Старонка:Элемэнтарная альгэбра (1922―1924). Частка II.pdf/100

III) Mаючы $q=2,n=7,a_{n}=352,$ знайсьцi $a_{1}$ i $S_{n}$

Дзеля таго, што $a_{n}=a_{1}q^{n-1},$ значыцца:

$a_{1}={\frac {a_{n}}{q^{n-1}}}={\frac {352}{2^{6}}}={\frac {352}{64}}=5{\frac {1}{2}}$

$S_{n}={\frac {a_{1}q^{n}-a_{1}}{q-1}}=5{\frac {1}{2}}\cdot 2^{7}-5{\frac {1}{2}}=698{\frac {1}{2}}$

IV) Маючы $a_{1}=6,a_{n}=3750,S_{n}=4686,$ знайсьшi $q$ i $n$

Разьвязаньне.

$S_{n}={\frac {a_{n}q-a_{1}}{q-1}}$
$S_{n}q-S_{n}=a_{n}q-a_{1};S_{n}q-a_{n}=S_{n}-a_{1};$

$q(S_{n}-a_{n})=S_{n}-a_{1};q={\frac {S_{n}-a_{1}}{S_{n}-a_{n}}}={\frac {4686-6}{4686-3750}}=5$

$a_{n}=a_{1}q^{n-1};3750=6\cdot 5^{n-1};625=5^{n-1},$ г. ё.

$5^{4}=5^{n-1},$ адкуль $4=n-1$ i $n=5.$

V) Знайсьці 6 выразаў геомэтрычнае прогрэсіі, у якой пяты выраз ёсьць больш за першы на $105,$ а сума трэцяга і першага$=35.$

Разьвязаньне.

	Маем два раўнаньні:
	$a_{5}-a_{1}=105$ $a_{3}+a_{1}=35,$
ці	$a_{1}q^{4}-a_{1}=105$ $a_{1}q^{2}+a_{1}=35$
або	$a_{1}(q^{4}-1)=105$ $a_{1}(q^{2}+1)=35$

Падзяліўшы апошнія два раўнаньні бакамі, атрымаем:

	${\frac {a_{1}(q^{2}+1)(q^{2}-1)}{a_{1}(q^{2}+1)}}={\frac {105}{35}},$
або	$q^{2}-1=3$ $q^{2}=4;q=\pm 2.$ $a_{1}(q^{2}+1)=35;a_{1}\cdot 5=35;a_{1}=7.$

Шуканая прогрэсія будзе:

$\div \div 7,\pm 14,28,\pm 56,112,\pm 224.$