.$32^{-^{4}/_{5}}$
300.$(-8)^{^{2}/_{3}}$	301.$(-27)^{^{4}/_{3}}$
302.${\bigg (}{\dfrac {25}{36}}{\bigg )}^{-^{1}/_{2}}$	303.$(0,64)^{0,5}$
304.$81^{-0,75}$	305.${\sqrt[{^{2}/_{3}}]{16}}$
306.${\sqrt[{^{3}/_{5}}]{-8}}$	307.${\sqrt[{1^{1}/_{3}}]{16}}$
308.${\sqrt[{^{5}/_{6}}]{27^{2^{1}/_{2}}}}$

Выканаць паказаныя дзеяньні.
309.$a^{^{2}/_{3}}\cdot {b}^{^{3}/_{5}}\cdot {a}^{^{3}/_{4}}\cdot {b}^{^{2}/_{3}}$	310.$a^{^{7}/_{12}}b^{^{5}/_{6}}:{a}^{^{2}/_{3}}b^{^{3}/_{4}}$
311.${\Big (}a^{^{3}/_{2}}+b^{^{3}/_{2}}{\Big )}{\Big (}a^{^{1}/_{2}}-b^{^{1}/_{2}}{\Big )}$	312.$27^{^{3}/_{4}}\cdot 3^{^{3}/_{4}}$
313.${\Big (}a^{^{3}/_{4}}+a^{^{1}/_{4}}b^{^{1}/_{2}}-b^{^{5}/_{4}}{\Big )}$	314.${\Big (}a^{^{2}/_{3}}b^{^{3}/_{4}}{\Big )}^{^{12}/_{5}}$
315.${\Big (}0,1a^{^{1}/_{4}}+0,5b^{^{1}/_{2}}+0,3c^{^{1}/_{7}}{\Big )}^{2}$
316.${\Big (}7{\dfrac {2}{7}}{\Big )}^{^{3}/_{8}}\cdot {\Big (}1{\dfrac {2}{5}}{\Big )}^{^{3}/_{8}}:{\Big (}10{\dfrac {1}{5}}{\Big )}^{^{3}/_{8}}$
317.${\Big (}a^{^{1}/_{2}}-b^{^{1}/_{2}}-c^{^{1}/_{2}}+2b^{^{1}/_{4}}c^{^{1}/_{4}}{\Big )}:{\Big (}a^{^{1}/_{4}}+b^{^{1}/_{4}}-c^{^{1}/_{4}}{\bigg )}$
318.${\sqrt[{5}]{a^{^{5}/_{3}}}}$	319.${\sqrt[{^{2}/_{3}}]{a^{4}}}$
320.${\sqrt[{^{3}/_{4}}]{\dfrac {b^{3}}{\sqrt {a}}}}$	321.${\sqrt[{3}]{\sqrt[{4}]{{\dfrac {a^{^{5}/_{2}}\cdot {b}^{-^{6}/_{5}}}{ab^{4}}}{\Big (}2a^{-^{2}/_{3}}b^{^{3}/_{5}}{\Big )}^{2}}}}$
322.${\sqrt[{-^{2}/_{3}}]{a{\sqrt {b^{3}}}\cdot {b}^{-2}\cdot {\sqrt[{^{1}/_{2}}]{a^{^{1}/_{2}}b}}}}$
323.$\left\{{\Big [}a+(a^{2}-b^{3})^{^{1}/_{2}}{\Big ]}\cdot {\Big [}a-(a^{2}-b^{3})^{^{1}/_{2}}{\Big ]}\right\}$

Уяўныя лікі.

§34. Уяўным лікам у матэматыцы называецца корань цотнае ступені з адмоўнага ліку; так, напрыклад, уяўнымі лікамі будуць:

${\sqrt {-a^{2}}},{\sqrt[{4}]{-8}},{\sqrt[{6}]{-7}}$і г. д.

Гэтыя лікі маюць у альгэбры толькі тэорытычнае значэньне і ўведзены дзеля ўагульненьня некаторых матэматычных заданьняў.

Усе іншыя (ня ўяўныя) лікі называюцца сапраўднымі.

Дзеяньні над уяўнымі лікамі ўмовіліся рабіць па тых самых правілах, што й над лікамі сапраўднымі.

З прычыны таго, што кожны корань цотнае ступені можа быць прыведзены да квадратовага корня, дык у гэтым артыкуле будзем разглядаць толькі квадратовыя корні з адмоўных лікаў.

${\sqrt {-1}}$ у матэматыцы ўмовіліся называць уяўнай адзінкай і абазначаюць яе літарай $i$ (ад францускага слова imaginaire).

Гэтай уяўнай адзінцы ўмоўна далі ўласьцівасьць, па якой $i^{2}=-1$. Такім чынам:

$i={\sqrt {-1}}$,

$i^{2}=-1$,

$i^{3}=i^{2}\cdot {i}=-{\sqrt {-1}}=-i$,

$i^{4}=i^{2}\cdot {i}^{2}=1$,

$i^{5}=i^{4}\cdot {i}=1\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {-1}}=i$.

Значыцца, 5-я ступень ${\sqrt {-1}}$ ёсьць роўная першай, 6-я ступень будзе роўная другой і г. д.

Наогул, каб падняць ${\sqrt {-1}}$ у ступень $p$, трэба $p$ падзяліць на 4 і калі ў астачы будзе $1$, то $({\sqrt {-1}})^{p}$ будзе роўны $i$; калі ў астачы будзе $2$, то $({\sqrt {-1}})^{p}$ будзе роўны $-1$; калі ў астачы будзе $3$, то $({\sqrt {-1}})^{p}$ будзе роўны $-i$; калі-ж астачы саўсім ня будзе, то $({\sqrt {-1}})^{p}$ будзе роўны дадатнай адзінцы.

Напрыклад: $({\sqrt {-1}})^{14}=({\sqrt {-1}})^{2}=-1$.

$a$ ўяўных адзінак будзем абазначаць $a{\sqrt {-1}}$, або $ai$, у якім выразе коэфіцыент $a$ можа быць лікам дадатным, або адмоўным, вымерным і нявымерным.

Тады кожны ўяўны лік можам прывесьці да віду $ai$, напрыклад:

${\sqrt {-a^{2}}}={\sqrt {a^{2}(-1)}}=a{\sqrt {-1}}=ai$

${\sqrt {-25}}={\sqrt {25(-1)}}=5{\sqrt {-1}}=5i$

$-{\sqrt {-3}}=-{\sqrt {3(-1)}}=-{\sqrt {3}}\cdot {\sqrt {-1}}=-i{\sqrt {3}}$ і г. д.

§35. Пры дадаваньні і адніманьні ўяўных лікаў атрымоўваем таксама ўяўны лік.

І праўда, дадаючы $a{\sqrt {-1}}$ да $b{\sqrt {-1}}$, атрымаем:

$a{\sqrt {-1}}+b{\sqrt {-1}}=(a+b){\sqrt {-1}}=(a+b)i$,

або:$5{\sqrt {-1}}-3{\sqrt {-1}}+2{\sqrt {-1}}=4{\sqrt {-1}}=4i$.

Памнажаючы ўяўны лік на ўяўны, атрымоўваем сапраўдны лік.

І праўда, калі памножым $a{\sqrt {-1}}$ на $b{\sqrt {-1}}$, атрымаем:

$(a{\sqrt {-1}})(b{\sqrt {-1}})=ab({\sqrt {-1}})^{2}=-ab$.

У падобны спосаб знойдзем:

${\sqrt {-2}}\cdot {\sqrt {-32}}={\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {32}}\cdot ({\sqrt {-1}})^{2}=-{\sqrt {64}}=-8$

${\sqrt {-3}}\cdot {\sqrt {-4}}={\sqrt {3}}\cdot {\sqrt {4}}({\sqrt {-1}})^{2}=-2{\sqrt {3}}$.

Пры дзяленьні ўяўнага ліку на ўяўны атрымоўваем сапраўдны лік.

І праўда, калі $a{\sqrt {-1}}$ падзелім на $b{\sqrt {-1}}$, атрымаем:

${\dfrac {a{\sqrt {-1}}}{b{\sqrt {-1}}}}={\dfrac {a}{b}}$,

або:${\sqrt {-45}}:{\sqrt {-5}}={\sqrt {9}}=3$

Падносячы ў ступень $p$ ўяўны лік $a{\sqrt {-1}}$, атрымоўваем

$a^{p}({\sqrt {-1}})^{p}$

Напрыклад: $(a{\sqrt {-1}})^{11}=a^{11}({\sqrt {-1}})^{3}=a^{11}\cdot (-i)=-a^{11}i$.

Комплексныя лікі.

§36. Комплексным лікам называем сапраўдны лік, злучаны знакам дадаваньня ці адніманьня з уяўным лікам, напрыклад:

$4+3i,2-3{\sqrt {5}}i$і г. д.

Агульны від комплекснага ліку ёсьць:

$a+bi$

Лікі сапраўдныя і ўяўныя ёсьць паасобныя выпадкі комплексных лікаў, а мянавіта:

калі $b=0$, то лік $a+bi=bi$,

калі $a=0$, то лік $a+bi=bi$

Пры ўсіх альгэбрычных дзеяньнях з комплекснымі лікамі атрымоўваем таксама комплексныя лікі.

ПРЫКЛАД I.

$(a+bi)+(a_{1}+b_{1}i)=(a+a_{1})+(b+b_{1})i$

ПРЫКЛАД II.

$(a+bi)(a_{1}+b_{1}i)=aa_{1}+a_{1}bi+ab_{1}i+bb_{1}i^{2}=aa_{1}+(a_{1}b+ab_{1})i-bb_{1}=$ $=(aa_{1}-bb_{1})+(a_{1}b+ab_{1})i$.

ПРЫКЛАД III.

${\frac {a+bi}{a_{1}+b_{1}i}}={\frac {(a+bi)(a_{1}-b_{1}i)}{a_{1}^{2}-b_{1}^{2}i^{2}}}={\frac {aa_{1}+bb_{1}+(a_{1}b-ab_{1})i}{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}}={\frac {aa_{1}+bb_{1}}{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}}+{\frac {a_{1}b-ab_{1}}{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}}\cdot {i}$

ПРЫКЛАД IV.

$(a-bi)^{2}=a^{2}-2abi+b^{2}i^{2}=a^{2}-b^{2}-2abi$

§37. Два ўяўныя лікі:

$a+bi$ i $a-bi$,

якія розьняцца паміж сабой толькі знакам пры коэфіцыэнце ўяўнай часткі, называюцца супрэжанымі комплекснымі лікамі.

Асаблівая ўласьцівасьць супрэжаных комплексных лікаў заключаецца ў тым, што іх сума і здабытак ёсьць сапраўдныя лікі, а мянавіта:

$(a+bi)+(a-bi)=2a$

i$(a+bi)(a-bi)=a^{2}-b^{2}i^{2}=a^{2}+b^{2}$

На аснове апошняе формулы суму квадратаў двох лікаў можам заўсёды раскласьці на здабытак двох супрэжаных комплексных лікаў, напрыклад:

$4a^{2}+25=(2a)^{2}+5^{2}=(2a+5i)(2a-5i)$ 3адaчы.

Знайсьці значэньне ступеняў:

324.$({\sqrt {-1}})^{6}$	325.$({\sqrt {-1}})^{7}$
326.$({\sqrt {-1}})^{25}$	327.$({\sqrt {-1}})^{14}$
328.$({\sqrt {-1}})^{56}$	329.$({\sqrt {-1}})^{38}$
330.$(-{\sqrt {-1}})^{12}$	331.$(-{\sqrt {-1}})^{18}$
332.$i^{40}$	333.$i^{18}$
334.$i^{4n-1}$	335.$i^{4n+2}$
336.$i^{8n+5}$
Прывесьці да віду $a{\sqrt {-1}}$ $(ai)$ корні:
337.${\sqrt {-4}}$	338.${\sqrt {-36}}$
339.${\sqrt {-a^{2}}}$	340.${\sqrt {-b^{6}}}$
343.${\sqrt {-{\dfrac {16}{81}}}}$	344.${\sqrt {-a}}$
345.${\sqrt {-9x}}$	346.${\sqrt {-a^{2}-b^{2}}}$
347.${\sqrt {-(a-b)^{2}}}$	348.${\sqrt {-x^{2}-y^{2}-2xy}}$
Выканаць паказаныя дзеяньні:
349.${\sqrt {-25}}+{\sqrt {-49}}-{\sqrt {-64}}+{\sqrt {-1}}$
350.$3{\sqrt {-4}}+5{\sqrt {-27}}-3{\sqrt {-16}}-5{\sqrt {-3}}$
351.$10{\sqrt {-25}}-5{\sqrt {-8}}+{\sqrt {-49}}-2{\sqrt {-2}}$
352.$3+2i+(4-3i)-[(8-5i)-(5+13i)]$
353.$3a-2bi+(a-bi)+[(3a-5bi)-(2a-8bi)]$
354.${\sqrt {-8}}\cdot {\sqrt {-2}}$	355.${\sqrt {a-b}}\cdot {\sqrt {b-a}}$
356.$(2-5i)(8-3i)$	357.$(5+2{\sqrt {-7}})(6-5{\sqrt {-7}})$
358.$(3{\sqrt {-5}}-2{\sqrt {-7}})(2{\sqrt {-7}}+3{\sqrt {-5}})$
359.${\sqrt {-(a+x)}}\cdot {\sqrt {-(a-x)}}\cdot {\sqrt {-(a^{2}-x^{2})}}$
360.${\sqrt {-ax}}:{\sqrt {-x}}$	361.${\dfrac {a^{2}+b^{2}}{a-bi}}$
362.${\dfrac {3-5i{\sqrt {8}}}{3+5i{\sqrt {8}}}}$	363.${\dfrac {2-{\sqrt {-7}}}{3+{\sqrt {-21}}}}$
364.$(3-{\sqrt {-2}})^{2}$	365.${\bigg (}{\dfrac {1+{\sqrt {-3}}}{2}}{\bigg )}^{2}$
366.$(2-3{\sqrt {-2}})^{2}$

---

Першы раз уяўныя лікі сустракаюцца ў італьлянскіх матэматыкаў Taртальля (Tartaglia, 1500—1557) i Kapдaно (Cardano, 1501—1576), якія яшчэ не прызнавалі іх за лікі. Толькі пачынаючы ад Дэкарта ўяўныя лікі паступова замацоўваюцца ў матэматыцы, а канчатковае прызнаньне атрымліваюць посьле прац вядомага нямецкага матэматыка Гаўсса (Karl- Friedrich Gauss, 1777—1855), які ўвёў сымболь $i$ і даў поўную тэорыю комплексных лікаў.

---

---

1. Знак корня ${\sqrt {\color {white}x}}$, які паходзіць ад літары r (першай літары лацінскага слова radix, што значыць «корань») быў уведзен нямецкімі матэматыкамі Крыштофам Рудольфам (Rudolff) у 1525 г. і М. Штыфэлем (Stifel) у 1544 г.
2. Адкрыцьцё ірацыянальных лікаў прыпісваюць так званым пітагорэйцам — вучням вялікага грэцкага матэматыка Пітагора (5 век перад Нар. Хр.).
3. Дробавыя паказальнікі былі ўведзены спачатку Міколай Орэмам (Nicole Oresme, 1323—1382, Нормандзкі біскуп), але замацаваліся ў матэматыцы толькі посьле Сымона Стэвіна (Simon Stevin, 1548—1620).