Старонка:Элемэнтарная альгэбра (1922―1924). Частка II.pdf/150

Разьвязаньне.

${\Big (}{\sqrt[{6}]{z}}+{\sqrt[{3}]{z^{2}}}={\Big )}^{12}={\Big (}z^{^{1}/_{6}}+z^{^{2}/_{3}}{\Big )}^{12}$
$T_{k+1}=C_{12}^{k}\cdot {\Big (}z^{^{2}/_{3}}{\Big )}^{k}\cdot {\Big (}z^{^{1}/_{6}}{\Big )}^{12-k}=C_{12}^{k}\cdot {z}^{\frac {2k}{3}}\cdot {z}^{\frac {12-k}{6}}=C_{12}^{k}\cdot {z}^{\frac {k+4}{2}}$

але з умоў задачы ведаем, што

$z^{\frac {k+4}{2}}=z^{6},$

значыцца:

${\frac {k+4}{2}}=6,$

адкуль$k=8;$

з гэтае прычыны

$T_{9}=C_{12}^{8}z^{6}$

Шуканы коэфіцыэнт $=C_{12}^{8}=C_{12}^{4}={\frac {12\cdot 11\cdot 10\cdot 9}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}}=495.$

4. Знайсьці выраз разьвіненьня двохчлена

$({\sqrt {a^{-1}}}+{\sqrt[{3}]{a}})^{15},$

які не зьмяшчае ў сабе $a.$

Разьвязаньне.

$({\sqrt {a^{-1}}}+{\sqrt[{3}]{a}})^{15}={\Big (}a^{-{\frac {1}{2}}}+a^{\frac {1}{3}}{\Big )}^{15}$
$T_{k+1}=C_{15}^{k}{\Big (}a^{\frac {1}{3}}{\Big )}^{k}\cdot {\Big (}a^{-{\frac {1}{2}}}{\Big )}^{15-k}=C_{15}^{k}a^{\frac {k}{3}}a^{-{\frac {15-k}{2}}}=C_{15}^{k}a^{\frac {5k-45}{6}}$

але з умоў задачы

$a^{\frac {5k-45}{6}}=a^{0},$

адсюль

${\frac {5k-45}{6}}=0$ i $k=9$
$T_{10}=C_{15}^{9}a^{0}=C_{15}^{6}={\frac {15\cdot 14\cdot 13\cdot 12\cdot 11\cdot 10}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6}}=5005.$

§109. Каб знайсьці формулу разьвіненьня $(x-a)^{n},$ трэба ва ўсіх выразах формулы (B) падставіць на месца $a$ выраз $(-a);$ тады выразы, якія заключаюць няцотныя ступені $a,$ зьменяць знакі, і двохчлен будзе мець від:

$(x-a)^{n}=x^{n}-nax^{n-1}+C_{n}^{2}a^{2}x^{n-2}-C_{n}^{3}a^{3}x^{n-3}+......\pm {a}^{n}$

Калі ў гэтай формуле зробім

$x=a=1,$

то атрымаем:

$0=1-n+C_{n}^{2}-C_{n}^{3}+......\pm 1.$