Старонка:Элемэнтарная альгэбра (1922―1924). Частка II.pdf/48

Уяўныя лікі.

§34. Уяўным лікам у матэматыцы называецца корань цотнае ступені з адмоўнага ліку; так, напрыклад, уяўнымі лікамі будуць:

${\sqrt {-a^{2}}},{\sqrt[{4}]{-8}},{\sqrt[{6}]{-7}}$і г. д.

Гэтыя лікі маюць у альгэбры толькі тэорытычнае значэньне і ўведзены дзеля ўагульненьня некаторых матэматычных заданьняў.

Усе іншыя (ня ўяўныя) лікі называюцца сапраўднымі.

Дзеяньні над уяўнымі лікамі ўмовіліся рабіць па тых самых правілах, што й над лікамі сапраўднымі.

З прычыны таго, што кожны корань цотнае ступені можа быць прыведзены да квадратовага корня, дык у гэтым артыкуле будзем разглядаць толькі квадратовыя корні з адмоўных лікаў.

${\sqrt {-1}}$ у матэматыцы ўмовіліся называць уяўнай адзінкай і абазначаюць яе літарай $i$ (ад францускага слова imaginaire).

Гэтай уяўнай адзінцы ўмоўна далі ўласьцівасьць, па якой $i^{2}=-1$. Такім чынам:

$i={\sqrt {-1}}$,

$i^{2}=-1$,

$i^{3}=i^{2}\cdot {i}=-{\sqrt {-1}}=-i$,

$i^{4}=i^{2}\cdot {i}^{2}=1$,

$i^{5}=i^{4}\cdot {i}=1\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {-1}}=i$.

Значыцца, 5-я ступень ${\sqrt {-1}}$ ёсьць роўная першай, 6-я ступень будзе роўная другой і г. д.

Наогул, каб падняць ${\sqrt {-1}}$ у ступень $p$, трэба $p$ падзяліць на 4 і калі ў астачы будзе $1$, то $({\sqrt {-1}})^{p}$ будзе роўны $i$; калі ў астачы будзе $2$, то $({\sqrt {-1}})^{p}$ будзе роўны $-1$; калі ў астачы будзе $3$, то $({\sqrt {-1}})^{p}$ будзе роўны $-i$; калі-ж астачы саўсім ня будзе, то $({\sqrt {-1}})^{p}$ будзе роўны дадатнай адзінцы.

Напрыклад: $({\sqrt {-1}})^{14}=({\sqrt {-1}})^{2}=-1$.

$a$ ўяўных адзінак будзем абазначаць $a{\sqrt {-1}}$, або $ai$, у якім выразе коэфіцыент $a$ можа быць лікам дадатным, або адмоўным, вымерным і нявымерным.

Тады кожны ўяўны лік можам прывесьці да віду $ai$, напрыклад:

${\sqrt {-a^{2}}}={\sqrt {a^{2}(-1)}}=a{\sqrt {-1}}=ai$

${\sqrt {-25}}={\sqrt {25(-1)}}=5{\sqrt {-1}}=5i$

$-{\sqrt {-3}}=-{\sqrt {3(-1)}}=-{\sqrt {3}}\cdot {\sqrt {-1}}=-i{\sqrt {3}}$ і г. д.