Старонка:Элемэнтарная альгэбра (1922―1924). Частка II.pdf/149

Узнікла праблема ў вычытцы гэтай старонкі

§108. Агульным выразам разьвіненьня двохчлена Ньютона называем выраз, які знаходзіцца посьле адвольнай (якой-хочаш) колькасьці $k$ выразаў, г. ё., які знаходзіцца на $(k-1)$ месцы. Калі выраз гэты абазначым праз $T_{k+1},$ то на аснове формулы (B) можам напісаць:

T_{k+1}=C_{n}^{k}a^{k}x^{n-k}

Падстаўляючы ў гэтай формуле на месца $k$ лікі $1,2,3,..$ (пры вядомым паказальніку ступені двохчлена $n$ ), атрымаем значэньне адвольнага выразу двохчлена, апрача першага; так, напрыклад, каб атрымаць 5-ты выраз разьвіненьня $(x+a)^{9},$ трэба ў формуле агульнага выразу падставіць $5$ на месца $k+1$ (г. ё. $4$ на месца $k$ ) і $9$ на месца $n,$ атрымаем тады:

T_{5}=C_{9}^{4}\cdot {a}^{4}\cdot {x}^{5}={\frac {9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}}a^{4}x^{5}=126a^{4}x^{5}.

Калі параўнаем два пасьледаўныя выразы разьвіненьня двохчлена Ньютона:

T_{k+1}={\frac {n(n-1).....(n-k+1)}{1\cdot 2\cdot 3.....k}}a^{k}x^{n-k}

i

T_{k+2}={\frac {n(n-1).....(n-k+1)(n-k)}{1\cdot 2\cdot 3......k(k+1)}}a^{k+1}x^{n-k-1},

лёгка заўважым, што коэфіцыэнт наступнага выразу ёсьць роўны коэфіцыэнту папярэдняга, памножанаму на паказальнік ступені $x$ у гэтым выразе і падзеленаму на колькасьць папярэдніх выразаў.

ПРЫКЛАДЫ:

1. Ведаючы, што 5-ты выраз разьвіненьня двохчлена $(x+a)^{12}$ ёсьць роўны $495a^{4}x^{8},$ знайсьці шосты выраз.