Старонка:Элемэнтарная альгэбра (1922―1924). Частка II.pdf/66

Дасьледаваньне агульнага квадратовага раўнаньня віду $ax^{2}+bx+c=0$

§54. Пры разьвязваньні раўнаньня

$ax+bx+c=0,$

мы атрымалі наступную формулу, якая азначае яго разьвязкі:

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

Правая частка гэтай роўнасьці можа быць лікам сапраўдным, ці ўяўным, у залежнасьці ад характару выразу ${\sqrt {b^{2}-4ac}}$

I. Калі ў раўнаньні $ax^{2}+bx+c=0$ выраз $c$ ёсьць адмоўны, то $4ac$ ёсьць дадатны лік, і ўвесь выраз пад корнем прыймае выгляд $b^{2}+4ac$. У гэтым выпадку абодва разьвязкі ёсьць сапраўдныя, вымерныя або нявымерныя, у залежнасьці ад таго, ці $b^{2}+4ac$ ёсьць поўны квадрат, ці не; напрыклад, раўнаньне

$4x^{2}-5x-6=0$

павінна мець абодва разьвязкі сапраўдныя, бо $5^{2}+4\cdot 4\cdot 6$ ёсьць дадатны лік. І праўда, разьвязваючы яго, знойдзем:

$x_{1}=2$ i $x_{2}=-{\frac {3}{4}}$

II. Калі ў раўнаньні $ax^{2}+bx+c=0$ выраз $c$ ёсьць дадатны, то $4ac$ ёсьць адмоўны. Тутака трэба будзе адрозьніваць тры гатункі разьвязкаў, а мянавіта:

1) калі $b^{2}>4ac$, выраз $b^{2}-4ac$ ёсьць дадатны лік, і раўнаньне мае два сапраўдныя розныя разьвязкі, напрыклад, з раўнаньня

$6x^{2}-11x+4=0$, у якім $11^{2}>4\cdot 6\cdot 4$, атрымоўваем:$x_{1}=1{\frac {1}{2}}$, $x_{2}={\frac {1}{2}}$

2) калі $b^{2}=4ac$, то ${\sqrt {b^{2}-4ac}}=0$. У гэтым выпадку разьвязкам раўнаньня будзе сапраўдны вымерны лік, а мянавіта $-{\frac {b}{2a}}$. Аднак-жа, каб уагульніць разьвязваньне раўнаньняў другой ступені, кажам, што раўнаньне гэтае мае два розныя разьвязкі.

Напрыклад, раўнаньне $9x^{2}-6x+1=0$, у якім $6^{2}=4\cdot 9\cdot 1$, мае абодва разьвязкі роўныя, а мянавіта:

$x_{1}=x_{2}={\frac {1}{3}}$

3) калі $b^{2}<4ac$, выраз $b^{2}-4ac$ ёсьць адмоўны. Абодва разьвязкі тады ёсьць уяўныя і твораць лікі комплексныя супрэжаныя.]

Напрыклад, раўнаньне $2x^{2}-8x+17=0$, у якім $8^{2}<4\cdot 2\cdot 17$, мае абодва разьвязкі супрэжаныя комплексныя, а мянавіта:

$x_{1}={\frac {4+3i{\sqrt {2}}}{2}}$ і $x_{2}={\frac {4-3i{\sqrt {2}}}{2}}$

§55. Калі ў раўнаньні $ax^{2}+bx+c=0$ коэфіцыент $a=0$,

то$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}}}}{0}}$