Старонка:Элемэнтарная альгэбра (1922―1924). Частка II.pdf/132

Гэта старонка не была вычытаная

адкуль шуканы лік

n = \frac{l g A - l g a}{l g R} = \frac{l g 3768 - l g 615}{l g 1, 082}

l g 3768

3, 57611

—

l g 615

2, 78888

0, 78723

l g 1, 082 = 0, 03423

$n = \frac{0, 78723}{0, 03423} = 23$ (гады)

§96. Пэрыодычныя ўзносы.

Калі хто-небудзь кладзе ў банак у роўныя пэрыоды часу (напрыклад, што-год) аднаковыя сумы, то сумы гэтыя называюцца пэрыодычнымі ўзносамі.

Разьвяжам наступную задачу на вылічэньне пэрыодычных узносаў.

Нехта кладзе ў банак на пачатку кожнага году па $b$ рублёў. Які капітал ён атрымае праз $n$ гадоў пры $p %$ ?

Разьвязаньне.

Першы ўзнос $b,$ паложаны ў банак на пачатку першага году, заменіцца праз $n$ гадоў у $b R^{n} .$

Другі ўзнос, паложаны на пачатку другога году, будзе ляжаць у банку толькі $(n - 1)$ гадоў, значыцца, праз $(n - 1)$ гадоў ён заменіцца ў $b R^{n - 1} .$

Трэці ўзнос праз $(n - 2)$ гадоў заменіцца ў $b R^{n - 2}$ і г. д.

Прадапошні ўзнос процантуе $2$ гады, значыцца, заменіцца ў $b R^{2};$ урэшце апошні ўзнос на працягу $1$ году заменіцца ў $b R .$

Калі дадамо ўсе атрыманыя сумы, а агульную суму абазначым праз $B,$ то будзем мець:

B = b R^{n} + b R^{n - 1} + b R^{n - 2} + ....... + b R^{2} + b R =

= b R + b R^{2} + ...... + b R^{n - 2} + b R^{n - 1} + b R^{n} =

= b R (1 + R + R^{2} + ...... + R^{n - 3} + R^{n - 2} + R^{n - 1}) .

З прычыны таго, што ў дужках маем геомэтрычную прогрэсію, першы выраз якой ёсьць $1,$ множнік $= R$ і колькасьць выразаў $n,$ значыцца, сума выразаў геомэтрычнай прогрэсіі ў дужках будзе роўнай:

\frac{R^{n} - 1}{R - 1},

адсюль:

B = b R \frac{R^{n} - 1}{R - 1}

.........(2)

Калі, напрыклад, $b = 600, p = 7, n = 15,$ тады $R = 1, 07$

B = 600 \cdot 1, 07 \cdot \frac{1, 0 7^{15} - 1}{1, 07 - 1} = \frac{600 \cdot 1, 07 \cdot (1, 0 7^{15} - 1)}{0, 07}

Формула гэтая ёсьць нязручная для лёгарытмаваньня, бо лічнік правага боку заключае розьніцу. З гэтае прычыны спачатку вылічаем $1, 0 7^{15};$ ад рэзультату аднімаем $1,$ а потым ужо выконываем далейшыя вылічэньні.