Старонка:Элемэнтарная альгэбра (1922―1924). Частка II.pdf/82

Выводзячы за дужкі з 1-га і 5-га выразаў $12$, а з 2-га і 4-га $8,$ маем:

$12{\Big (}x^{2}+{\dfrac {1}{x^{2}}}{\Big )}+8{\Big (}x-{\dfrac {1}{x}}{\Big )}-39=0.$

Абазначаем $x-{\dfrac {1}{x}}$ праз $y$ і падносім абодва бакі раўнаньня $x-{\dfrac {1}{x}}=y$ у другую ступень:

$x^{2}-2+{\dfrac {1}{x^{2}}}=y^{2},$

ці$x^{2}+{\dfrac {1}{x^{2}}}=y^{2}+2$

Падставіўшы $y^{2}+2$ і $y$ на месца $x^{2}+{\dfrac {1}{x^{2}}}$ і $x-{\dfrac {1}{x}}$ у наша раўнаньне, будзем мець:

$12(y^{2}+2)+8y-39=0,$

цi$12y^{2}+24+8y-39=0,$

або$12y^{2}+8y-15=0,$

адкуль

$y={\dfrac {-4\pm {\sqrt {16+180}}}{12}}={\dfrac {-4\pm 14}{12}}$

А, значыцца,

$y_{1}={\dfrac {5}{6}};y_{2}=-{\dfrac {3}{2}}$

Цяпер застаецца ў раўнаньні $x-{\dfrac {1}{x}}=y$ на месца $y$ падставіць ${\dfrac {5}{6}}$ і $-{\dfrac {3}{2}}$. У гэты спосаб з раўнаньня $x-{\dfrac {1}{x}}={\dfrac {5}{6}}$

атрымаем:$x_{1}=1{\dfrac {1}{2}};x_{2}=-{\dfrac {2}{3}};$
а з раўнаньня$x-{\dfrac {1}{x}}=-{\dfrac {3}{2}}$
атрымаем$x_{3}={\dfrac {1}{2}};x_{4}=-2$

Усе сымэтрычныя раўнаньні маюць наступную супольную ўласьцівасьць: калі ў раўнаньні заменім $x$ на ${\dfrac {1}{x}}$ і пазбудземся назоўнікаў, то атрымаем гэтае-ж самае раўнаньне. Адсюль вынікае наступны вынік:

адваротнасьць разьвязку сымэтрычнага раўнаньня ёсьць таксама разьвязкам гэтага раўнаньня.

3адачы.

Разьвязаць наступныя сымэтрычныя раўнаньні:

545.$5x^{3}-21x^{2}-21x+5=0.$	546.$6x^{3}-7x^{2}-7x+6=0.$
547.$6x^{3}-19x^{2}+19x-6=0.$	548.$8x^{3}+73x^{2}+73x+8=0.$
549.$6x^{4}+5x^{3}-38x^{2}+5x+6=0.$