Старонка:Элемэнтарная альгэбра (1922―1924). Частка II.pdf/79

адкуль$x_{1}={\sqrt {\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$; $x_{2}={\sqrt {\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$
$x_{3}=-{\sqrt {\frac {-b+{\sqrt {b^{2}+4ac}}}{2a}}}$; $x_{4}=-{\sqrt {\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$

1. Калі $b^{2}>4ac$, то ўсе разьвязкі будуць сапраўдныя або комплексныя, або два разьвязкі будуць сапраўдныя, а другія два комплексныя, у залежнасьці ад таго, ці абодва значэньні $y$ будуць дадатныя або адмоўныя, ці адно значэньне дадатнае, а другое адмоўнае.

2. Калі $b^{2}=4ac$, то раўнаньне мае толькі два разьвязкі; разьвязкі гэтыя будуць сапраўдныя або комплексныя, у залежнасьці ад таго, ці ёсьць лік дадатны, ці адмоўны.

3. Урэшце, калі $b^{2}<4ac$, усе разьвязкі будуць комплексныя.

Для прыкладу возьмем наступнае двохквадратовае раўнаньне:

$x^{4}-13x^{2}+36=0$

Абазначыўшы $x^{2}$ праз $y$ і разьвязваючы раўнаньне

$y^{2}-13y+36=0$, знойдзем$y_{1}=9;y_{2}=4$

А дзеля таго, што $x^{2}=y$, значыцца

$x_{12}=\pm {\sqrt {9}};x_{34}=\pm {\sqrt {4}}$,
ці:$x_{1}=3;x_{2}=-3;x_{3}=2;x_{4}=-2$

III. Каб разьвязаць трохчленнае раўнаньне 6-ае ступені, напрыклад:

$x^{4}-7x^{3}-8=0,$

абазначым $x^{3}$ праз $y$; тады $x^{6}=y^{2}$, і раўнаньне прыйме выгляд:

Адкуль:

$y_{1}=8;y_{2}=-1$

Разьвязваючы двохчленныя раўнаньні $x^{3}=8$ i $x^{3}+1=0,$
знойдзем:

$x_{1}=2$

$x_{2}=-1+i{\sqrt {3}}$

$x_{3}=-1-i{\sqrt {3}}$

$x_{4}=-1$

$x_{5}={\frac {1+i{\sqrt {3}}}{2}}$

$x_{6}={\frac {1-i{\sqrt {3}}}{2}}$