Старонка:Элемэнтарная альгэбра (1922―1924). Частка II.pdf/111

Калі дзеліва ёсьць роўнае $1,$ тады атрымаем:

$lg_{a}{\frac {1}{n}}=lg_{a}1-lg_{a}n=0-lg_{a}n=-lg_{a}n,$

г.ё., лёгарытм адваротнасьці ліку ёсьць роўны лёгарытму гэтага ліку з супраціўным знакам: напрыклад:

$lg_{2}32=-lg_{2}{\frac {1}{32}}$

III. Лёгарытм ступені ёсьць роўны паказальніку ступені, памножанаму на лёгарытм ліку.

Довад.

Хай	$lg_{a}n=x,$
тады:	$n=a^{x}.$

Падносячы ў ступень $p$ абодва бакі апошняе роўнасьці,

атрымаем:$n^{p}=a^{px},$

адкуль:

$lg_{a}n^{p}=px=p\cdot {lg}_{a}n,$ што й трэба было давесьці.

IV. Лёгарытм корня ёсьць роўны лёгарытму падкарэннага ліку, падзеленаму на паказальнік корня.

Довад.

Хай	$lg_{a}n=x,$
тады:	$n=a^{x}.$

Дабываючы корань $p$ ступені з абодвых бакоў гэтай роунасьці, атрымаем:

${\sqrt[{p}]{n}}={\sqrt[{p}]{a^{x}}},$ ці ${\sqrt[{p}]{n}}=a^{\frac {x}{p}},$

адкуль:$lg_{a}{\sqrt[{p}]{n}}={\frac {x}{p}}={\frac {lg_{a}n}{p}}$

V. Калі рад дадатных лікаў творыць геомэтрычную прогрэсію, то іх лёгарытмы твораць арытмэтычную прогрэсію.

Довад.

Хай у геомэтрычнай прогрэсіі

$\div \div {a},aq,aq^{2},aq^{3}....$

лікі $a$ і $q$ ёсьць дадатныя.

Знаходзячы лёгарытмы кожнага выразу гэтай прогрэсіі, атрымаем:

$lg(a)=lga$

$lg(aq)=lga+lgq$

$lg(aq^{2})=lga+2lgq$

$lg(aq^{3})=lga+3lgq$