Старонка:Элемэнтарная альгэбра (1922―1924). Частка II.pdf/16

адкуль:

$(a+b+c)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}+2(a+b)c+c^{2}$.

Падносячы чатырохчлен $a+b+c+d$ у квадрат, раскладаем яго ў падобны спосаб на суму складнікоў $a+b+c$ i $d$, тады:

$(a+b+c+d)^{2}=[(a+b+c)+d]^{2}=(a+b+c)^{2}+2(a+b+c)d+d^{2},$

адкуль:

$(a+b+c+d)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}+2(a+b)c+c^{2}+2(a+b+c)d+d^{2}.$

Бяручы потым квадрат сумы пяцёх, шасьцёх і г. д. выразаў, лёгка заўважым, што правы бок з кожным разам будзе зьмяшчаць больш на два выразы, з якіх першы будзе падвойным здабыткам усіх папярэдніх членаў на новы член, а другі — квадрат новага члена. — Адсюль робім вывад, што закон гэты ёсьць агульны для адвольнага ліку членаў многачлена, і дзеля гэтага можам сказаць:

квадрат многачлена ёсьць роўны квадрату першага члена, плюс падвойны здабытак першага на другі, плюс квадрат другога члена, плюс падвойны здабытак сумы першых двох членаў на трэці, плюс квадрат трэцяга, плюс падвойны здабытак сумы першых трох членаў на чацьверты, плюс квадрат чацьвертага, і г. д.

§ 9. Калі ў выразе

$(a+b+c)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}+2(a+b)c+c^{2}$

расчынім дужкі і квадраты паасобных членаў напішам спачатку, дык атрымаем:

$(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc$.

У падобны спосаб знойдзем:

$(a+b+c+d)^{2}$$=$$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+cd.$

І наогул:

$(a+b+c+d+$…$)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+$…$+2ab+2ac+2ad+$…$+2bc+2bd+$…$+2cd+$…

Гэта ёсьць другая формула, якая выражае квадрат многачлену.

Словамі яе можна выказаць так:

квадрат многачлена ёсьць роўны суме квадратаў паасобных яго членаў, плюс альгэбрычная сума падвойных здабыткаў гэтых членаў, узятых па два.

У вышэй дадзеным правіле кажам: „альгэбрычная сума“, бо, калі некаторыя члены будуць адмоўныя, дык знак пры адпаведных падвойных здабытках зьменіцца на адмоўны, напрыклад:

$(a-b-c+d)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}-2ab-2ac+2ad+2bc-2bd-2cd$

Задачы.

34.	$(2a^{3})^{4}$	35.	$(2a^{5}b^{n})^{m}$
36.	${\bigg (}{\dfrac {2a}{bc}}{\bigg )}^{4}$	37.	${\bigg (}{\dfrac {4a^{2}c^{5}}{5b^{3}}}{\bigg )}^{3}$
38.	${\bigg (}{\dfrac {3}{4}}c^{7}d^{2}l{\bigg )}^{4}$	39.	${\bigg (}-1{\dfrac {1}{2}}a^{2}b^{m-1}{\bigg )}^{4}$