Старонка:Элемэнтарная альгэбра (1922―1924). Частка II.pdf/166

Разьвязваючы неазначаныя раўнаньні спосабам Эйлера, можам лёгка заўважыць, што коэфіцыэнты пры невядомых у шэрагу пасьледаўных раўнаньняў мы творым у наступны спосаб. Дзелім большы коэфіцыэнт неазначанага раўнаньня на меншы; ад дзяленьня гэтага атрымоўваем астачу, якая будзе меншым коэфіцыэнтам другога раўнаньня; потым дзелім меншы коэфіцыэнт першага раўнаньня на першую астачу; атрымоўваем другую астачу, якая будзе меншым коэфіцыэнтам трэцяга раўнаньня; далей дзелім першую астачу на другую, другую на трэцюю і г. д., г. ё. робім так, як пры знаходжаньні найбольшага супольнага падзельніка спосабам вычэрпываючага дзяленьня.

З прычыны таго, што лікі $a$ i $b$ ня маюць супольных множнікаў, значыцца найбольшым супольным падзельнікам іх ёсьць $1.$

Адсюль вынікае, што ў апошнім раўнаньні коэфіцыэнт пры аднэй невядомай павінен быць роўным адзінцы. З раўнаньня гэтага і атрымоўваем рад цэлых разьвязкаў.

Агульныя формулы цэлых разьвязаньняў неазначанага раўнаньня.

§120. Маючы адну пару цэлых разьвязкаў раўнаньня

$ax+by=c,$

можам напісаць агульныя формулы, паводле якіх знаходзім усе іншыя пары цэлых разьвязкаў гэтага раўнаньня.

Дапусьцім, што разьвязкамі раўнаньня $ax+by=c$ ёсьць лікі $x_{1}$ і $y_{1};$ тады маем тожсамасьць:

$ax_{1}+by_{1}=c.$

Аднімаючы яе ад раўнаньня адпаведнымі бакамі, атрымоўваем:

$a(x-x_{1})+b(y-y_{1})=0.$

З гэтай роўнасьці азначаем $x:$

$a(x-x_{1})+b(y-y_{1})$
$x-x_{1}={\frac {-b(y-y_{1})}{a}}$
$x=x_{1}-{\frac {b(y-y_{1})}{a}}$

Але $x$ ёсьць цэлы лік, $x_{1}$ — таксама цэлы лік, значыцца, і выраз ${\frac {b(y-y_{1})}{a}}$ павінен быць цэлым лікам. У выразе гэтым $b$ ня мае супольных множнікаў з $a;$ з гэтага вынікае, што $y-y_{1}$ дзеліцца без астачы на $a$ i ёсьць цэлы лік. Калі лік гэты абазначым праз $t,$ то атрымаем:

${\frac {y-y_{1}}{a}}=t,$

адкуль

$y=y_{1}+at$
i $x=x_{1}-{\frac {b(y-y_{1})}{a}}=x_{1}-bt.$