Перайсці да зместу

Аснаўныя пачаткі арытмэтыкі (1920)/Аб дзельніках

З пляцоўкі Вікікрыніцы
Табліцы меркаў Аб дзельніках
Падручнік арытмэтыкі
Аўтар: Навум Цыгельман
1920 год
Арыгінальная назва: Основныя начала ариѳметики
Пераклад: Юрка Лістапад
Дробязныя лікі

Спампаваць тэкст у фармаце EPUB Спампаваць тэкст у фармаце RTF Спампаваць тэкст у фармаце PDF Прапануем да спампаваньня!




Аб дзельніках.

115.Лік, на каторы другі дзеліцца без астачы, называецца пунктуальным дзельнікам гэтага другога ліку.

116.Лік, каторы дзеліцца на другі без астачы, называецца многаразавым (кратным) гэтага другога ліку, напрыклад: 15 многаразавы лік 3-х, 5-ці.

Усякі лік дзеліцца сам на сябе і на адзінку без астачы.

117.Лікі, каторыя дзеляцца без астачы толькі самі на сябе і на адзінку, назыв. прапачаткавымі, простымі, або першымі (1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.....).

118.Лікі, каторыя, апроч адзінкі і самых сябе, могуць дзяліцца без астачы і на другія лікі, называюцца складанымі (4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15…).

Каб даведацца, ці будзе дадзены лік прапачаткавы або складаны, яго трэба дзяліць на ўсе прапачаткавыя лікі па парадку, пачынаючы з 2. Дзяленьне павінна рабіцца датуль, пакуль у дзелі дастанецца лік, меншы за дзельнік; калі і тады будзе астача, дык можна пэўна сказаць, што дадзены лік прапачаткавы, а не складаны.

Дзеля таго, што прапачаткавых лікаў без канца многа, а дастаюцца яны доўгімі вылічаньнямі, дык вельмі карысна мець пад рукою гатовую табліцу прапачаткавых лікаў. Самая вялікая табліцца складзена Бухардтам; яна мае прапачаткавыя лікі ад 1 да 3036000. Ніжэй ідучая табліца мае ў сабе ўсе прапачаткавыя лікі ад 1 да 2000.

ТАБЛІЦА

прапачаткавых лікаў ад адзінкі да двух тысячаў
1 163 383 619 881 1151 1439 1699
2 167 389 631 883 1153 1447 1709
3 173 397 641 887 1163 1451 1721
5 179 401 643 907 1171 1453 1723
7 181 409 647 911 1181 1459 1733
11 191 419 653 919 1187 1471 1741
13 193 421 659 929 1193 1481 1747
17 197 431 661 937 1201 1483 1753
19 199 433 673 941 1213 1487 1759
23 211 439 677 947 1217 1489 1777
29 223 443 683 953 1223 1493 1783
31 227 449 691 967 1229 1499 1787
37 229 457 701 971 1231 1511 1789
41 233 461 709 977 1237 1523 1801
43 239 463 719 983 1249 1531 1811
47 241 467 727 991 1259 1543 1823
53 251 479 733 997 1277 1549 1831
59 257 487 739 1009 1279 1553 1847
61 263 491 743 1013 1283 1559 1861
67 269 499 751 1019 1289 1567 1867
71 271 503 757 1021 1291 1571 1871
73 277 509 761 1031 1297 1579 1873
79 281 521 769 1033 1301 1583 1877
83 283 523 773 1039 1303 1597 1879
89 293 541 787 1049 1307 1601 1889
97 307 547 797 1051 1319 1607 1901
101 311 557 809 1061 1321 1609 1907
103 313 563 811 1063 1327 1613 1913
107 317 569 821 1069 1361 1619 1931
109 331 571 823 1087 1367 1621 1933
113 337 577 827 1091 1373 1627 1949
127 347 587 829 1093 1381 1637 1951
131 349 593 839 1097 1399 1657 1973
137 353 599 853 1103 1409 1663 1979
139 359 601 857 1109 1423 1667 1987
149 367 607 859 1117 1427 1669 1993
151 373 613 863 1123 1429 1693 1997
157 379 617 877 1129 1433 1697 1999

119.Прыметам падзельнасьці лікаў наз. спосабы, пры падмозе каторых можна, ня робячы запраўды дзяленьня, даведацца — на якія лікі дадзены лік дзеліцца без астачы.

Прызнакі падзельнасьці лікаў маюць аснову на чарговых дзьвёх ўласьцівасьцях лікаў: 1) зьлічво некалькіх складанак дзеліцца на які-небудзь лік без астачы, калі ўсе складанкі дзеляцца на той-жа лік без астачы, 2) множыва двох або некалькіх лікаў дзеліцца на кожны з сваіх сумножнікаў без астачы.

120.Усякі лік дзеліцца на 2 без астачы, калі ён канчаецца нулём або лічбінаю, каторая можа дзяліцца на 2 без астачы (напр.: 2, 4, 6, 8), бо адзін дзесятак і любы лік дзесяткаў, або наагул лік, які канчаецца нулём, дзеліцца на 2; з адзінак-жа дадзенага ліку толькі 2, 4, 6, 8 дзеліцца нa 2.

Лікі кратныя (разавыя) двох, наз. чотнымі або цотамі; лікі, някратныя двох, наз. нячотнымі або лішкамі.

121.Усякі лік дзеліцца на 4 без астачы, калі ён канчаецца двома нулямі, або калі дзесяткі з адзінкамі дзеляцца на 4 без астачы, бо адна сотка і любы лік сотак, або наагул лік, які канчаецца двома нулямі, дзеліцца на 4; значыцца, калі ў якім-небудзь ліку дзесяткі з адзінкамі дзеляцца на 4, дык увесь лік разьдзеліцца на 4.

Заўважым, што пры чотным (цотным) ліку дзесяткаў хваце (старчыць) даведацца, ці дзеляцца адзінкі дадзенага ліку на 4.

122.Усякі лік дзеліцца на 8 без астачы, калі ён канчаецца трома нулямі, або калі соткі з дзесяткамі і адзінкамі дзеляцца на 8 без астачы, бо адна тысяча і любы лік тысячаў, або наагул лік, які канчаецца трома нулямі, дзеліцца на 8; значыцца, калі ў якім-небудзь ліку соткі з дзесяткамі і адзінкамі дзеляцца на 8, дык увесь лік разьдзеліцца на 8.

Заўважым, што пры чотным (цотным) ліку сотак хваціць даведацца, ці дзеляцца дзесяткі з адзінкамі дадзенаго ліку на 8.

123.Усякі лік дзеліцца на 5 без астачы, калі ён канчаецца нулём, або лічбінаю 5, бо адзін дзесятак і які-небудзь лік дзесяткаў, або наагул лік, які канчаецца нулём, дзеліцца на 5; з адзінак-жа толькі 5 дзеліцца на 5.

124.Усякі лік дзеліцца на 10 без астачы, калі ён канчаецца нулём, бо адзін дзесятак і які хочаш лік дзесяткаў дзеліцца на 10, адзінкі ніколі ня могуць дзяліцца на 10, бо ўсе яны меншыя за 10.

125.Усякі лік дзеліцца на 25 без астачы, калі ён канчаецца двома нулямі, або лікамі 25, 50, 75, бо адна сотка і які хочаш лік сотак, або наагул лік, які канчаецца двома нулямі, дзеліцца на 25; значыцца, калі лік канчаецца на 25, 50, 75, дык ён дзеліцца на 25.

Увага. Усякі лік, абазначаны адзінкаю з нулямі, можа быць раскладзены на 2 складанкі, з каторых адна мае лічбіну 9 столькі разоў, колькі знаходзіцца нулёў у дадзеным ліку, а другая складанка роўна простай адзінцы.

Так: 10=9+1, 100=99+1, 1000=999+1 і г. д.

Далей — усякі лік, абазначаны дзевяткамі, дзеліцца на 3 і на 9 без астачы.

Ведаючы гэта, раскладзём які-небудзь лік, напрыклад, 2367 на адзінкі розных парадкаў:

2367 =1000+1000
+100+100+100
+10+10+10+10+10+10
+7

Раскладзём кожную тысячу, кожную сотку і кожны дзесятак на 2 складанкі, адтрымаем:

2367 =999+999 +2
+99+99+99 +3
+9+9+9+9+9+9 +6
+7

Складанкі 999, 99 і 9 дзеляцца на 3 і на 9; значыцца, падзельнасьць дадзенага ліку на 3 і на 9 залежыць толькі ад складанкі [12+3+6+7], каторай выражаецца зьлічво лічбінаў дадзенага ліку 2367.

Дзеля таго, што зьлічво 2+3+6+7=18 дзеліца на 3 і на 9, дык дадзены лік 2367 павінен дзяліцца на 3 і на 9.

На аснове вышэй напісанага, можам сказаць:

126.Усякі лік дзеліцца на 3 без астачы, калі зьлічво лічбінаў яго дзеліцца на 3 без астачы.

127.Усякі лік дзеліцца на 9 без астачы, калі зьлічво лічбінаў яго дзеліцца на 9 без астачы.

128.Усякі лік дзеліцца на 6 без астачы, калі ён дзеліцца на 2 і на 3, т. е. на ўзаемна-першыя множнікі 6-ці.

Няхай лік 342 дзеліцца па 2 і на 3; давядзём, што ён разьдзеліцца на 6. Разьдзелім 342 на 3 роўныя часткі [342:3–114] і злучым дзьве часткі ў адну (114+114–228); тагды 342 можна выразіць зьлічвом дзьвюх складанак [228+114–342], з каторых першая складанка зложаная з дзьвюх роўных частак, дзеліцца на 2, а калі зьлічво дзьвюх складанак і адна з іх дзеліцца на 2, дык і другая складанка павінна дзяліцца на два, але другая складанка ёсьць трэйцяя частка ліку 342; калі-ж трэйцяя частка дзеліцца на два, дык увесь лік, як відаць, разьдзеліцца на 6.

Так сама можна давесьці, што:

на 12 дзеліцца ўсякі лік, калі ён дзеліцца на 3 і на 4; на 15, — калі ён дзеліцца на 3 і на 5; на 18 — калі ён дзеліцца на 2 і на 9: на 24, — калі ён дзеліцца на 8 і на 3; на 36, — калі ён дзеліцца на 4 і на 9; на 40, — калі ён дзеліцца на 5 і на 8; на 45, — калі ён дзеліцца на 5 і на 9; на 50, — калі ён дзеліцца на 2 і на 25; на 72, — калі ён дзеліцца на 8 і на 9; на 75, — калі ён дзеліцца на 3 і на 25 i r. д.

На 11 дзеліцца ўсякі лік без астачы, калі розьніца паміж зьлічвом лічбінаў, стаячых на чотных мяйсцох, і зьлічвом лічбінаў, стаячых на нячотных (лішкавых) мяйсцох, ёсьць нуль або лік, разавы (кратны) адзінаццаці.

Прымета падзельнасьці лікаў на 7 або на 13 ёсьць у тым, каб дадзены лік разьбіць, лічучы ад правае рукі да левае, на грані, па 3 лічбіны ў кожнае; потым знаходзіць розьніку паміж зьлічвом лікаў, напісанных гранямі, стаячымі на чотных мяйсцох, зьлічвом лікаў, напісанных гранямі, стаячымі на нячотных мясцох; калі гэта розьніца ёсьць нуль або лік, разавы 7 і 13, дык і самы лік разьдзеліцца на гэтыя дзельнікі.

Прымета падзельнасьці лікаў на 37 ёсьць у тым, каб лік разьдзяліць, па старому, на грані; калі зьлічво лікаў, выражаных гранямі яго, дзеліцца на 37, дык і лік разьдзеліцца на 37.


Раскладаньне лікаў на прапачаткавыя дзельнікі.

129.Раскладаньнем ліку на прапачаткавыя дзельнікі (чыньнікі, сумножнікі) наз. спосаб знаходзіць усе прапачаткавыя (простыя) лікі, множыва каторых было-б роўна гэтаму ліку.

130.Каб раскласьці лік на прапачаткавыя дзельнікі, трэба яго спачатку разьдзяліць на самы меншы (посьле адзінкі) прапачаткавы лік, на каторы ён дзеліцца, дастаную дзель зноў разьдзяліць на самы меншы прапачаткавы лік, на каторы ён дзеліцца і г. д. датуль, пакуль у дзелі будзе адзінка.

Няхай патрэбна, напр. раскласьці 2520 на прапачаткавыя дзельнікі.

Для зручнасьці, дзеяньне пішуць гэтак:

2520 2 з правага боку ад ліку працягваюць адвесную (старчавую) рысу. З правага боку ад рысы пішуць дзельнікі, а з левага пад дадзеным лікам, — дзелі.
1260 2
630 2
315 3
105 3
35 5
7 7
1
Або так: 2
2520
2
1260
2
630
3
315
3
105
5
35
7
7

1

Зробленым дзеяньнем даведаемся, што 2520-2·2·2·3·3·5·7-23·32·5·7.
Лікі 10, 100, 1000…… зложаны з множнікаў 2 і 5, ўзятых столькі разоў, колькі нулёў пры адзінцы.
Ведаючы гэта, мы пры шуканьні прапачаткавых дзельнікаў ліку, які канчаецца нулямі, можам ускорыць дзеяньне.
Няхай патрэбна, напр., раскласьці на простыя дзельнікі 105000.
Прадставіўшы дадзены лік, як множыва 105·1000, раскладзём 105 па агульнаму правілу і знойдзем: 105 — 3·5·7.
Дзеля таго, што множнік 1000 — 2·2·2·5·5·5, то 105000 — 2·2·2·3·5·5·5·5·7 — 23·3·54·7


Супольны найвялікшы дзельнік.

131.Супольным дзельнікам некалькіх лікаў наз. лік, на каторы кожны з гэтых лікаў дзеліцца без астачы, напр. лікі: 18, 24, 30 маюць супольныя дзельнікі 2, 3, 6.

132.Супольным найвялікшым дзельнікам некалькіх лікаў наз. самы вялікі дзельнік, на каторы дадзеныя лікі дзеляцца без астачы, напр. лікі: 18, 24, 30 маюць супольны найвялікшы дзельнік 6.

Лікі, ў каторых, апроч адзінкі, няма супольнага дзельніка, наз. ўзаемна-простымі або першымі паміж сабою, напр.: 8 і 9, 12 i 37 і г. д.

133.Супольны найвялікшы дзельнік знаходзіцца па двом спосабам: 1) па спосабу раскладаньня на прапачаткавыя дзельнікі і 2) па спосабу паступовага дзяленьня.

134.Каб знайсьці супольны найвялікшы дзельнік некалькіх лікаў па спосабу раскладаньня на прапачаткавыя дзельнікі, трэба дадзеныя лікі раскласьці на прапачаткавыя дзельнікі, потым выдзяліць прапачаткавыя дзельнікі, каторыя супольны ўсім лікам у найменшай ступені, і іх перамножыць; дастанае множыва і будзе супольным найвялікшым дзельнікам дадзеных лікаў.

Няхай патрэбна знайсьці супольны найвялікшы дзельнік лікаў: 324, 360 i 540.

Раскладзём кожны з дадзеных лікаў на простыя множнікі:

324 2 360 2 540 2
162 2 180 2 270 2
81 3 90 2 135 3
27 3 45 3 45 3
9 3 15 3 15 3
3 3 5 5 5 5
1 1 1

Супольны найвялікшы дзельнік — 2·2·3·3=36.

Пры шуканьні супольнага найвялікшага дзельніку раскладаньне дадзеных лікаў можа быць зроблена прасьцей: пішуць дадзеныя лікі ўпоравень, аддзельваючы іх адзін ад другога коскамі, з правага боку ад апошняга ліку праводзяць старчовую рысу і лікі дзеляць на супольныя дзельнікі да таго часу, пакуль у дзелях ня будуць лікі узаемна-першыя. Множыва ўсіх дзельнікаў і будзе супольным найвялікшым дзельнікам усіх дадзеных лікаў.

Знойдзем супольны найвялікшы дзельнік лікаў: 540, 420, 360.

540 , 420 , 360 2
270 , 210 , 180 2
135 , 105 , 90 3
45 , 35 , 30 5
9 , 7 , 6

Супольны найвялікшы дзельнік = 2·2·3·5=60.

135.Каб знайсьці супольны найвялікшы дзельнік двох лікаў па спосабу паступовага дзяленьня, трэба большы з іх разьдзяліць на меншы, меншы на першую астачу, першую астачу на другую, другую на трэйцюю і г. д. да таго часу, пакуль дастанецца ў астачы нуль; апошні дзельнік і будзе супольным найвялікшым дзельнікам двох дадзеных лікаў.

Патрэбна, напр., знайсьці супольны найвялікшы дзельнік лікаў 1050 i 455.

Вылічэньне пішуць гэтак:

1050
910
455
2
455 140
420 3
140 35
140 4
0

Альбо гэтак:
2 3 4
1050 : 455 : 140 : 35
910 420 140
140 35 0


Супольны найвялікшы дзельнік =35.

136.Каб знайсьці супольны найвялікшы дзельнік некалькіх лікаў па спосабу паступовага дзяленьня, трэба спачатку знайсьці супольны найвялікшы дзельнік двох якіх-небудзь лікаў, потым супольны найвялікшы дзельнік трэйцяга ліку і першага супольнага найвялікшага дзельніку, потым супольны найвялікшы дзельнік чацьвёртага ліку і другога супольнага найвялікшага дзельніку і г. д.; апошні дзельнік і будзе супольным найвялікшым дзельнікам усіх дадзеных лікаў.


Найменшы многаразавы лік.

137.Найменшым многаразавым лікам двох або некалькіх лікаў наз. самы меншы з усіх лікаў, каторы дзеліцца на дадзеныя лікі без астачы, напр.: 36 ёсьць найменшы многаразавы лікаў: 4, 6, 9, 12, 42 — найменшы многаразавы 6, 14, 21.

138.Каб знайсьці найменшы многаразавы некалькіх лікаў, трэба ўсе гэтыя лікі раскласьці на прапачаткавыя дзельнікі, потым выпісаць усе прапачаткавыя дзельнікі дадзеных раскладваньняў у іх вышэйшых ступенях і ўсе гэтыя дзельнікі перамножыць; дастанае множыва і будзе найменшым многаразавым дадзеных лікаў.

Няхай патрэбна знайсьці найменшы многаразавы лікаў: 36, 45, 54, 60, 72.

Раскладзем дадзеныя лікі на простыя дзельнікі.

36 — 2·2·3·3.
45 — 3·3·5.
54 — 2·3·3·3.
60 — 2·2·3·5.
72 — 2·2·2·3·3.

Найменшы многаразавы іх =2·2·2·3·3·3·5=1080.

Пры шуканьні найменшага многаразавага раскладаньне дадзеных лікаў на прапачаткавыя дзельнікі спрошчываецца гэтак: пішуць дадзеныя лікі ўпоравень і з правага боку ад апошняга ліку працягваюць старчовую рысу; пры гэтым лікі, уваходзячыя сумножнікамі ў апошнія лікі прапускаюць, а дастаныя дзелі, якія ёсьць у адной з апошніх дзелей, закасоўваюць, лікі-ж, якія ня дзеляцца, перапісваюць бяз зьмены. Множыва ўсіх дастаных дзельнікаў і будзе найменшым многаразавым усіх дадзеных лікаў.

    1. Аб ##

Знойдзем найменшы многаразавы 40, 36, 54, 120 і 180.

40, 36, 54, 120, 180 2
27, 60, 90 2
27, 30, 45 2
27, 15 3
9, 5 3
3, 5 5
1 1

Найменшы многаразавы — 2·2·2·3·3·3·5 — 1080.

Найменшы многаразавы двох або некалькіх прапачаткавых або ўзаемна-першых лікаў роўны множыву гэтых лікаў.

Найменшы многаразавы можна яшчэ знайсьці пры дапамозе супольнага найвялікшага дзельніка.

Няхай, напр. патрэбна знайсьці найменшы многаразавы 782 i 170. Знойдзем спосабам паступовага дзяленьня іх супольны найвялікшы дзельнік, каторы будзе 34. Потым разьдзелім адзін з дадзеных лікаў, напр. 170 на 34; атрымаем 5. Памножыўшы 5 на другі лік — на 782, будзем мець лік 3910, каторы і ёсьць найменшы многаразавы 782 i 170.

Каб знайсьці гэтым спосабам найменшы многаразавы трох, чатырох і больш лікаў, трэба спачатку знайсьці найменшы многаразавы двох якіх-небудзь лікаў, потым знайсьці найменшы многаразавы знойдзенага найменшага многаразавага і трэйцага ліку і г. д., апошні найменшы многаразавы і будзе найменшым многаразавым усіх дадзеных лікаў.


    1. Дробязныя ##

ДРОБЯЗНЫЯ ЛІКІ.

Звычайныя дробязі.

Даставаньне і абазначэньне дробязяў.

139.Дробязь дастаецца: 1) ад дзяленьня меншага ліку на большы, 2) ад мераньня якой-небудзь рэчы такою меркаю, каторая не паўтараецца ў ёй ні аднаго цэлага разу.