Старонка:Элемэнтарная альгэбра (1922―1924). Частка II.pdf/44

Адкуль: ${\sqrt {x}}={\sqrt {\dfrac {A+{\sqrt {A^{2}-B}}}{2}}}$ і ${\sqrt {y}}={\sqrt {\dfrac {A-{\sqrt {A^{2}-B}}}{2}}}$

Значыцца: ${\sqrt {x}}\pm {\sqrt {y}}=$

$={\sqrt {A}}\pm {\sqrt {B}}={\sqrt {A+{\sqrt {A^{2}-B}}}}{2}{\sqrt {A-{\sqrt {A^{2}-B}}}}{2}$

Калі $(A^{2}-B)$ ёсьць поўны квадрат, то $x$ і $y$ ёсьць вымерныя лікі і правы бок выведзенай роўнасьці будзе куды прасьцей ад левага, напрыклад:

${\sqrt {6+{\sqrt {11}}}}$

можам раскласьці на суму корняў другой ступені, бо $6^{2}-11$ ёсьць поўны квадрат; значыцца

${\sqrt {6+{\sqrt {11}}}}={\sqrt {\dfrac {6+5}{2}}}+{\sqrt {\dfrac {6-5}{2}}}={\sqrt {\dfrac {11}{2}}}+{\sqrt {\dfrac {1}{2}}}$

Выраз ${\sqrt {8-2{\sqrt {12}}}}$ можна раскласьці на розьніцу корняў, бо, уводзячы $2$ пад знак корня, будзем мець ${\sqrt {8-{\sqrt {48}}}}$, а дзеля таго, што $8^{2}-48=16$ ёсьць поўны квадрат, дык:

${\sqrt {8-2{\sqrt {12}}}}={\sqrt {8-{\sqrt {48}}}}={\sqrt {\dfrac {8+4}{2}}}-{\sqrt {\dfrac {8-4}{2}}}={\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}$

Вылічыўшы з прыбліжэньнем да $0,001$, знойдзем:

${\sqrt {6}}=2,448...,{\sqrt {2}}=1,414...$,

адсюль: ${\sqrt {8-2{\sqrt {12}}}}={\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}=2,448....-1,414....=1,034....$

Упрошчаньне складанага корня мае прыстасаваньне у геомэтрыі пры вылічэньні бакоў упісаных многакутнікаў; так, напрыклад, пры радыусе, роўным адзінцы, бок упісанага 12-кутніка выражаецца формулай:

$a_{12}={\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}$

Перарабіўшы гэты складаны корань на розьніцу звычайных корняў, будзем мець:

$a_{12}={\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}={\sqrt {\dfrac {3}{2}}}-{\sqrt {\dfrac {1}{2}}}={\dfrac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{2}}=$
$={\dfrac {2,448-1,414}{2}}=0,517.$ ${\bigg (}$з дакладнасьцю да ${\dfrac {1}{2000}}{\bigg )}$

Пераробка ${\sqrt {A\pm {\sqrt {B}}}}$ была вядома яшчэ Эвкліду (каля 300 г. посьле Нар. Хр.), вядомаму грэцкаму геомэтру, але ў альгэбрычнай форме была дадзена індусам Бхаскарай (1141—1225).