Старонка:Элемэнтарная альгэбра (1922―1924). Частка II.pdf/102

$lim{\text{ }}S_{n}=\infty$
(пры $n\to \infty$),

гэта значыць:

граніца,^[1] да якой імкнецца сума бяскрайна-вялікай колькасьці $(n\to \infty )$ выразаў ўзрастаючай прогрэсіі, ёсьць бяскрайнасьць.

II. Калі прогрэсія спадаючая, то $q<1,$ г. ё. ўласьцівы дроб, які, пры падняцьці ў ступень (дадатную і цэлую), зьмяншаецца. Па меры ўзросту колькасьці выразаў $n,$ сумножнік $q^{n},$ а разам з ім і здабытак $a_{1}q^{n}$ зьмяншаюцца і, пры бяскрайна-ўзрастаючым $n,$ можа стацца меншым ад кожнай адвольна намі выбранай велічыні, г. ё. зробіцца бяскрайна-малым.

Тады й сума выразаў спадаючай прогрэсіі, якую выражаем формулай

$S_{n}={\frac {a_{1}-a_{1}q^{n}}{1-q}}$

імкнецца да пэўнай азначанай граніцы, а мянавіта да ${\frac {a_{1}}{1-q}}$

Сапраўды:$S_{n}={\frac {a_{1}-a_{1}q^{n}}{1-q}},$

або$S_{n}=a_{1}\cdot {\frac {1-q^{n}}{1-q}}$

Але, як мы ўжо заўважылі вышэй, $q^{n},$ пры $n\to \infty ,$ ёсьць велічыня бяскрайна-малая, г. ё. імкнецца да нуля:

$lim{\text{ }}q^{n}=0.$
Адсюль:$lim{\text{ }}S_{n}=lim$ $a_{1}\cdot {\frac {1-q^{n}}{1-q}}=a_{1}\cdot {\frac {1-0}{1-q}}={\frac {a_{1}}{1-q}}$
(пры $n\to \infty$),

г ё. Граніца, да якой імкнецца сума $n$ выразаў спадаючай геомэтрычнай прогрэсіі, калі лік $n$ бяскрайна ўзрастае, ёсьць дроб

${\frac {a}{1-q}},$

ў якім $a$ ёсьць першы выраз прогрэсіі, а $q$ множнік. Гэтую граніцу звычайна называем сумай выразаў бяскрайна-спадаючай прогрэсіі.

Напрыклад, сума выразаў прогрэсіі

$\div \div 1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}}{\text{ }}.....,$

у якой$a_{1}=1,q={\frac {1}{2}},$

1. limes па латыні значыць «граніца».