Старонка:Элемэнтарная альгэбра (1922―1924). Частка II.pdf/166

Гэта старонка не была вычытаная

Разьвязваючы неазначаныя раўнаньні спосабам Эйлера, можам лёгка заўважыць, што коэфіцыэнты пры невядомых у шэрагу пасьледаўных раўнаньняў мы творым у наступны спосаб. Дзелім большы коэфіцыэнт неазначанага раўнаньня на меншы; ад дзяленьня гэтага атрымоўваем астачу, якая будзе меншым коэфіцыэнтам другога раўнаньня; потым дзелім меншы коэфіцыэнт першага раўнаньня на першую астачу; атрымоўваем другую астачу, якая будзе меншым коэфіцыэнтам трэцяга раўнаньня; далей дзелім першую астачу на другую, другую на трэцюю і г. д., г. ё. робім так, як пры знаходжаньні найбольшага супольнага падзельніка спосабам вычэрпываючага дзяленьня.

З прычыны таго, што лікі $a$ i $b$ ня маюць супольных множнікаў, значыцца найбольшым супольным падзельнікам іх ёсьць $1.$

Адсюль вынікае, што ў апошнім раўнаньні коэфіцыэнт пры аднэй невядомай павінен быць роўным адзінцы. З раўнаньня гэтага і атрымоўваем рад цэлых разьвязкаў.

Агульныя формулы цэлых разьвязаньняў неазначанага раўнаньня.

§120. Маючы адну пару цэлых разьвязкаў раўнаньня

a x + b y = c,

можам напісаць агульныя формулы, паводле якіх знаходзім усе іншыя пары цэлых разьвязкаў гэтага раўнаньня.

Дапусьцім, што разьвязкамі раўнаньня $a x + b y = c$ ёсьць лікі $x_{1}$ і $y_{1};$ тады маем тожсамасьць:

a x_{1} + b y_{1} = c .

Аднімаючы яе ад раўнаньня адпаведнымі бакамі, атрымоўваем:

a (x - x_{1}) + b (y - y_{1}) = 0.

З гэтай роўнасьці азначаем $x :$

a (x - x_{1}) + b (y - y_{1})

x - x_{1} = \frac{- b (y - y_{1})}{a}

x = x_{1} - \frac{b (y - y_{1})}{a}

Але $x$ ёсьць цэлы лік, $x_{1}$ — таксама цэлы лік, значыцца, і выраз $\frac{b (y - y_{1})}{a}$ павінен быць цэлым лікам. У выразе гэтым $b$ ня мае супольных множнікаў з $a;$ з гэтага вынікае, што $y - y_{1}$ дзеліцца без астачы на $a$ i ёсьць цэлы лік. Калі лік гэты абазначым праз $t,$ то атрымаем:

\frac{y - y_{1}}{a} = t,

адкуль

y = y_{1} + a t

i

x = x_{1} - \frac{b (y - y_{1})}{a} = x_{1} - b t .