Старонка:Элемэнтарная альгэбра (1922―1924). Частка II.pdf/59

адкуль:$(x-x_{1})(x-x_{2})=0$

Значыцца, левы бок нормальнага квадратовага раўнаньня раскладаецца на два сумножнікі, роўныя розьніцам паміж $x$ і разьвязкамі раўнаньня; напрыклад, раўнаньне $x^{2}-10x+21=0$, якое мае разьвязкі $7$ і $3$, можам напісаць у форме:

$(x-7)(x-3)=0$.

Раўнаньне $x^{2}+9x+20=0$, разьвязкі якога ёсьць лікі $-4$ і $-5$, можам напісаць у відзе $(x+4)(x+5)=0$.

§48. Расклад левага боку нормальнага квадратовага раўнаньня на сумножнікі дае нам другі спосаб укладаньня квадратовага раўнаньня паводле яго разьвязкаў; напрыклад, маючы разьвязкі раўнаньня $x_{1}=6$ і $x_{2}=-7$, укладаем раўнаньне

$(x-6)(x+7)=0$,

якое посьле ўпрошчаньня прыйме выгляд:

$x^{2}+x-42=0$

І праўда, разьвязваючы гэтае раўнаньне, атрымаем:

$x_{1}=6;x_{2}=-7$

§49. Уласьцівасьць раскладу нормальнага квадратовага раўнаньня на сумножнікі мае прыстасаваньне пры раскладзе на сумножнікі трохчлену, маючага выгляд

$x^{2}+px+q$

Дзеля гэтае мэты прыраўноўваем яго да нуля і разьвязваем атрыманае, такім чынам, квадратовае раўнаньне; потым левы бок раскладываем на сумножнікі паводле паказанага спосабу.

Калі-б мы, напрыклад, хацелі раскласьці на сумножнікі трохчлен

$x^{2}-5x-24$,

то, прыраўнаўшы яго да нуля, атрымаем раўнаньне

$x^{2}-5x-24=0$,

з якога знойдзем:

$x_{1}=8;x_{2}=-3$

Дзякуючы гэтаму, даны трохчлен

$x^{2}-5x-24=(x-8)(x+3)$

У падобны спосаб прыраўнаўшы трохчлен

$a^{2}+11a+30$

да нуля і разьвязаўшы раўнаньне $a^{2}+11a+30=0$ адносна $a$, атрымаем:

$a_{1}=-5;a_{2}=-6$,
адкуль:$a^{2}+11a+30=(a+5)(a+6)$