Элемэнтарная альгэбра (1922―1924). Частка II/I

Функцыі і іх графічнае прадстаўленьне
Падручнік
Аўтар: Аляксандр Круталевіч
1924 год

Прапануем да спампаваньня!

I.

Функцыі і іх графічнае прадстаўленьне.

Азначэньне функцыі.

§1. Разьвязваючы якую-небудзь агульную альгэбрычную задачу, мы стараемся скласьці раўнаньне, якое злучала-б два стасоўныя дзеля гэтае задачы выразы; а потым прадстаўляем невядомы лік у форме альгэбрычнага выразу, які зьмяшчае вядомыя з задачы лікі. Адсюль вынікае, што адказ на кожную агульную задачу залежыць ад дадзеных у ёй агульных лікаў, а залежнасьць гэта выражаецца або ў раўнаньні, якое мы для гэтай задачы улажылі, або — ў разьвязку яго.

Так, скажам, у задачы:

купец купіў $a$ кніжак за $b$ рублёў. Па колькі рублёў павінен ён прадаваць кожную кніжку, каб атрымаць $c$ руб. зыску?

— невядомая цана $x$ аднэй кніжкі залежыць ад дадзеных у задачы агульных лікаў:

a,b,c

(ліку кніжак

a

, цаны куплі

b

, жаданага зыску

c

).

А залежнасць невядомага ліку $x$ ад агульных лікаў $a,b,c$ выражаецца або ў раўнаньні:

ax=b+c

,

або ў выразе:

x={\dfrac {b+c}{a}}

Ведаючы значэньні агульных лікаў, можам знайсьці і невядомы лік.

Адсюль уласна вынікае нязьмернай вагі матэматычнае паняцьце — паняцьце функцыі:

Адзін агульны лік ёсьць функцыя другога агульнага ліку тады, калі пазнаньня таго другога ліку досыць дзеля пазнаньня гэтага першага.

Трэба пры гэтым памятаць, што сказ:

агульны лік $A$ ёсьць функцыя агульнага ліку $a$ , значыць зусім тое самае, што й сказ:

агульны лік $A$ залежыць ад агульнага ліку $a$ .

Так, напрыклад:

1. Купец скажа:

Зыск залежыць ад цаны, заплачанай за тавар, і ад цаны, атрыманай ад прадажы.

Рыс. 1.

Мы скажам:
Зыск ёсьць функцыя цаны, заплачанай за тавар, і цаны, атрыманай ад прадажы.

2. Геомэтр скажа:
Даўжыня дугі акружыны залежыць ад даўжыні адказваючай ёй хорды й ад даўжыні радыусу,
а мы скажам, што
даўжыня дугі акружыны ёсьць функцыя даўжыні хорды і даўжыні радыусу гэтага кола.

У альгэбры кожны выраз, а так сама разьвязак кожнага раўнаньня ёсьць функцыя агульных лікаў, якія там знаходзяцца.

Геомэтрычнае прадстаўленьне двух лікаў пры помачы пункту.

§2. Калі агульны лік $A$ ёсьць функцыя агульнага ліку $a$ , тады сувязь паміж імі можам уявіць сабе ў наступны спосаб.

Рысуем дзьве ўзаемна старчавыя лініі, якія называюцца восямі (рыс. 2), а ўласна: вось паземную і вось старчавую; пункт $x$ перасячэньня абазначаем літарай O і называем пачаткам. Адлегласьць некаторага пункту A ад восі старчавой, г. ё. адцінак $NA=OM,$ будзем называць абсцысай пункту $A;$ адлегласьць пункту $A$ ад паземнай восі, ці адцінак $MA=ON,$ будзем называць ордынатай гэтага-ж пункту.

Адсюль бачым, што, маючы вядомыя: абсцысу (напр. $=4$ ) i ордынату (напр. $=3;$ якога-небудзь пункту $A,$ можам яго лёгка знайсьці. Дзеля гэтае мэты адкладваем на паземнай восі адцінак $OM(=4),$ роўны дадзенай абсцысе, а на восі старчавой адкладваем адцінак $ON(=3),$ роўны дадзенай ордынаце. Чацьвертая вяршыня A простакутніка $OMAN,$ пабудованага на старчавых баках $OM$ i $ON,$ і будзе шуканы пункт.

Пабудова звычайна робіцца прасьцей: на паземнай восі адкладваем адцінак $OM,$ роўны дадзенай абсцысе (4), пасьля чаго роўналежна да восі старчавой праводзім адцінак $MA,$ роўны ордынаце (3).

Пры гэтым трэба памятаць, што:

дадатныя абсцысы мераем управа ад старчавой восі;
адмоўныя абсцысы мераем улева ад старчавой восі;
дадатныя ордынаты мераем угару ад паземнае восі;
адмоўныя ордынаты мераем уніз ад паземнае восі.

Такім чынам, пункты:

A	(абсцыса	3,	ордыната	4),
B	(»	3,	»	-4),
C	(»	-3,	»	4),
D	(»	-3,	»	4),
E	(»	3,	»	0),
F	(»	-3,	»	0),
G	(»	0,	»	4),
H	(»	0,	»	-4),

будуць (рыс. 3—10):

Пункт, які мае абсцысу $=0$ і ордынату $=0$ , азначае пачатак восяў.

Звычайна, дзеля абазначэньня, што пункт $A$ мае абсцысу, роўную, напрыклад, $5$ , і ордынату, роўную $3$ , пішам: $A(5,3)$ .

3адачы.

Прыняўшы адцінак даўжынёй $10$ сантым., як геомэтрычны вобраз адзінкі, знайсьці пункты, якія маюць наступныя абсцысы і ордынаты:

1.	$1,2$	;	$0,7$	2.	$-0,92$	;	$1,36$
3.	$-1,73$	;	$1,65$	4.	$0,27$	;	$-1,75$
5.	$1,73$	;	$0$	6.	$0$	;	$-1,75$
7.	$-1^{1}/_{2}$	;	$-2^{1}/_{5}$	8.	$2^{1}/_{2}$	;	$-1^{1}/_{5}$
9.	$-^{1}/_{4}$	;	$-0,75$	10.	$0$	;	$1^{2}/_{5}$

Графічнае прадстаўленьне сувязі паміж двома агульнымі лікамі.

Дыяграма функцыі $ax+b$ .

§3. У мэтах графічнага прадстаўленьня сувязі паміж лікам $x$ (абсцысай) і яго функцый — лікам $y$ (ордынатай), будзем даваць ліку $x$ вартасьці: $1,2,3....$ і адмерываць на паземнай восі абсцысы: $0x_{1},0x_{2},0x_{3}....$ , якія геомэтрычна прадстаўляюць лікі: $1,2,3....;$ пасьля гэтага адкладзем адцінкі: $x_{1}y_{1},x_{2}y_{2}....$ , геомэтрычна прадстаўляючыя тыя вартасьці ліку $y$ , якія адказваюць значэньням $x=1,x=2,x=3....$ агульнага ліку $x$ .

Злучыўшы пункты $y_{1},y_{2},y_{3}....$ , атрымаем лінію, якая называецца дыяграмай агульнага ліку $y$ , як функцыі агульнага ліку $x$ .

Так, напрыклад, маючы функцыю

y=2x+5

і даючы ліку $x$ вартасьці: $0,1,2,3....$ , будзем атрымліваць для ліку $y$ адпаведныя значэньні: $5,7,9,11....$

Адклаўшы цяпер, згодна вышэй апісанаму спосабу, абсцысы $(0,1,2,3....)$ і ад канцовага пункту кожнай з іх адпаведныя адцінкі $(5,7,9,11....)$ і злучыўшы канцы гэтых апошніх, атрымаем дыяграму функцыі

y=2x+5

,

якая (рыс. 11) навочна паказвае сувязь паміж двома агульнымі лікамі, інакш кажучы, паказвае, як зьмяняецца функцыя (лік $y$ ) у залежнасьці ад другога ліку $(x)$ .

У даным прыкладзе бачым, што лік $x$ паступова павялічваецца кожны раз на $1$ адзінку, функцыя-ж яго (лік $y$ ) кожны раз узрастае на $2$ адзінкі.

Маючы функцыю

y=-2x-2

і нарысаваўшы яе дыяграму, заўважым (рыс. 12), што тутака ўжо залежнасьць паміж лікам $y$ і лікам $x$ будзе іншая, а ўласна: пры павялічэньні ліку $x$ , функцыя яго (лік $y$ ) зьмяншаецца.

У тым і ў другім выпадку дыяграма функцыі зьяўляецца простай лініяй. Геомэтрычным шляхам можна давесьці, што, наогул, дыяграма функцыі віду:

ax+b

,

дзе $x$ — агульны лік (або, як кажуць, „зьменная велічыня“), a $a$ і $b$ — лікі вядомыя (або — „сталыя“) — ёсьць простая лінія.

Адсюль вынікае надта лёгкі спосаб рысаваньня дыяграмы такіх функцый: досыць ліку $x$ надаць якія-небудзь два значэньні (напрыклад, $0$ і $1$ ), потым знайсьці адказваючыя ім значэньні функцыі, злучыць адпаведныя пункты простай лініяй і прадоўжыць яе ў абодва бакі. Лінія гэта й будзе шуканая дыяграма функцыі. (На практыцы, калі рысаваньне робіцца на клеткавай мілімэтравай паперы, правёўшы лінію, трэба зрабіць заўсёды праверку некалькіх пунктаў).

3адачы.

Прыняўшы 1 сантымэтр, як геомэтрычны вобраз адзінкі, нарысаваць дыяграмы функцый:

11. $y=2x-5$	12. $y=-2x+5$
13. $y=-2x-5$	14. $y=6x$
15. $y=-6x$	16. $y=2x-2,y_{1}=2x-1,y_{2}=2x,y_{3}=2x+1$ (на адным рысунку ўсе)
17. $y=2x+5,y_{1}={\frac {x}{2}}+5$
18. $y=-3x+5,y_{1}=-2x+5,y_{2}=-x+5,y_{3}=5,y_{4}=x+5$
19. $y-x=3$ (спачатку трэба выразіць $y$ праз $x$ )
20. $2x+y=3$ (так сама)
21. $x-2y=8$ (так сама)

Прыймаючы адцінак даўжынёй у 5 сант. за геомэтрычны вобраз адзінкі, нарысаваць дыяграмы наступных функцый:

22. $y=1,2x-2;y_{1}=1,2x-1,8;y_{2}=1,2x-1,6,....y_{12}=1,2x+0,4$
(на адным рысунку).

23. $y=-x+1,2;y_{1}=-0,8x+1,2;y_{2}=-0,6x+1,2;y_{3}=-0,4x+1,2;$
$y_{4}=-0,2x+1,2;y_{5}=1,2;y_{6}=0,2x+1,2;y_{7}=0,4x+1,2;y_{8}=0,6x+$
$+1,2;y_{9}=0,8x+1,2;y_{10}=x+1,2$ .
(так сама: на адным рысунку ўсе функцыі).

Графічнае разьвязаньне сыстэмы двох раўнаньняў з дзьвёма невядомымі.

§4. Маючы сыстэму двох раўнаньняў з дзьвёма невядомымі, напрыклад:

і	$2y-x=2$ $y-2x=-5$ ,

мы можам у кожным з іх лічыць невядомы лік $y$ , як функцыю $x$ ; тады нашы раўнаньні прымуць выгляд:

і	$y={\frac {1}{2}}x+1$ (1) $y=2x-5$ (2)

3 §2 мы ведаем, што агульныя лікі заўсёды вызначаюць адзін пэўны пункт на роўніцы. З другога боку, роўнасьці (1) і (2), як функцыі, прадстаўленыя графічна, дадуць нам на рысунку дзьве простыя лініі. Але ў сыстэме адначасных раўнаньняў разьвязкі іх — адны і тыя самыя значэньні невядомых; значыцца, пункт, якога абсцыса $(x)$ і ордыната $(y)$ ёсьць разьвязкі сыстэмы двох адначасных раўнаньняў, — зьяўляецца пунктам перасячэньня простых ліній, выражаных гэтымі раўнаньнямі.

Адсюль вынікае вельмі лёгкі спосаб графічнага разьвязваньня сыстэмы двох адначасных раўнаньняў. Маючы, напрыклад, вышэй памянёную сыстэму:

і	$2y-x=2$ $y-2x=-5$ ,

выражаем адзін з невядомых лікаў (напр. $y$ ), як функцыю другога невядомага:

і	$y={\frac {1}{2}}x+1$ (1) $y=2x-5$ (2)

Потым рысуем простую лінію AC (рыс. 13), якая прадстаўляе раўнаньне (1) і простую DC, якая выражае функцыю (2). Перасячэньне гэтых дзьвёх простых дасьць нам пункт C, якога абсцыса $(x=4)$ і ордыната $(y=3)$ будуць разьвязкамі дадзеных раўнаньняў. І праўда, разьвязваючы сыстэму гэтых раўнаньняў пры помачы вылічэньняў, атрымаем тыя самыя разьвязкі, г. ё. $x=4$ і $y=3$ .

Трэба зазначыць, што ўсе атрыманыя такім спосабам рэзультаты не заўсёды будуць дакладнымі, але на практыцы, у вагромнай большасьці выпадкаў, калі рысунак зроблен акуратна (на мілімэтравай паперы), разьвязаньне такое можа быць выстарчаючым.

3адaчы.

Разьвязаць графічна наступныя сыстэмы раўнаньняў (геомэтрычны вобраз адзінкі =1 сантымэтру).

24. $x+y=5;x-y=1$	25. $2x+y=6;x-2y=8$
26. $y-2x=1;x-2y=4$	27. $2x+y=3;x-2y=4$
28. $2y-3x=12;2x+y=1$

Прыняўшы адцінак даўжынёй 5 сантым., як геомэтрычную адзінку, разьвязаць графічна наступныя сыстэмы раўнаньняў:

29. $4x+5y=5;6x-5y=10$	30. $4x-5y=9;6x-5y=10$
31. $2y+7x=-5;5y-5x=1$

Графікі.

§5. Асновы вышэй апісанага графічнага мэтоду знаходзяць сабе шырокае прыстасаваньне ня толькі ў матэматыцы, але і ў штодзённым жыцьці.

Цікавы прыклад такога прыстасаваньня бачым у так званых графіках ходу цягнікоў (паяздоў), якія дазваляюць лёгка й хутка азначыць месца спатканьняў і ход цягнікоў на пэўнай дыстанцыі, у розных кірунках і з рознымі скорасьцямі, але па аднэй толькі лініі (галіне), з прычыны чаго цягнікі разыйсьціся могуць толькі на станцыях, дзе ёсьць дадатковыя бочныя лініі.

Далучаны рысунак (14-ты) прадстаўляе графікі ходу трох цягнікоў: кур‘ерскага, з скорасьцю $60$ кілём. у гадзіну, які йдзе ў кірунку са станцыі $A$ да $D,$ пасажырскага, з скорасьцю $40$ кілём. у гадзіну, які йдзе ў тым самым кірунку, і таварнага — з скорасьцю $30$ кілём. у гадз., які йдзе ў супраціўным кірунку (са станцыі $D$ да $A$ ). Адлегласьць паміж станцыямі: $AB=13$ кіл., $BC=10$ кіл. і $CD=7$ кіл.

Час (гадзіны і мінуты) звычайна адкладваюцца на паземнай восі, пачынаючы ад $12$ -ай гадз., а адлегласьці (кілёмэтры) — на старчавой восі.

Такім чынам, з рысунку адразу й навочна бачым, што:

1) кур‘ерскі цягнік выяжджае са станцыі $A$ а $12$ гадз. $10$ м. і, не затрымоўваючыся на станцыях $B$ і $C,$ прыходзіць на станцыю $D$ а $12$ г. $40$ м., зрабіўшы, значыцца, $30$ кілём. у працягу $30$ м.

2) пасажырскі цягнік выяжджае са станцыі $A$ а $12$ г. $50$ м. і праз $20$ мін. прыходзіць на станцыю $B$ а $1$ г. $10$ мін., стаіць там $5$ мінут (у гэты час ордыната $y$ не зьмяняецца), потым выяжджае на станцыю $C,$ прыходзіць туды а $1$ г. $30$ мін., стаіць $3$ мінуты і, ўрэшце, а $1$ г. $42$ мін. прыяжджае на станцыю $D.$

3) З гэтай станцыі, $15$ мінут пасьля прыходу кур‘ерскага цягніка, выпусьцілі а $12$ г. $55$ м. таварны цягнік, які, прыехаўшы на станцыю $C$ а $1$ г. $9$ м., павінен там чакаць прыходу пасажырскага цягніка са станцыі $B$ і, толькі пасьля яго адходу, выяжджае а $1$ г. $38$ м. далей, і, затрымаўшыся $12$ мінут на станцыі $B,$ прыходзіць на станцыю $A$ а $2$ г. $36$ м.

Цікава заўважыць, што, як бачым з рысунку, — чым большая скорасьць цягніка, тым больш лінія графіку адхіляецца ад кірунку паземнай восі, на якой мераем час.

Другім практычным прыстасаваньнем графічнага мэтоду зьяўляюцца графікі тэмпэратуры.

Хай, напрыклад, ад 12-ай гадзіны ў поўдзень да 6-ай гадз. раніцы наступнага дня мералі што-гадзіна тэмпэратуру, прычым заўважылі, што:

а гадз.	12упоўдзень	тэмпэратура	была	+4,4
„	1папоўдню	„	„	+4,8
„	2„	„	„	+5,2
„	3„	„	„	+5,4
„	4„	„	„	+5,0
„	5„	„	„	+4,5
„	6„	„	„	+3,6
„	7„	„	„	+2,4
„	8веч.	„	„	+1,4
„	9„	„	„	+0,2
„	10„	„	„	-1,2
„	11„	„	„	-3,3
„	12уночы	„	„	-4,2
„	1„	„	„	-4,8
„	2„	„	„	-5,2
„	3„	„	„	-5,4
„	4„	„	„	-5,6
„	5„	„	„	-5,0
„	6„	„	„	-4,4

Каб нарысаваць графік тэмпэратуры на працягу гэтага часу, бярэм мілімэтравую паперу і рысуем восі $xx_{1}$ і $yy_{1}$ (рыс. 15). На восі $xx_{1}$ , адмерваем гадзіны (пункт 0 азначае 12-ую гадз. у поўдзень, пункт 1 — першую гадзіну і г. д.), а на восі $yy_{1}$ — градусы тэмпэратуры (0 азначае 0 градусаў); дадатныя градусы адмерваем угару ад нуля, адмоўныя — ўніз).

Потым ставім кропкі, якія адказваюць тэмпэратуры адпаведнага часу, і злучаем іх неперарыўнай лініяй, якая і будзе графікам тэмпэратуры за $19$ гадзін.

З графіку гэтага бачым, што найвышэйшая тэмпэратура, ці максімум, была а $3$ -яй гадз. па поўдню, найніжэйшая, ці мінімум, — а $4$ гадз. раніцы.

Калі-б мы мералі тэмпэратуру часьцей, скажам, што $15$ мін., то атрыманая крывая была-6 больш дакладнай. Аднак-жа і з данага графіку можам у прыбліжэньні азначыць тэмпэратуру ў той час, калі мы яе ня мералі; напрыклад, а гадз. $10$ і $30$ мін. тэмпэратура была $-2,2.$

На заканчэньне, трэба сказаць, што графічны мэтод у матэматыцы зьяўляецца ня толькі цікавай ілюстрацыяй і спосабам праверкі, але й служыць для беспасярэднага разьвязваньня шмат-якіх задач.

Возьмем дзеля прыкладу наступныя дзьве задачы.

1) Падарожны выбраўся з пэўнага месца а $12$ гадз. у поўдзень і робіць у пэўным кірунку 3 кілёмэтры на гадзіну. Праз гадзіну пасьля яго выхаду, з гэтага-ж месца выходзіць другі падарожны ў тым самым кірунку з скорасьцю $5$ кілём. на гадзіну; калі ён дагоніць першага і на якой адлегласьці ад месца выхаду?

У мэтах разьвязаньня гэтай задачы, пабудуем вядомую нам сыстэму восяў. (Рыс. 16). — Хай пункт $O$ азначае поўдзень. Тады час будзем адкладваць на паземнай восі, а адлегласьці — на старчавой. Першы падарожны праходзіць $3$ кіл., значыцца, лінія $OB_{1}$ — будзе графік першага падарожнага; у такі самы спосаб знойдзем, што лінія $A_{2}B_{2}$ — будзе графік другога падарожнага. Яны перасякаюцца ў пункце $M,$ які адказвае $5$ гадзінам і $15$ кілёмэтрам. Сустрэча, значыцца, будзе ў $15$ кілёмэтрах ад месца выхаду і праз $5$ гадзін пасьля выхаду першага падарожнага.

2) Урэшце, яшчэ адна задача^[1], якую звычайным шляхам досыць трудна разьвязаць і пры разьвязваньні якой заўсёды робяць памылкі:

3 Гавру (францускі порт) штодня роўна ў поўдзень выяжджае параход да Нью-Йорку, а з Нью-Йорку так сама штодня роўна ў поўдзень выяжджае параход гэтага самага таварыства да Гавру. Пераезд адбываецца роўна ў $7$ дзён (усё роўна — у той, ці ў другі бок). Сколькі параходаў свайго таварыства, едучых з Нью-Йорку, спаткае ў дарозе параход, які выйдзе з Гавру сягоньня ў поўдзень?

На гэтае пытаньне, звычайна, адказваюць — сем, думаючы толькі аб параходах, якія павінны з сёньнешняга дня выйсьці ў дарогу, і забываючы аб тых параходах, якія ўжо знаходзяцца ў дарозе.

Разьвязак навочна прадстаўлен на рысунку 17-ым:

Калі, скажам, наш параход выйшаў з Гавру 7-га чысла, дык графік яго будзе $AB.$ Як бачым, ён спаткае ў моры $13$ параходаў, ды яшчэ той, які прыходзіць у Гавр у самы момант адходу, ды яшчэ той, які выходзіць з Нью-Йорку ў момант прыходу туды нашага параходу; усяго, значыцца, $15.$

Графік паказвае, апрача гэтага, што сустрэчы будуць адбывацца штодня ў поўдзень і поўнач.

3aдачы.

Знайсьці пры помачы графікаў разьвязкі наступных задач:

32. З дзьвёх станцый $A$ і $B,$ адлеглых адна ад другой на $60$ кілёмэтраў, выйшлі насустрэч два цягнікі. Першы цягнік робіць $^{1}/_{2}$ кілёмэтра ў мінуту, а другі $1$ кілёмэтр у мінуту. У сколькі мінут пасьля выхаду першага і ў якой адлегласьці ад A цягнікі спаткаюцца?

33. Сьлімак штодня ад 6-ай гадзіны раніцы да 6-ай гадз. веч. паўзе ўгару па дрэве і паднімаецца на $5$ мэтраў, а за ноч, пакуль сьпіць, спускаецца на $2$ мэтры. Пачаўшы паўзьці з раніцы нядзелі, калі (у які дзень) ён паднімецца на $9$ мэтраў?

Даная ў гэтым аддзеле так званая „сыстэма коордынат“, дзякуючы якой мы можам графічна прадставіць кожную функцыйную залежнасьць між альгэбрычнымі лікамі, была адкрыта вядомым францускім матэматыкам Рэнэ Дэкартам (René Descartes, 1596—1650).

↑ Францускага матэматыка Эд. Люка.

[1] Францускага матэматыка Эд. Люка.

[1]